Paris 7 PH042
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0= (jeudi 9 septembre, 9 h), ∆t= 4 heures
Une calculette est autoris´ee, et obligatoire pour traiter le probl`eme V
I. TENSEUR DU CHAMP ´ELECTROMAGN´ETIQUE(≈4 points) 1. Rappelez la d´efinition des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique.
2. En d´eduire...
i) les expressions de ses composantes en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique ; ii) les transformations des valeurs des champs ´electrique et magn´etique en un ´ev´enement, lors d’une transformation sp´eciale de Lorentz.
3. D´ecrivez quelques proc´ed´es de v´erification du r´esultat de vos calculs.
4. Une chargeq, massem, est abandonn´ee `a vitesse nulle dans un champ ´electrique uniforme et constant.
i) D´ecrivez qualitativement le mouvement de la charge. En d´eduire la valeur de l’acc´el´eration propre de la charge `a un instant quelconque.
ii) En d´eduire les caract´eristiques du mouvement de la charge : rapidit´e, vitesse, quadrivitesse, ligne d’univers.
II. GRANDEURS PHYSIQUES D’UNE PARTICULE(≈4 points)
1. Rappelez la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule de masse et ligne d’univers connues.
Quelle est l’utilit´e de cette notion ?
2. En d´eduire les expressions de l’´energie et de l’impulsion d’une particule de masse m, vitessev.
3. En d´eduire les identit´es remarquables auxquelles ´energie et impulsion participent.
4. Qu’en est-il pour une particule dont on observe que son ´energie est ´egale au module de son impulsion ? 5. Quelle est la d´efinition de la masse invariante d’un syst`eme de particules ? Quel est l’utilit´e de cette
notion ?
III. CONVECTION, RAYONNEMENT(≈4 points)
Une charge positive qui se meut `a vitesse constante 2×108m s−1subit une collision ´elastique sur une particule massive qui la r´efl´echit soudainement en sens inverse avec la mˆeme vitesse.
Repr´esentez sur un graphe d’espace, 1 nanoseconde apr`es le choc, i) la position de la charge ;
ii) sa trajectoire pass´ee ;
iii) la r´egion de l’espace o`u il y a du champ ´electromagn´etique de type rayonnement ; iv) l’allure des lignes de champ ´electrique ;
v) l’allure du champ magn´etique.
IV. RAYONNEMENT(≈4 points)
1. i) Rappelez l’expression du champ ´electrique rayonn´e par une charge lorsqu’elle a une vitesse nulle.
ii) Pr´ecisez soigneusement la signification de chacun des symboles figurant dans votre formule.
iii) En d´eduire le champ magn´etique associ´e et quelques pr´ecieuses propri´et´e de ces champs. (Ne pas h´esiter `a faire un, ou des, dessins.)
2. En d´eduire l’expression du vecteur de Poynting du champ rayonn´e.
3. En d´eduire l’´energie rayonn´ee dans un angle solide d2ˆr, durant un intervalle de tempsdt.
4. En d´eduire la puissance totale, ou taux de LarmorR, rayonn´ee par la charge lorsqu’elle a une vitesse nulle.
5. Citez un ou des ph´enom`enes physiques que cette analyse permet de comprendre.
2 Champs classiques, PH042 Paris 7
V. L’EXP ´ERIENCE BABAR(≈4 points)
On fomente le projet de r´ealiser des collisions frontales d’´electrons de 8,973 GeV avec des positrons de 3,118 GeV. On esp`ere ainsi produire de temps `a autre un m´eson upsilon, Υ(4S), qui lui mˆeme devrait se d´esint´egrer la plupart du temps en paire de m´esons B0B0 ou B+B−. A leur tour, ces m´esons se d´esint`egrent rapidement en toutes sortes de particules d´etectables, prenant l’aspect de jets dont les caract´eristiques cin´ematiques, moyennant une comptabilit´e soigneuse peuvent ainsi ˆetre
´etablies.
Quelques propri´et´es, telles qu’elles sont actuellement connues : e± Masse m= 0,51099907±0,00000015 MeV
Υ(4S) Massem= 10,5800±0,0035 GeV Largeur totale Γ = 10±4 MeV B± Masse m= 5278,9±1,8 MeV
Vie moyenneτ = (1,65±0,04)×10−12s B0 Masse m= 5279,2±1,8 MeV
Vie moyenneτ = (1,56±0,04)×10−12s
1. Montrez que les ´energies des faisceaux ont ´et´e soigneusement choisies en vue d’assurer la production maximale de upsilons.
2. Calculer la vitesseβ d’un upsilon produit.
3. Dans le rep`ere “du centre de masse” du syst`emee+e− :
i) Quelles sont les expressions des ´energies E1∗, E∗2 et impulsions p∗1, p∗2 des m´esonsB1 et B2 d’une paire ainsi produite ?
ii) En d´eduire l’expression, et la valeur, de la vitesseβ∗ des m´esonsB produits.
iii) Dans son rep`ere, le m´esonB1se d´esint`egre `a l’instant al´eatoireτ1 apr`es sa production. De mˆeme, le m´esonB2 se d´esint`egre `a l’instantτ2 dans son rep`ere. Calculez les dur´ees de surviet∗1,t∗2 des deux m´esons, et les distances parcourues l∗1,l2∗, dans le rep`ere du centre de masse.
iv) Calculez les coordonn´ees des d´ec`es des m´esons B1 etB2. (Rien n’interdit de prendre pour origine la d´esint´egration du upsilon, pour axe ˆx∗la direction d’un des faisceaux, et pour axe ˆy∗ une normale au faisceau dans le plan d’´emission de la paire. Il est tout aussi loisible d’appelerϑ∗l’angle d’´emission du m´eson B1 par rapport `a l’axe des faisceaux.)
4. Retour au laboratoire...
i) Calculez les coordonn´ees spatiales des d´ec`es des m´esons.
ii) En d´eduire l’expression de la distance longitudinale ∆xentre les deux d´ec`es, ou entre les sommets des deux jets observ´es, en fonction de τ1,τ2 et ϑ∗.
iii) Comment cette expression peut-elle ˆetre consid´erablement simplifi´ee si l’on se contente d’une approximation grossi`ere ?
