Paris 7 PH456
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN PARTIEL
t0= (mardi 14 d´ecembre, 9 h), ∆t= 4 heures Calculettes rigoureusemment autoris´ees
Pas d’affolement : les exercices I `a V, r´eellement ´el´ementaires, sont suffisants (et n´ecessaires) pour vous assurer la moyenne ; le reste, moins direct, est l`a pour le sport et le plaisir des amateurs de performances.
Quelques remarques...
– Typographique : les symboles gras, p,v etc., d´esignent des (tri)vecteurs.
– S´ecuritaires : V´erifiez l’homog´en´eit´e `a chaque ´etape de vos calculs. Persister dans une erreur de dimension est une faute agravante. N’omettez pas les unit´es de vos r´esultats num´eriques.
– Moralisatrices : Privil´egiez l’intelligence plutˆot que l’´erudition, autrement dit le cœur plutˆot que le par cœur. Choisissez les m´ethodes les plus simples (c’est ´evidemment plus difficile). ´Evitez les complications formelles inutiles, d´efaut franchouillard qui risque d’apparaˆıtre pour de la p´edanterie et n’impressionne que les profanes.
les G.O.
I. INVARIANT(2,5 points) Les mesures de position et de temps des ´ev´enements A, B, C et D effectu´ees par un laboratoire inertiel sont repr´esent´ees sur le graphe ci-joint.
1. Calculez les intervalles-carr´es associ´es `a chacun des couples d’´ev´ene- ments (A,B), (C,D) et (B,D).
2. Quels sont les genres de chacun de ces intervalles ?
3. Le vaisseau Explorer 1 d´erive (moteurs coup´es) de l’´ev´enement A
`
a l’´ev´enement B. Calculez la dur´ee de cette d´erive `a l’horloge du vaisseau, en m`etres puis en secondes.
II. EFFET DOPPLER LONGITUDINAL (2,5 points)
Un d´etecteur re¸coit les ´eclairs lumineux ´emis p´eriodiquement par une source qui se meut sur une droite passant par ledit d´etecteur.
1. Repr´esentez ce sc´enario (lignes d’univers du d´etecteur, de la source et de quelques ´eclairs tant en phase d’approche que de r´ecession) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere du d´etecteur.
2. La source a une vitessev par rapport au d´etecteur, et ses ´emissions sont s´epar´ees par des intervalles de tempsT∗ (`a son horloge). Calculez les intervalles de temps T s´eparant les r´eceptions (`a l’horloge du d´etecteur), selon que les signaux re¸cus viennent de l’avant ou de l’arri`ere de la source.
3. En d´eduire la fr´equence ν d´etect´ee pour un rayonnement monochromatique ´emis `a la fr´equence ν∗, selon que ce rayonnement se propage dans la direction du mouvement de la source ou dans la direction oppos´ee.
4. Que devient cette loi dans le cas d’un ´emetteur `a basse vitesse ?
2 Champs classiques, PH456 Paris 7 III. SCOLAIRE (2,5 points)
Laureline et Valerian, tous deux inertiels, ont un ´ev´enement commun dans leurs vies respectives qu’ils d´ecident de prendre pour origine. Laureline choisit son axe ˆxsuivant la vitesse de Valerian et, pour le reste, ils conviennent d’une configuration standard.
1. Rappelez l’expression des coordonn´ees (t, x, y, z) affect´ees `a un ´ev´enement par Laureline en fonction des coordonn´ees (t0, x0, y0, z0) affect´ees au mˆeme ´ev´enement par Valerian.
2. Calculer les composantes de la vitesse d’un papillon par rapport `a Laureline en fonction des composantes de la vitesse du mˆeme papillon par rapport `a Valerian.
3. En d´eduire la forme vectorielle de la loi de composition des vitesses entre deux rep`eres reli´es par transformation sp´eciale de Lorentz.
IV. ACC ´EL´ERATION, RAPIDIT´E ET GRANDS VOYAGES (2,5 points) Vous ˆetes dans votre vaisseau spatial, moteurs allum´es, en mouvement rectiligne.
1. D´ecrivez une m´ethode de mesure de l’acc´el´eration propre au vaisseau, a(τ), `a l’instantτ `a l’horloge de bord.
2. D´ecrivez le principe d’une exp´erience vous permettant de vous assurer que votre vaisseau est effectivement en mouvement rectiligne (par rapport `a quoi au fait ?).
3. Entreτ etτ+dτ la vitesse du vaisseau passe dev`av+dvpour la station de contrˆole, inerte, et de 0 `a a(τ)dτ pour vous (si vous avez chauss´e vos “rollers” `aτ). En d´eduire, `a l’aide de la loi de composition des vitesses, l’expression dea(τ)dτ en termes dev etdv.
4. En d´eduire l’expression de a(τ)dτ en fonction de la variation dϕ de la rapidit´e du vaisseau pour la station de contrˆole.
Vous aviez remis l’horloge de bord `a z´ero au moment de quitter la station de contrˆole, et depuis cette s´eparation vous pilotez le vaisseau en sorte que son acc´el´eration propre soit constante.
5. Quelle est la valeur de la rapidit´e du vaisseau `a l’instantτ?
6. En d´eduire les expressions du facteur γ(τ), des composantes Ut(τ) et Ux(τ) de la quadrivitesse du vaisseau dans le rep`ere de la station de contrˆole, et des composantes At(τ) et Ax(τ) de la quadri- acc´el´eration. Calculez A
e
2.
7. Grˆace au souvenir de la d´efinition de la quadrivitesse, et aux expressions trouv´ees pour ses com- posantes, d´eterminez les coordonn´eest(τ) etx(τ) de votre vaisseau par rapport `a la station de contrˆole.
8. En d´eduire l’´equation x(t) de la ligne d’univers de votre vaisseau pour la station de contrˆole.
Repr´esentez sur un graphe d’espace-temps l’allure de cette ligne d’univers avec ses caract´eristiques principales.
9. Par souci de confort, vous pilotez votre vaisseau `a l’acc´el´erationa= 9,8 m s−2, et il vous reste, depuis le d´epart et comme la plupart d’entre nous, une cinquantaine d’ann´ees `a vivre. Estimez la distance `a laquelle vous pourrez vous rendre.
10.Si ce voyage est physiquement et biologiquement, sinon psychologiquement, concevable, vous semble t-il ´economiquement plausible ? Pourquoi (en quelques mots) ?
V. GRANDEURS DYNAMIQUES D’UNE PARTICULE (2,5 points) 1. Rappelez la d´efinition de la quadri-impulsion p
˜ d’une particule ?
2. En d´eduire les expressions de ses composantes en fonction de la vitesse de la particule.
3. Quelles sont les identit´es remarquables satisfaites par la quadri-impulsion et par ses composantes ? 4. Qu’en est-il pour une particule dont la quadri-impulsion a la propri´et´ept=|p|?
Champs classiques, PH456 Paris 7 3 VI. P´ERIODE DE D ´ESINT´EGRATION DU K+
Un faisceau de m´esons K+ (instables) mono-´energ´etiques traverse deux d´etecteurs successifs. La perte d’´energie des particules dans les d´etecteurs est n´egligeable... mais suffisante pour produire des impulsions ´electriques qui sont compt´ees. Le premier d´etecteur compte en moyenne 1000 impulsions et la distance du deuxi`eme d´etecteur est ajust´ee en sorte qu’il n’en compte, en moyenne, que 250. La distance entre les deux d´etecteurs est alors de 9 m`etres, et lorsqu’une impulsion est signal´ee dans le deuxi`eme d´etecteur, elle est en retard de 35 ns sur l’impulsion signal´ee par le premier d´etecteur. En d´eduire la p´eriodeτ1/2 de d´esint´egration duK+(temps apr`es lequel ne survit, en moyenne, qu’unK+ sur deux) dans son rep`ere.
VII. INTELLO
Dans un article r´ecent (Am. J. Phys.67, nov., 1007–1012)), on trouve encore une ´etude consacr´ee aux r`egles rigides acc´el´er´ees, s’appuyant sur des calculs parfaitement justes. Discutez n´eanmoins ce sujet en quelques lignes et au moyen de graphes d’espace-temps.
VIII. ABERRATION DES ´ETOILES “FIXES”
Dans un rep`ere h´eliocentrique (le Soleil et autres ´etoiles y sont `a peu pr`es fixes) la lumi`ere d’une ´etoile parvient `a la Terre avec une vitesse v. Dans un rep`ere g´eocentrique (Terre fixe) cette mˆeme lumi`ere parvient `a l’astronome de service avec la vitessev0. Pour analyser cette situation, vous choisissez les axes des rep`eres en configuration standard, avec l’axe ˆxdu rep`ere h´eliocentrique suivant la vitesse βββ de la Terre.
1. Quelles sont les valeurs des modules des vitessesvet v0?
2. Etablissez, au moyen de la loi de composition des vitesses, les expressions des composantes´ vx0 et vy0 de la vitesse en fonction des composantes vx,vy et deβ.
3. En d´eduire l’expression de cosϑ0 en fonction de cosϑetβ.
4. Suite `a ces impressionnants calculs relativistes il est temps de redescendre sur Terre dont le rayon d’orbite vautr⊕ ≈1,50×1011m. Calculez la valeur de β.
5. Etablissez une expression approch´ee de l’“aberration”,´ δϑ df= ϑ0 −ϑ (formule de Bradley, ), adapt´ee au cas de l’astronome terrestre. (La constante de proportionnalit´e, caract´eristique du mouvement de la Terre, qui apparaˆıt dans cette formule s’appelle la “constante d’aberration”.) 6. Quelle est la valeur en radians de la constante d’aberration de la Terre ? Calculez cette valeur en
secondes d’arc.
7. Discussion...
i) Cette aberration a ´et´e observ´ee parBradley, d`es le XVIII`esi`ecle. Ses observations pouvaient-elles manifester des effets “relativistes” ?
ii) L’effet que nous avons ´etudi´e ici est l’“aberration annuelle”. Nous avons ´elud´e le mouvement de rotation de la Terre sur elle-mˆeme ; qu’en est-il de l’“aberration diurne” correspondante ?
4 Champs classiques, PH456 Paris 7 iii) Nous avons aussi escamot´e l’effet de la distance finie de l’´etoile qui se traduit par une parallaxeδk lorsque l’astronome se d´eplace, ne serait-ce qu’en attendant six mois. Estimez la valeur maximale deδϑk.
IX. R´EACTION INVERSE DE LA D ´ESINT ´EGRATION DU MUON
Ne vous y trompez pas : quoique un tantinet calculatoire (mais sans faire appel `a des notions plus compliqu´ees que la transformation sp´eciale de Lorentz en configuration standard, l’´energie-impulsion et ses identit´es remarquables, les invariances, et les principes de conservation), ce probl`eme n’est pas acad´emique. Les questions qu’il pose ´etaient cruciales pour le projet d’une exp´erience `a laquelle participait, il y a maintenant quelques temps, l’un de vos enseignants.
On se propose donc de mettre en ´evidence la r´eactionνµ+e−→µ−+νe. On dispose pour cela d’un faisceau de neutrinos muoniques (impulsion pνµ ≈50 GeV) frappant des ´electrons (masseme≈0,511 MeV) pratique- ment au repos, et on d´etecte les muons (mµ≈106 MeV) ´eventuellement produits. Les masses des neutrinos muonique et ´electronique sont con- sid´er´ees comme nulles (trop heureux si cette manip ´etait sensible `a ces masses toujours d´ebattues).
Les ´ev´enements esp´er´es sont rares car le processus rel`eve de l’interaction faible. Il importe donc de se pr´emunir du bruit du fond dans le d´etecteur. Celui-ci op`ere efficacement l’identification de la particule et n’enregistre que les muons. Reste que le bruit de fond des muons produits dans la haute atmosph`ere par les protons cosmiques est important. On se demande donc si, pour les muons qui nous int´eressent, n’existerait pas un angle de diffusion maximumϑmax, suffisamment petit pour que le rejet des ´ev´enementsϑ > ϑmax permette d’´eliminer la plus grande partie du bruit de fond. Nous allons voir qu’avec m´ethode cette d´etermination deϑmax est simple — sinon on peut errer longtemps !
1. Calculez le param`etre de Mandelstam (ou masse invariante carr´ee) s de l’exp´erience en fonction de l’impulsion pνµ. En d´eduire, inversement, l’expression depνµ en fonction de s.
2. Calculez la vitesseβ du rep`ere dit “du centre de masse” en fonction depνµ, puis des. En d´eduire le facteur γcorrespondant, en fonction des.
3. Dans le rep`ere du centre de masse...
i) Quel est, a priori, le domaine de variation de l’angle de diffusion ϑ∗ du muon ?
ii) Quelle est la relation entre modulesp∗µ et p∗νe des impulsions du muon et du neutrino ´electronique ?
iii) Calculezp∗µ en fonction de s.
iv) Calculez la vitesse β∗µdu muon en fonction de p∗µ, puis des.
4. Retour au labo...
i) Calculez, par transformation de Lorentz, les composantes de l’impulsion du muon dans le laboratoire en fonctions des caract´eristiques du muon dans le rep`ere du centre de masse.
ii) En d´eduire l’expression de tanϑen fonction des caract´eristiques du muon dans le rep`ere du centre de masse.
iii) Pour quelle valeur deϑ∗ l’angle ϑest-il maximum ? iv) En d´eduire l’expression de tanϑmaxen fonction de s.
v) Les exp´erimentateurs pr´ef`erent bien sˆur caract´eriser leur exp´erience par la valeur depνµ plutˆot que par s. D´eterminez une expression approch´ee de ϑmax, valide pour l’exp´erience projet´ee, en fonction depνµ. Calculez la valeur deϑmaxet donnez votre r´esultat dans des unit´es convaincantes.
