TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

Paris 7 PH456

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

lundi 26 avril , 14h–18h EXAMEN

Les exercices I, II et III sont aussi ´el´ementaires que basiques. Leur r´esolution soigneuse est n´ecessaire et suffisante pour vous assurer la moyenne.

Le probl`eme IV commence doucement, et le d´ebut devrait en ˆetre ais´ement traitable. Ensuite les choses se gˆatent progressivement, pour devenir carr´ement difficiles, faisant appel `a la culture et aux techniques acquises par un(e) maˆıtre(sse) en physique : transformation de Fourier, traitement d´esinvolte de sin- gularit´es d’ailleurs susceptible de beaucoup plus de s´erieux, etc. J’esp`ere ce probl`eme interminable (ce n’est pas seulement du sadisme, voyez-y aussi un hommage, l´eg`erement pesant certes, `a votre valeur) mais croyez bien que, sur ce point tout au moins, je serais trop heureux d’ˆetre d´e¸cu.

I. TRANSFORMATION DE LORENTZ DU CHAMP ´ELECTROMAGN ´ETIQUE 1. Rappelez la d´efinition des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes des

composantes du quadripotentiel.

2. En d´eduire les tableaux des composantesF_µνetF^µν du tenseur du champ en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique.

3. En d´eduire les lois de transformation des composantes des champs ´electrique et magn´etique lors d’une transformation sp´eciale de Lorentz en configuration standard, sans omettre de pr´eciser la signification du param`etre de la transformation.

4. En d´eduire la forme vectorielle de ces lois. Pr´ecisez la signification du param`etre de la transformation.

5. Citez au moins un moyen de v´erifier vos calculs.

II. CONVECTION ET RAYONNEMENT

Une particule de charge positive qui ´etait immobile subit un choc qui la propulse `a vitesse constante de module 1,8×10<sup>8</sup>m s<sup>−1</sup>. Repr´esentez, 1 nanoseconde apr`es le choc, et en expliquant bri`evement : i) l’allure de la r´egion o`u r`egne un champ ´electromagn´etique du type rayonnement ;

ii) l’allure des lignes de champ ´electrique ; iii) l’allure du champ magn´etique.

III. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE PONCTUELLE `A BASSE VITESSE 1. i) Rappelez l’expression du champ ´electrique cr´e´e par une particule charg´ee lorsqu’elle a une vitesse

nulle en l’´ev´enement source.

ii) Pr´ecisez soigneusement la signification de chacun des symboles intervenant dans votre formule.

iii) Quelle est l’expression du champ magn´etique correspondant ?

2. i) Quelles sont les expressions des contributions du type rayonnement aux champs ´electrique et magn´etique ?

ii) Quelles sont les propri´et´es des champs ´electrique et magn´etique rayonn´es ?

iii) Qu’en est-il de ces propri´et´es lorsque la charge a une vitesse non nulle en l’´ev´enement source ? 3. i) Calculez le vecteur de Poynting du champ rayonn´e par la charge `a vitesse nulle.

ii) Calculez l’´energie rayonn´ee dans une direction, dans un angle solide, durant un temps infinit´esimal.

iii) Calculez la puissance totale rayonn´ee.

4. D´ecrivez bri`evement au moins une situation physique qui rel`eve de cette analyse.

2 Champs classiques, PH456 Paris 7 IV. LE RAYONNEMENT ˘CERENKOV

On s’int´eresse aux effets ´electromagn´etiques d’une particule charg´ee se mouvant `a vitesse quasi- constante dans un milieu mat´eriel consid´er´e, pour les besoins de la cause, comme continu.

La premi`ere tˆache va ˆetre d’´etablir, par transposition des r´esultats connus dans le vide, les expressions des potentiels cr´e´es par la charge et le milieu. Pour cela, on puisera lib´eralement dans les r´esultats classiques ´etablis pour une charge dans le vide. Mais leur adaptation va n´ecessiter un retour- aller, r´egressif et n´eanmoins f´econd, au syst`eme l´egal d’unit´es dans lequel les champs ´electrique et magn´etique, les densit´es de charge et de courant, la longueur et le temps,etc.n’avaient pas les mˆemes dimensions.

L’examen de l’expression transpos´ee du potentiel de Li´enard et Wiechert fournira directement les caract´eristiques g´eom´etriques du rayonnement ˘Cerenkov bien connues par ailleurs.

Enfin, l’expression int´egrale du potentiel vecteur permettra, au prix d’une analyse pas totalement triviale, de d´eterminer la densit´e spectrale d’´energie rayonn´ee par unit´e de longueur de la particule en cause.

1. En “syst`eme naturel” (ε0=µ0=c= 1) :

i) Rappelez, les inoubliables expressions des potentiels de Lorentz cr´e´es par des densit´es de charge et de courant. N’omettez pas de pr´eciser la d´efinition du “temps retard´e” qui y figure.

ii) Rappelez, ou retrouvez s’il le faut, les expressions des potentiels de Li´enard et Wiechert cr´e´es par une charge ponctuelle en mouvement quelconque. N’omettez pas de donner la condition d´efinitoire du

“temps source”.

iii) Rappelez l’expression du champ magn´etique cr´e´e par la mˆeme charge ponctuelle en fonction de son champ ´electrique.

2. En “syst`eme international” :

i) Rappelez les ´equations de Maxwell r´egissant les champs cr´e´es dans le vide par des densit´es de charge et de courant, en termes des seules permitivit´e et perm´eabilit´e dudit vide, ε0 et µ0. (Il n’est absolument pas souhaitable, `a ce stade, de faire intervenir la constantec de la relativit´e.)

ii) En d´eduire un dictionnaire soigneux exprimant les valeurs en syst`eme naturel, en termes des valeurs en syst`eme international et des seules constantesε0 et µ0, pour les grandeurs suivantes : densit´es de charge et de courant, charge, champs ´electrique et magn´etique, potentiels scalaire et vecteur, temps, et vitesse.

iii) En d´eduire, toujours dans le vide et en termes des seules constantesε₀etµ₀, les expressions : des potentiels de Lorentz, du temps retard´e, des potentiels de Li´enard et Wiechert, du temps source, et du champ magn´etique d’une charge en fonction de son champ ´electrique. Rappelez ´egalement l’expression de la vitesse de propagation des ondes ´electromagn´etiques.

3. Dans un milieu di´electrique et magn´etique parfait (sans absorption) d´ecrit par le mod`ele lin´eaire, homog`ene, isotrope (permitivit´e et perm´eabilit´e relatives εret µrr´eelles) :

i) Rappelez les ´equations de Maxwell r´egissant les champs cr´e´es par une densit´e de charge, dite libre et une densit´e de courant, dit de conduction.

ii) En d´eduire, en syst`eme international, les expressions correspondantes : des potentiels de Lorentz, du temps retard´e, des potentiels de Li´enard et Wiechert cr´e´es par une charge se mouvant dans le milieu, du temps source, et du champ magn´etique d’une charge en fonction de son champ ´electrique.

Quelle est l’expression de la vitesse de propagation des ondes ´electromagn´etiques dans le milieu ? iii) Utilisant le dictionnaire pr´ec´edemment ´etabli, en d´eduire les mˆemes expressions en syst`eme naturel.

iv) R´e´ecrivez enfin les mˆemes expressions en y faisant intervenir, partout o`u cela apporte une simplification d’´ecriture, le rapport n des vitesses de propagation dans le vide et dans le milieu, autrement dit l’indice de r´efraction du milieu.

4. Caract´eristiques g´eom´etriques du rayonnement ˘Cerenkov :

i) Montrez que les potentiels de Li´enard et Wiechert peuvent, `a l’occasion, ˆetre singuliers (impliquant, sinon une singularit´e des champs, au moins un extremum). Dans quelle condition ? Dans quelle direction ?

ii) Qu’en est-il pour un ´electron de 1 MeV dans l’eau,n≈1,34.

Champs classiques, PH456 Paris 7 3 5. Passons `a l’analyse plus d´etaill´ee...

i) Compte tenu des propri´et´es g´en´erales des champs ´electrique et magn´etique de rayonnement dans un milieu, d´eterminez l’expression du vecteur de Poynting du rayonnement en termes du carr´e du champ magn´etique et de l’indice de r´efraction.

ii) En d´eduire l’expression de l’´energie rayonn´ee dans un angle solide pendant une dur´ee infinit´esimale.

iii) En d´eduire l’expression de l’´energie totale rayonn´ee dans un angle solide en tous temps.

iv) Montrez que cette ´energie rayonn´ee par angle solide peut s’exprimer comme une int´egrale, sur toutes les fr´equencespositives, du module carr´e de l’amplitude de la transform´ee de Fourier temporelle du champ magn´etique. (R´esultat autrement connu sous le nom d’´egalit´e de Parseval.)

v) En d´eduire l’expression correspondante de la densit´e spectrale de l’´energie rayonn´ee par angle solide.

6. Pour poursuivre, il nous faut maintenant d´eterminer quelques caract´eristiques de l’amplitude de la transform´ee de Fourier temporelle du champ magn´etique cr´e´e par la charge et le milieu. Pour cela, on va plutˆot utiliser la formule int´egrale (potentiel de Lorentz) du potentiel vecteur.

i) D´eterminez l’expression int´egrale de l’amplitude de Fourier du potentiel vecteur en termes de l’amplitude (de Fourier) de la densit´e de courant (de conduction, cela ira sans dire).

ii) En d´eduire le comportement asymptotique de l’amplitude du potentiel vecteur loin de la zone source.

iii) En d´eduire, toujours en terme d’int´egrale de l’amplitude de la densit´e de courant, le comportement asymptotique de l’amplitude du champ magn´etique.

iv) Donnez l’expression de la densit´e de courant associ´ee `a une charge ponctuelle se mouvant `a vitesse constante. En d´eduire l’expression de l’amplitude de cette densit´e de courant.

v) En d´eduire le comportement asymptotique de l’amplitude du champ magn´etique correspondant, en terme d’int´egrale sur toutes les positions successivement occup´ees par la particule.

vi) Montrez que ce comportement est du type rayonnement. Ce rayonnement ne pouvant provenir de la charge dont la vitesse est, rappelons-le, constante, quelle est sa source ?

7. Ne reste plus qu’`a achever l’estimation de l’´energie rayonn´ee :

i) ´Ecrire l’expression de la densit´e spectrale d’´energie totale rayonn´ee dans toutes les directions.

ii) Le proc´ed´e le plus ´el´ementaire pour donner un sens aux int´egrales mal d´efinies qui apparaissent dans cette expression consiste, puisque le champ rayonn´e est tr`es localis´e dans l’espace-temps, `a n’int´egrer sur les positions de la charge que dans un domaine sym´etrique autour de l’´ev´enement source. Calculez cette int´egrale.

iii) Montrez que l’int´egrale sur les directions peut alors ˆetre ´evalu´ee en remarquant la pr´esence, dans l’int´egrant, d’une repr´esentation de la “fonction” delta.

iv) En d´eduire, enfin, l’expression de la densit´e spectrale d’´energie rayonn´ee par unit´e de longueur du parcours de la charge.

8. Quelques ´evaluations concernant une charge ´el´ementairee:

i) Quel sera l’aspect visible du rayonnement ˘Cerenkov d’une particule charg´ee dans l’eau ?

ii) ´Etablir l’expression du nombre de photons de fr´equence∈[ω,dω[ ´emis par unit´e de longueur dans un milieu di´electrique (µr= 1).

iii) Tous les milieux ´electriques sont en fait dispersifs : la permitivit´eεr, et donc l’indicen, d´ependent de la fr´equence. Quelle est la limite de l’indice `a haute fr´equence ? En d´eduire l’expression int´egrale (sur quel domaine ?) du nombre total (toutes fr´equences confondues) de photons ˘Cerenkov ´emis par unit´e de longueur.

iv) Pour fin d’estimation d’ordre de grandeur, imaginons un domaine de fr´equences de largeur ω0, autour de la valeur ω0, et dans lequel l’indice est beaucoup plus grand que la vitesse de la charge.

Evaluez le nombre de photons dont la fr´´ equence est dans ce domaine qui sont ´emis par unit´e de longueur.

R´ef´erences

Pour l’approche heuristique sugg´er´ee ici : W. Panofsky &M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley (Reading, ).

Pour des traitements plus circonstanci´es, et par ailleurs fort diff´erents :J. Schwinger& al.,Classical Electrodynamics, Perseus Books (Reading ) ; L. Landau & E. Lifchitz, Physique th´eorique, t. 8, ´Electrodynamique des milieux continus, ´Editions Mir (Moscou).