TH ´EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN PARTIEL t

Paris 7 PH456

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN PARTIEL

t₀= (samedi 13 d´ecembre , 13h30), ∆t= 4 h

Calculette autoris´ee. Les exercices I `a IV, ´el´ementaires, sont suffisants et n´ecessaires pour obtenir la moyenne. Ensuite, ¸ca se gˆate : le probl`eme V, plus subtil sans ˆetre bien compliqu´e, en exigeant la remise en cause de quelques traditions bien ´etablies peut-nuire gravement `a la sant´e.

I. LES BASES

Soient trois ´ev´enements align´es. L’un de ces ´ev´enements, disons O, est pris comme origine. Les coordonn´ees des deux autres, A et B, sont alors, dans votre rep`ere :

ntA= 5 s xA= 3 s

ntB = 6 s xB = 6 s

1. Invariant

i) Repr´esentez ces ´ev´enements sur un graphe d’espace temps (x, t) dans votre rep`ere.

ii) Quel est le genre de chacun des trois couples d’´ev´enements.

iii) Calculez l’invariant associ´e `a chacun de ces couples d’´ev´enements.

iv) Calculez la coordonn´eet⁰_A dans un rep`ere (x<sup>0</sup>, t<sup>0</sup>) o`u les ´ev´enements A et O ont la mˆeme position, x⁰_A=x⁰_O= 0.

v) Calculez la vitesse β₁ de ce rep`ere.

2. Transformation de Lorentz : graphiquement

i) Sur le graphe (x, t), repr´esentez l’ensemble des ´ev´enements qui ont x⁰ = 0, et l’ensemble des

´ev´enements qui ontt⁰= 0.

ii) Toujours sur le mˆeme graphe, repr´esentez l’ensemble des ´ev´enements qui ontt⁰ =t⁰_B et l’ensemble des ´ev´enements qui ontx⁰=x⁰_B.

iii) Que pouvez-vous dire de l’ordre temporel des ´ev´enements A et B ? 3. Transformation de Lorentz : calcul

i) Calculez la coordonn´eet⁰_B, et repr´esentez les trois ´ev´enements dans le rep`ere (x⁰, t⁰).

ii) Calculez la vitesseβ₂ du rep`ere dans lequel les ´ev´enements A et B sont simultan´es, et repr´esentez l’allure de ces trois ´ev´enements dans ce rep`ere.

II. QUADRIVECTEURS CIN ´EMATIQUES 1. Rappelez la d´efinition de la quadrivitesse d’un point mat´eriel de ligne d’univers r

˜(τ). Quelle est la propri´et´e remarquable du carr´e de la quadrivitesse ?

2. En d´eduire les expressions des composantes temporelle et spatiale de la quadrivitesse en fonctions de la vitesse du point mat´eriel, et, inversement, l’expression de cette vitesse en fonction des composantes de la quadrivitesse.

3. Chou a une vitesseβββpar rapport `a Lou. Ils adoptent des rep`eres en configuration standard. Calculez chacune des composantes de la quadrivitesse du point mobile pour Lou en fonctions des composantes de cette mˆeme quadrivitesse pour Chou.

4. En d´eduire les composantes de la vitesse du mobile par rapport `a Lou en fonctions des composantes de la vitesse du mobile par rapport `a Chou (loi de composition des vitesses).

5. En d´eduire la loi de composition des vitesses sous forme vectorielle.

2 Champs classiques, PH456 Paris 7

III. MOUVEMENT HYPERBOLIQUE

On consid`ere un objet mobile, assimil´e `a un point, en mouvement rectiligne dit hyperbolique.

1. Repr´esentez, en en pr´ecisant les caract´eristiques, l’allure de la ligne d’univers du mobile sur un graphe d’espace-temps.

2. Donnez l’´equation x(t) de cette ligne d’univers.

3. Calculez la vitesse v(t) du mobile. En d´eduire sa rapidit´eϕ(t).

4. i) Calculez le temps propreτ(t) du mobile. En d´eduire sa rapidit´eϕ(τ).

ii) D´eterminez l’´equation param´etrique¡

t(τ), x(τ)¢

de la ligne d’univers.

iii) En d´eduire les composantes¡

U^t(τ), U^x(τ)¢

de la quadrivitesse. De quel moyen de v´erification de ces r´esultats disposez-vous ?

iv) En d´eduire les composantes¡

A^t(τ), A^x(τ)¢

de la quadri-acc´el´eration. De quel moyen de v´erification de ces r´esultats disposez-vous ?

v) Calculez le carr´e de la quadri-acc´el´eration. Quel autre qualificatif, plus physique, peut-on alors employer pour d´esigner le mouvement hyperbolique ?

5. On envisage une exp´edition d’exploration des ´eventuelles plan`etes extra-solaires les plus proches.

L’exp´edition, partant de la r´egion de la Terre, aurait pour but la r´egion de Proxima du Centaure (´etoile que l’on estime avoir au moins un compagnon), distanceD≈4,22 ann´ees. Le voyage s’effectuerait donc dans l’espace libre (gravit´e `a peu pr`es n´egligeable), `a l’acc´el´eration propre de confort g≈9,8 m s<sup>−2</sup>, et commencerait et se terminerait `a vitesse (par rapport `a la Terre) `a peu pr`es nulle, moyennant une manœuvre de retournement `a mi-chemin.

i) Repr´esentez ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps.

ii) Calculez la valeur deg dans le syst`eme “c= 1”, unit´e de base l’ann´ee.

iii) Calculez la dur´ee du voyage pour les commanditaires terrestres.

iv) Calculez la vitesse maximale (par rapport `a la Terre) atteinte au cours du voyage.

v) Calculez la dur´ee du voyage pour l’´equipage de l’exp´edition.

IV. D´ESINT´EGRATION DU PION On consid`ere le processus de d´esint´egration d’un pionau repos:

π⁺−→µ⁺+ν_µ.

La question de la masse du neutrino (ici muonique) n’´etant toujours pas r´egl´ee, on attribue `a celui-ci une masse mν, et on souhaite calculer l’´energie Eµ du muon ´emis. La proc´edure standard consiste, sur la foi du principe de conservation de la quadri-impulsion totale, `a exprimer la quadri-impulsion de la particule non-observ´ee, le neutrino ici, en termes des quadri-impulsions des autres particules, et `a ´elever au carr´e les deux membres de cette expression, ´eliminant ainsi l’´energie et l’impulsion du neutrino par trop difficiles `a mesurer.

Etablir ainsi l’expression de l’´energie du muon ´emis en termes des masses des trois particules en jeu.´

V. DES TACHYONS ! ET ALORS ?

Nonobstant les formidables exigences de la causalit´e (qui, plus qu’un vulgaire principe, a des implications logiques bien connues des amateurs de science-fiction), on a ´et´e conduits `a envisager la possibilit´e d’existence de particules supra-luminales, ou tachyons, autrement dit dont la vitesse est sup´erieure `a 1. Reste `a examiner quelques propri´et´es de ces hypoth´etiques particules permettant,

´eventuellement, d’en confirmer, ou non, l’existence effective.

1. i) Quelle est la propri´et´e essentielle de l’invariant ds² associ´e `a deux ´ev´enements voisins dans la vie d’un tachyon, de coordonn´ees (t,x) et (t+ dt,x+ dx) respectivement ?

ii) Que pouvez-vous alors dire de la vitesse du tachyon, quel que soit le rep`ere (inertiel bien sˆur) d’o`u il est observ´e ?

iii) Aux ´ev´enements pr´ecit´es on associe dλ^df=√

−ds²ainsi que le quadrupletU^αdf= dx^α/dλ. Montrez que les (U^α) sont les composantes d’un quadrivecteur, que l’on baptiseraquadrivitesse du tachyon.

Champs classiques, PH456 Paris 7 3 iv) Calculez la valeur de U

e

2.

v) D´eterminez les expressions des composantesU^t etUen fonction de la vitesse du tachyon.

2. Humblement, on n’envisage quand mˆeme pas la remise en cause du principe de conservation de l’´energie-impulsion d’un syst`eme isol´e. Ainsi, pour que le tachyon puisse ˆetre partie prenante dans cette conservation, il faut lui attribuer un quadrivecteur impulsion. Pour cela, `a un tachyon dont le mouvement est caract´eris´e par le quadrivecteur cin´ematiqueU

e et dont l’inertie est caract´eris´ee par la masse m_t, on associe, en toute orthodoxie, la quadri-impulsion p

˜

df=m_tU e. i) Calculezp

˜

2.

ii) Un tachyon, cr´e´e en un ´ev´enement A, se meut librement pour finir absorb´e en un ´ev´enement B.

Repr´esentez sch´ematiquement ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps. Repr´esentez la mˆeme histoire dans quelques autres rep`eres ´equivalents et n´eanmoins typiques.

iii) Existe-t-il un rep`ere dans lequel le tachyon serait au repos ? Quelles sont les valeurs minimale et maximale du module de la vitesse d’un tachyon ?

iv) Repr´esentez, sur un mˆeme graphe, en fonction du module de la vitesse, et dans leurs domaines de d´efinition respectifs, l’´energie E(v) et le module de l’impulsion p(v) d’une particule ordinaire, infra-luminale, de masse m, et d’un tachyon de mˆeme masse m_t=m.

v) Quelques th`emes de discussion : les comportements, les valeurs relatives et les limites de l’´energie et de l’impulsion d’une particule ordinaire et d’un tachyon en fonction de leur vitesse ; la signification attachable `a la notion de masse d’un tachyon.

A la recherche des tachyons`

Parmi toutes les particules connues, seuls les trois types de neutrinos n’ont pas ´et´e exclus de la candidature `a la dignit´e de tachyon. On a, actuellement, entre autres :

m_p= 938,27200(4) MeV

mn = 939,56533(4) MeV, τn= 885,7(8) s m_π± = 139,57018(35) MeV

m_e= 0,510998902(21) MeV mµ = 105,658357(5) MeV

m_νe <3 eV mνµ <0,19 MeV

3. Puisqu’elle est destin´ee `a entrer dans des bilans de quadri-impulsion mettant en jeu des particules ordinaires, il serait pratique que la quadri-impulsion du tachyon jouisse, formellement tout au moins, des mˆemes identit´es remarquables que la quadri-impulsion d’une particule ordinaire. Pour cela, on d´efinit la quantit´em^df=i m_t.

i) D´eterminez, en termes dem, la valeur dep

˜

2 (en rappelant son signe), la relation entre ´energie E et impulsionp, les expressions de l’´energieE et de l’impulsion en termes de la vitesse vdu tachyon.

ii) D´eterminez l’expression de la vitesse vdu tachyon en termes deE et p.

C’est la grandeurm, imaginaire pure, que l’on baptisera d´esormaismasse du tachyon.

4. Deux m´ethodes s’offrent pour identifier directement un tachyon :

•mesurer sa vitesse par temps de vol, mais la chose est peu commode pour un neutrino que la faiblesse de ses interactions rend terriblement furtif ;

• d´eterminer le signe du carr´e de sa masse par le bilan de la quadri-impulsion.

Reprenons `a titre d’exemple le processus de d´esint´egration du pion au repos :π<sup>−</sup>→µ<sup>−</sup>+ ¯ν<sub>µ</sub>. i) Quelle est l’expression de l’´energie du muon ´emis, dans l’hypoth`ese (la plus courante) o`u la masse du neutrino est nulle ?

ii) Repr´esentez l’allure de l’´energie du muon en fonction dem²_ν.

iii) Comment le fait que le neutrino soit un tachyon se traduirait-il sur l’´energie du muon d´etect´e ? 5. Mais la possibilit´e de nouveaux modes de d´esint´egration peut ˆetre ouverte grˆace aux tachyons. Par

exemple, le modeµ⁻→π⁻+ν_µ, interdit par la conservation de l’´energie-impulsion si le neutrino est une particule ordinaire (ou mˆeme de masse nulle), devient permis si le neutrino est un tachyon et si l’´energie du muon d´epasse un seuil que l’on va d´eterminer.

i) Consid´erons d’abord la r´eaction de production de pion par absorption d’antineutrino tachyonique sur un muon au repos : ¯ν_µ +µ⁻ → π⁻. Repr´esentez sch´ematiquement ce processus sur un graphe d’espace-temps.

ii) D´eterminez, `a l’aide de la notion de masse invariante, l’expression de l’´energie de seuil E_ν de l’antineutrino de masse (imaginaire) m_ν.

4 Champs classiques, PH456 Paris 7

iii) Repr´esentez ce processus dans quelques autres rep`eres ´equivalents. Montrez qu’il existe des rep`eres

´equivalents dans lesquels ce processus apparaˆıt comme une d´esint´egration de muon avec ´emission de neutrino.

iv) Repr´esentez le processus dans le rep`ere correspondant pr´ecis´ement `a la transition entre un processus d’absorption d’antineutrino et un processus d’´emission de neutrino. Quelle est alors la valeur de l’´energieE_ν⁰ du neutrino ? En d´eduire la vitesse de ce rep`ere par rapport au rep`ere du muon.

v) En d´eduire l’expression de l’´energieE_µ⁰ du muon au seuil du processus µ⁻ →π⁻+ν_µ, en termes des masses des particules en jeu.

vi) En tout ´etat de cause, le module de la masse du neutrino est certainement petit. En d´eduire la formule num´erique effective donnant la valeur de l’´energie de seuilE_µ⁰ en fonction de|m_νµ|dans des unit´es pratiques (par exemple le PeV qui vaut 10¹⁵eV).

6. On peut envisager de la mˆeme fa¸con la d´esint´egration β d’un proton en vol, p→n+e⁺+ν_e, dans l’hypoth`ese ou le neutrino ´electronique serait un tachyon.

i) Repr´esentez, sur un graphe d’espace-temps, l’allure du processus de neutrino-production de positron sur un protonau repos: ¯ν_e+p→n+e⁺. D´eterminez l’´energie de seuil de l’anti-neutrino.

ii) Repr´esentez le mˆeme processus dans quelques rep`eres typiques, en particulier au seuil du processus d’´emission d’un neutrino par le proton en vol. Quelle est alors l’´energie de ce neutrino ? Quelle est la vitesse de ce rep`ere ?

iii) En d´eduire l’´energie de seuilE_p⁰ du proton pour la d´esint´egration p→n+e⁺+ν_e.

iv) ´Etablissez la formule num´erique donnant la valeur de l’´energie de seuilE_p⁰ en fonction de |m_νe|. Mise en ´evidence des tachyons

Les mesures directes les plus r´ecentes de la masse du neutrino ´electronique par l’´etude du spectre β dans la d´esint´egration du tritium donnent typiquement m_νe² = −1,0 ±5,1 eV² et ne permettent certainement pas de conclure que les neutrinos sont des tachyons. Mais il existe d’autres indications.

7. Le gauchisme des neutrinos

Empiriquement, on n’a jamais “vu” de neutrino autrement que dans un pur ´etat d’h´elicit´e gauche.

i) Trouvez une raison pour laquelle une particule normale, de masse non nulle, ne peut ˆetre a priori dans un ´etat intrins`eque de signe d’h´elicit´e d´efini, autrement dit ind´ependamment de son observatrice.

ii) Qu’en est-il alors pour le signe de l’h´elicit´e d’une particule de masse nulle ? iii) Montrez, par le mˆeme type d’argument,

qu’un tachyon est n´ecessairement dans un ´etat de signe d’h´elicit´e d´efini.

8. Des tachyons dans la soupe ?

Le rayonnement cosmique est constitu´e, en grande partie, de protons dont le spectre en

´energie dans le domaine de 10¹⁰ `a 10²⁰eV d´ecroˆıt selon deux lois de puissance successives formant un “coude” caract´eristique (la statis- tique des mesures est excellente).

i) En quoi la nature tachyonique du neutrino permettrait-elle d’expliquer cette anomalie ? ii) Quelle serait alors la valeur de la masse du neutrino ´electronique ?

9. Et des neutrons ?

L’instabilit´e du proton dans le cadre du mod`ele du neutrino tachyonique impliquerait l’abondance de neutrons dans le rayonnement cosmique, mais seulement aux ´energies sup´erieures au seuil, et gu`ere au-del`a puisque le spectre des protons sources d´ecroˆıt alors rapidement, donc sous forme de raie au coude. Il reste `a s’assurer que la pr´esence de cette raie constituerait une bonne “signature” du mod`ele.

En effet, ces neutrons pourraient avoir ´et´e ´emis directement par une source de rayonnement cosmique.

i) ´Etant donn´ees l’´energie de cette raie suppos´ee et la vie moyenne du neutron, ´evaluez l’ordre de grandeur de la distance maximale de la suppos´ee source.

ii) Il n’y a manifestement pas de source de rayonnement cosmique pr`es de chez nous, heureusement pour nous d’ailleurs. Les sources les plus proches devraient ˆetre au moins aux confins de notre galaxie,

Champs classiques, PH456 Paris 7 5

`

a une distance de l’ordre de 10⁴ans. Quel serait le domaine d’´energie des neutrons ´emis par une telle source qui nous parviendraient ?

iii) Alors : une raie de neutrons au coude serait-elle une signature du neutrino tachyonique ?

[R´ef. : R. Erlich, “Faster-than-light speeds, tachyons, and the possibility of tachyonic neutrinos”, Am. J. Phys.71(), 1109]