Paris 7 PH042
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN PARTIEL
t0= (mercredi 6 janvier, 14 h), ∆t= 4 heures
Les quatre premiers exercices sont de simples applications directes, voire scolaires, de l’enseignement que nous vous avons inflig´e. Leur traitement est suffisant, et n´ecessaire, pour obtenir la moyenne. Ils sont suivis de deux probl`emes r´ealistes, et mˆeme r´eels, faisant plus g´en´eralement appel `a vos connais- sances, votre intuition et votre culture. Le probl`eme V n’exige que des calculs tr`es simples mais une analyse claire de la situation. Le probl`eme VI comporte quelques calculs plus compliqu´es. Consid´erez la longueur de l’ensemble comme un hommage `a votre valeur. Bon courage !
I. QUADRIVITESSE ET COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS(3 points) 1. Rappelez la d´efinition de la quadrivitesse d’un mobile.
2. En d´eduire...
i) les expressions des composantes de la quadrivitesse dans un rep`ere o`u la vitesse du mobile estv; ii) inversement, l’expression deven fonction des composantes de la quadrivitesse.
3. Un rep`ere R’ a une vitesse v par rapport au rep`ere R dont l’axe ˆx est choisi suivant cette vitesse. On choisit les axes de R’ en sorte que R et R’ soient en configuration standard.
Un troisi`eme rep`ere R” a une vitesse v0 par rapport `a R’, suivant l’axe ˆy0, et les axes de R” sont choisis en sorte que R’
et R” soient en configuration standard.
i) Calculez chacune des composantesW0µ de la quadrivitesse de R” dans le rep`ere R’.
ii) En d´eduire, par transformation sp´eciale de Lorentz, chacune des composantesWµde la quadrivi- tesse de R” dans le rep`ere R.
iii) En d´eduire les composantes de la vitessew de R” par rapport `a R.
iv) Calculez de mˆeme les composantesU0µetU”µ de la quadrivitesse de R dans les rep`eres R’ et R”, et enfin les composantes de la vitesse u” de R par rapport `a R”.
v) Conclusion et commentaires ?
2 Champs classiques, PH042 Paris 7 II. MOUVEMENT `A ACC ´EL´ERATION PROPRE CONSTANTE (7 points) 1. Rappelez l’´equation x(t) de la ligne d’univers ci-contre repr´esentant un mobile
en mouvement rectiligne `a acc´el´eration propre constantea.
2. i) Calculez la vitesse du mobile `a l’instantt.
ii) Calculez le temps propre du mobile `a l’instantten choisissant, par exemple, l’origine τ(t= 0) = 0.
3. Calculez, en fonctions du temps propre du mobile,...
i) ses coordonn´eestet x; ii) sa vitesse ;
iii) les composantes de sa quadri-vitesse ; iv) les composantes de sa quadri-acc´el´eration ; v) son acc´el´eration propre.
4. Deux mobiles (1) et (2) sont en mouvement rectiligne sur la mˆeme trajectoire, `a acc´el´erations propres constantes, dans la mˆeme direc- tion, de modules a1 et a2 < a1. A l’instant t = 0, les deux mobiles ont une vitesse nulle et le mobile (2) est `a la distance 1/a2−1/a1 du mobile (1) dans la direction des acc´el´erations.
i) Un signal radar, ´emis par (1), est re¸cu et r´efl´echi par (2) `a t= 0, et son ´echo est re¸cu par (1). Repr´esentez tout ¸ca (lignes d’univers des mobiles et des signaux radar) sur un graphe d’espace-temps.
ii) Quelle est la relation entre les coordonn´ees xettde l’´ev´enement r´eception de l’´echo ?
iii) Quelle est alors la valeur du temps propre de (1) ?
iv) En d´eduire la “distance radar” de (2) ainsi mesur´ee par (1), autrement dit, en bonne orthodoxie,ddf= ∆τ /2 o`u ∆τ est l’intervalle de temps propre de (1) qui s´epare l’´emission du signal de la r´eception de son ´echo.
v) Repr´esentez graphiquement un processus de mesure de distance radar par ´emission `a un autre instant. Quel sera `a votre avis (motiv´e) le r´esultat de cette mesure ?
III. SEUIL(2 points)
Quelle valeur minimale d’´energie faut-il donner `a un photon diffus´e sur un ´electron au repos pour que ce photon se mat´erialise en paire ´electron-positron ?
Ce r´esultat est-il applicable, tel quel, au cas d’un photon incident sur un ´electron d’un atome ? Pourquoi ?
IV. EFFET DOPPLER(2 points)
Une source de rayonnement se d´eplace `a une vitessevpar rapport au laboratoire. Dans le laboratoire, un photon ´emis par cette source a l’´energie eet se propage dans une direction formant l’angle ϑpar rapport `a la vitesse de la source.
1. Calculer chacune des composantes de la quadri-impulsion du photon dans le rep`ere du labo dont on choisit l’axe ˆxdans la direction de la vitesse de la source.
2. En d´eduire, par transformation de Lorentz (que rien n’interdit de choisir sp´eciale et en configuration standard), l’´energiee0, les composantes spatialesp0x,p0y,p0zde l’impulsion du photon et le cosinus de l’angle ϑ0 de sa direction de propagation avec l’axe ˆx0, dans le rep`ere de la source.
3. Quelles v´erifications des r´esultats de vos calculs pouvez-vous imaginer ?
Champs classiques, PH042 Paris 7 3 V. TOUJOURS PLUS VITE
La source de rayonnement X dur GRS1915+105 a ´et´e d´ecouverte en
(GR pour GRANAT, le nom du satellite d´ecouvreur, S pour source, 1915+105 pour la position de la source : ascension droite 19h15m, d´eclinaison +10o5’). En observant cette source dans le do- maine radio, Mirabel et Rodriguez ont d´etect´e des r´eceptions in- tenses les 26 f´evrier, 3 mars, 19 mars et 23 avril . Ils se sont alors int´eress´es au mouvement d’une paire de lobes radio intenses
´emergeant du cœur concentr´e de la source dans des directions op- pos´ees.
Les cartes des intensit´es observ´ees `a diverses ´epoques, `a la longueur d’onde 3,5 cm, sont repr´esent´ees sur la figure ci-contre `a droite (les cartes successives sont dis- pos´ees avec des ´ecarts pro- portionnels `a l’intervalle de temps qui s´epare leurs ´epo- ques d’observation). La po- sition du cœur est indiqu´ee par une croix. L’´echelle en bas de la figure indique la longueur repr´esentant une seconde d’arc.
Les vitesses angulaires de d´eplacement des lobes bril- lants par rapport au cœur concentr´e sont report´ees sur la figure ci-contre `a gauche.
1. Le scoop
Une m´ethode indirecte (fond´ee sur l’´evaluation de l’opacit´e du milieu interstellaire au rayonnement de 21 cm), donc sujette `a caution, permet d’estimer la distance du cœur `a D ≈ 40 000 ans. Quelles valeurs de vitesse apparente de chacun des lobes en d´eduisez-vous ? Et alors ?
2. Mod´elisation
On consid`ere que le ph´enom`ene observ´e est dˆu `a l’´ejection par le cœur d’une paire de nuages de plasma se d´epla¸cant, dans des directions oppos´ees, `a la vitessev (inconnue) par rapport au cœur (lui-mˆeme
`
a peu pr`es stationnaire, `a une distance D (inconnue), par rapport au laboratoire d’observation, en l’occurrence le Very Large Array Telescope `a Hawai), sous des anglesϑetπ−ϑ(inconnus) par rapport
`
a la direction d’observation.
i) Calculez la diff´erence de tempst02−t01s´eparant les r´eceptions de deux photons ´emis, aux instantst1 et t2 respectivement, par le nuage en approche. En d´eduire la vitesse apparenteva de ce nuage, et sa vitesse angulaire apparenteωa(celle que l’on mesure sur les cartes radio). Mˆemes questions pour les vitessesvr etωrdu nuage en r´ecession.
4 Champs classiques, PH042 Paris 7 ii) En d´eduire, d’une part, l’expression de la vitesse longitudinale vcosϑ en fonction des vitesses angulairesωa etωr. Calculer, `a l’aide des informations exp´erimentales, la valeur num´erique devcosϑ et en d´eduire une limite pour l’angleϑ.
iii) En d´eduire, d’autre part, l’expression de la distance D en fonction de l’angle ϑ et des vitesses angulairesωa etωr. A l’aide de la valeur limite deϑ, en d´eduire la valeur limite de la distanceD du cœur. Dans quelle r´egion de l’univers cette limite place t-elle le cœur avec certitude ?
3. Prospective
Les astrophysiciens esp`erent un jour parvenir `a identifier, dans le rayonnement re¸cu des deux nuages, les raies caract´eristiques d’un ´el´ement ´emetteur. Ils seraient alors `a mˆeme de comparer la longueur d’onde d’une raie mesur´ee dans le spectre re¸cu et la longueur d’onde connue de la mˆeme raie dans le spectre ´emis.
i) Calculez, `a l’aide de la formule de l’effet Doppler, le rapport de la longueur d’onde λ d’une raie d’´emission (dans le rep`ere de l’´emetteur) et de la longueur d’onde λa observ´ee dans le lobe correspondant au nuage en approche.
ii) R´ecapitulation. Les informations exp´erimentales dont on disposerait seraient ainsi, outre les vitesses angulaires ωa et ωr, le rapport λ/λa. Quelle est l’expression de la vitesse v des nuages en fonction de ces r´esultats de mesures ? Comment peut-on alors obtenir (r´ecapitulez les formules) l’inclinaison ϑet enfin, et surtout, la distanceD de la source ?
R´efs : I.F.Mirabel& L.F.Rodriguez,
Microquasars in our Galaxy, Nature392() 673 ; A superluminal source in the Galaxy, Nature371() 46.
VI. MISE EN ´EVIDENCE CIN ´EMATIQUE D’UNE NOUVELLE PARTICULE Le m´eson η a ´et´e d´ecouvert en . Lors de cette premi`ere manifestation, on pouvait attribuer au η une charge nulle, un spin probablement nul, une masse mη ≈ 546 MeV, et les modes de d´esint´egration charg´e η → π+π−π0 et neutre η → 2γ. La confirmation de l’existence de cette particule fut imm´ediatement entreprise au laboratoire de Brookhaven par l’analyse des paires de photons de d´esint´egration des η produits par la r´eaction π−+p → n+η. On va voir comment de simples consid´erations sur la cin´ematique de ces paires de photons permettaient de d´eterminer la masse duη. Mais, dans cette exp´erience, les paires de photons observ´ees pouvaient ´egalement provenir de la d´esint´egration des m´esonsπ0produits par la r´eactionπ−+p→n+π0. Pour d´ebrouiller tout cela on va d’abord consid´erer, en g´en´eral, la paire de photons de d´esint´egration d’une particule neutreX0 produite par la r´eactionπ−+p→n+X0. Les masses des particules connues sont :mπ−= 139,6 MeV, mp = 938,3 MeV,mn= 939,6 MeV etmπ0 = 135,0 MeV.
Etude cin´´ ematique du mode de d´esint´egration neutre du X0
On consid`ere N d´esint´egrations de particules X0 de mˆeme quantit´e de mouvement. Dans un rep`ere, disons R, un ´ev´enement est la d´esint´egration d’unX0de quantit´e de mouvementp0 en deux photons de quantit´es de mouvementk1 etk2.
1. Etablissez, `´ a l’aide de la conservation de la quadri-impulsion totale, une relation entre la masse m0
duX0, les ´energiesk1,k2des deux photons et l’angle d’ouverture Θ entre leurs directions. En d´eduire que cet angle d’ouverture n’est jamais nul.
2. Dans le rep`ere du X0.
i) Calculez les ´energiesk∗1 etk2∗ des photons.
ii) Le photon 1 est ´emis dans une direction formant l’angleϑ∗1 avec la direction oppos´ee `a la vitesse du rep`ere R. Quelle est la direction ϑ∗2d’´emission du photon 2 ?
iii) Au cours des N d´esint´egrations, on d´etecte d2N (en moyenne) photons ´emis dans l’angle solide d2Ω∗1. Montrez que la distribution angulaire des photons ´emis ne peut ˆetre qu’isotrope, autrement dit d2N/d2Ω∗1 est une constanteC (ind´ependante de la directionϑ∗1, ϕ∗1).
3. Retour au rep`ere R.
i) Calculez la vitesseβ duX0.
ii) Calculez les ´energiesk1 etk2 des photons en fonctions deϑ∗1,β etm0.
iii) En d´eduire l’expression de cosϑ∗1 en fonction deβ et de l’angle d’ouverture Θ.
Champs classiques, PH042 Paris 7 5 iv) Sachant que d2N = C d(cosϑ∗1)dϕ∗1, en d´eduire l’expression de la distribution des angles d’ouverture,d2N/dΘdϕ.
v) Montrez que cette distribution est caract´eris´ee par un angle d’ouverture minimal dont vous donnerez l’expression en fonction de la massem0et de l’´energie e0duX0.
vi) Tracez l’allure de la distribution des angles d’ouverture Θ.
Production de X0 par la r´eaction π−+p→n+X0
Soitsle param`etre de Mandelstam (ou carr´e de l’´energie totale dans le rep`ere du centre de masse, ou carr´e de la masse invariante) de la r´eaction.
4. Montrez que la distribution des angles d’ouverture Θ, des photons de d´esint´egration du X0, dans le rep`ere du centre de masse du syst`eme π−p, pr´esente un angle minimum caract´eristique de la masse duX0et des.
Analyse de l’exp´erience
L’exp´erience consistait `a faire interagir un faisceau deπ−, quantit´e de mouvementp0π− = 1133 MeV, avec les protons du liquide d’une chambre `a bulles. Le comptage des divers ´ev´enements et un traitement des donn´ees (par transformation de Lorentz et soustraction du bruit de fond) permettent de pr´esenter le r´esultat de cette exp´erience sous forme d’histogramme
des angles d’ouverture des paires de photons dans le rep`ere du centre de masse du syst`eme π−p (figure ci-dessous `a gauche).
5. Calculezset la valeur maximale de la masse des particulesX0qui pouvaient ˆetre ainsi produites.
6. V´erifiez que la distribution des angles d’ouverture obtenue est bien caract´eristique de la production- d´esint´egration deπ0.
7. Pourquoi choisir de pr´esenter les r´esultats de cette exp´erience dans le rep`ere du centre de masse du syst`eme π−p?
8. Apr`es soustraction des ´ev´enements correspondants `a la d´esint´egration deπ0, on obtient la distribution des angles d’ouvertures repr´esent´ee sur la figure ci-dessus `a droite. En d´eduire l’existence d’une nouvelle particule cr´e´ee-d´esint´egr´ee dont vous ´evaluerez la masse.
6 Champs classiques, PH042 Paris 7 Traitement des donn´ees brutes
Sur un clich´e de chambre `a bulles, les particules neutres ne laissent pas de traces, mais la pairee−e+ de mat´erialisation de chaque photon laisse, elle, des traces dont la mesure permet de reconstituer la trajectoire du photon. On d´etermine ainsi les anglesϑ01etϑ02d’´emission des photons de d´esint´egration d’unX0par rapport au faisceau deπ− incidents. Reste `a calculer l’angle d’ouverture Θ correspondant dans le rep`ere du centre de masse du syst`emeπ−p. Pour cela...
9. Etablir, au moyen de la conservation de la quadri-impulsion totale dans le processus´ X0→2γ, une relation entre Θ,k1,k2 (dans le rep`ere du centre de masse deπ−p) et Θ0, k01, k02 (dans le rep`ere du laboratoire).
10.Etablir l’expression de la vitesse´ βc.m.du rep`ere du centre de masse deπ−ppar rapport au laboratoire en fonction des caract´eristiques de la r´eaction dans le laboratoire. Calculez la valeur de βc.m. pour l’exp´erience ´etudi´ee ici.
11.Etablir, par transformation de Lorentz, les expressions des ´energies´ k1 etk2 des photons en fonctions de leurs ´energies k01,k20 et anglesϑ01,ϑ02 dans le laboratoire et de la vitesseβc.m..
12.En d´eduire l’expression de Θ en fonction deϑ01,ϑ02 etβc.m.. R´efs :
M. Chr´etien&al.,Evidence for spin zero of theηfrom the two gamma-ray decay mode, Phys. Rev.
Lett.9() 127 ;
F. Zomer, TD2, DEA CPM (-).
