Paris 7 PH456
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN PARTIEL
t0= (mercredi 20 d´ecembre, 13 h 30), ∆t= 3 h 30 Calculettes rigoureusemment autoris´ees
D´eception : les exercices I `aIV sont tout bonnement scolaires. Rien de plus que ce que vous avez vu en cours ou en travaux dirig´es, mais leur r´esolution est suffisante (et n´ecessaire) pour vous assurer la moyenne. Le d´ebut du probl`eme V a lui aussi d´ej`a ´et´e trait´e en travaux dirig´es. La suite devient progressivement plus ambitieuse quoique ne faisant appel qu’`a des notions ´el´ementaires.
Votre droit `a la (voire votre devoir de) bri`evet´e n’exclut pas une certaine exigence logique : ne pas confondre rappel, d´efinition ou d´eduction.
V´erifiez la dimension de tout r´esultat litt´eral. Une faute de dimension est impardonnable et sa propagation encore pire.
Evitez la triste expression d’“application num´erique” : la nature n’est pas une application num´erique !´ Par contre, n’omettez pas d’indiquer les unit´es de toute donn´ee ou r´esultat num´erique dimensionn´e.
Bon courage.
les G.O.
I. INVARIANTS, GRAPHE D’ESPACE-TEMPS
Dans un rep`ere inertiel (t, x, y, z), trois ´ev´enements O, A et B, spatialement align´es, ont pour coordonn´ees respectives :
tO= 0, xO = 0, yO= 0, zO= 0,
tA=−2 s, xA= 2 s, yA= 0, zA= 0,
tB= 3 s, xB= 5 s, yB= 0, zB = 0.
1. Repr´esentez ces ´ev´enements sur un graphe d’espace-temps.
2. Quels sont les genres des couples d’´ev´enements (A,B), (O,A) et (O,B) ? Qu’implique cette classifica- tion ?
3. Calculez les intervalles invariants associ´es aux mˆemes couples.
4. Calculez l’intervalle de temps ∆t0 s´eparant les ´ev´enements A et B dans un rep`ere o`u ils ont mˆeme position.Calculez la vitesse de ce rep`ere par rapport au premier.
5. Calculez la distance spatiale ∆x00s´eparant les ´ev´enements O et B dans un rep`ere o`u ils sontsimultan´es.
6. Repr´esentez la transformation `a ce rep`ere (t00, x00, y00, z00) sur le graphe d’espace-temps dans le rep`ere (t, x, y, z). Indiquez en particulier la construction graphique repr´esentant les coordonn´ees t00Aet x00A de l’´ev´enement A.
II. COMPOSITION DES VITESSES
Deux rep`eres inertiels ont une vitesse relative de module β. L’axe ˆx du rep`ere (t, x, y, z) est choisi suivant la vitesse du rep`ere (t0, x0, y0, z0) et, pour le reste, ces deux rep`eres sont en configuration standard.
1. Rappelez les expressions des coordonn´ees t,x,y,zd’un ´ev´enement en fonction de ses coordonn´ees t0, x0,y0,z0.
2. En consid´erant deux ´ev´enements proches, d´eterminez les expressions des composantes vx, vy vz de la vitesse instantan´ee d’un point mobile en fonction de ses composantesv0x,vy0,vz0.
3. Dans le cas o`u v02= 1, calculer la valeur de v2, et d´eterminer l’expression du cosinus de l’angle θ de la vitessevdu mobile avec l’axe ˆx, en fonction du cosinus de l’angle θ0 entrev0 et ˆx0.
4. Dans le cas g´en´eral, ´etablir les formes vectorielles de la transformation sp´eciale de Lorentz et de la loi de composition des vitesses.
2 Champs classiques, PH456 Paris 7
III. MOUVEMENT HYPERBOLIQUE
Un point mobile en mouvement rectiligne par rapport `a un rep`ere inertiel a pour ´equation horaire x(t) =g−1p
1 + (gt)2, o`u gest une constante, disons positive.
1. Repr´esentez la ligne d’univers de ce mobile sur un graphe d’espace-temps.
2. Calculez la vitesse du mobile en fonction du temps.
3. Calculez l’intervalle de temps propre du mobile entre deux de ses ´ev´enements `a tet t+dt. 4. Calculez le temps propre du mobile en fonction du temps.
5. En d´eduire,en fonction du temps propre, les expressions : i) du temps et de la position d’un ´ev´enement du mobile ; ii) de sa vitesse, de sa rapidit´e et de son facteurγ;
iii) des composantes de sa quadrivitesse et de sa quadri-acc´el´eration (quels sont les moyens de v´erifier ces expressions ?) ;
iv) de son acc´el´eration propre.
6. Un mobile initialement au repos se met en mouvement en mouvment rectiligne avec une acc´el´eration propre constante de 9,8 m s−2. Calculez les valeurs, dans les unit´es de votre choix, de la position, de la vitesse, du facteurγet du temps propre du mobile un an plus tard.
IV. ´ENERGIE ET IMPULSION
1. Rappelez la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule. Quel est l’int´erˆet de cette notion ? 2. Calculez l’´energie et l’impulsion de la particule en fonction de sa masse et de sa vitesse.
3. D´eterminez les identit´es remarquables auxquelles participent la quadri-impulsion, l’´energie, l’impul- sion, la masse et la vitesse de la particule. Qu’en est-il dans le cas d’une particule dont l’´energie est
´egale au module de l’impulsion ?
4. Calculez l’impulsion d’une particule en fonction de sa masse et de son ´energie cin´etique.
5. Dans un noyau au repos, un nucl´eon,m≈0,94 GeV, a typiquement une ´energie cin´etiquet2≈20 MeV.
Le noyau est soumis au bombardement d’un faisceau de protons d’impulsionp1≈25 GeV.
i) Calculez l’´energiee1 d’un proton du faisceau et l’´energiee2et l’impulsionp2typiques d’un nucl´eon du noyau.
ii) Calculez les valeurs de la masse invariante du syst`eme proton-nucl´eon, selon que ce nucl´eon fuit devant le proton ou se pr´ecipite `a sa rencontre.
iii) En d´eduire le nombre de paires nucl´eon-antinucl´eon susceptibles d’ˆetre cr´ees dans ces deux cas.
iv) Calculez la vitesse du rep`ere dit “du centre de masse” dans ces deux cas extrˆemes.
V. PROPAGATION DE LA LUMI `ERE DANS LES MILIEUX R ´EFRINGENTS 1. Dans le vide, une source se meut `a la vitesse βββ par rapport `a votre laboratoire. Elle ´emet
p´eriodiquement des ´eclats lumineux.
i) Repr´esentez sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere du laboratoire les lignes d’univers de la source, de quelques ´eclats lumineux se propageant vers l’avant, et d’un d´etecteur dans le laboratoire qui re¸coit ces ´eclats lumineux.
ii) Calculez la dur´eeT∗ s´eparant, dans le rep`ere de la source, deux ´emissions successives en fonction de la dur´eeT s´eparant leurs d´etections, vers l’avant, dans le laboratoire.
iii) En d´eduire, lorsque la source ´emet une onde monochromatique, la fr´equence ω∗ de cette onde dans le rep`ere de la source en fonction de sa fr´equence ω d´etect´ee, vers l’avant, dans le laboratoire.
iv) En d´eduire, dans le cas o`u la source se d´eplace `a basse vitesse, l’expression du d´ecalage de fr´equence δωdf=ω∗−ω.
v) ´Ecrivez cette expression de δω en dimensions l´egales. Intuitivement, que pourrait-elle devenir en cas de propagation dans un milieu transparent d’indice n?
Champs classiques, PH456 Paris 7 3 2. Dans un milieu r´efringent, caract´eris´e par l’indice de r´efraction n∗, une source ´emet p´eriodiquement des ´eclats lumineux. L’ensemble du mat´eriau transparent et de la source se meut `a la vitesseβββ par rapport au laboratoire. Par l’expression “vitesse de propagation”, on entendra “vitesse de propagation de la lumi`ere dans le milieu”.
i) Repr´esentez cette histoire sur un graphe d’espace-temps dans le laboratoire pour quelques ´eclats se propageant vers l’avant.
ii) Calculez la dur´eeT∗s´eparant deux ´emissions, dans le rep`ere du mat´eriau, en fonction de la dur´eeT s´eparant deux d´etections, vers l’avant, dans le laboratoire, et de la vitessevde propagation par rapport au laboratoire.
iii) Dans le cas d’une onde monochromatique se propageant vers l’avant, en d´eduire sa fr´equenceω∗, dans le rep`ere du mat´eriau, en fonction de sa fr´equenceωdans le laboratoire, de la vitesseβdu milieu, et de la vitessev.
iv) Calculez (loi de composition des vitesses) la vitesse ven fonction de la vitesse v∗de propagation par rapport au milieu.
v) En d´eduire enfin l’expression de la fr´equenceω∗ en fonction de ω,n∗ etβ.
vi) Calculez le d´ecalage de fr´equence δωdf=ω∗−ω lorsque le mat´eriau se d´eplace `a faible vitesse.
Exprimez ce d´ecalage en dimensions l´egales.
vii) Un point d’histoire : revenant `a la questioniv, montrez que lorsque le mat´eriau se d´eplace `a basse vitesse on av≈v∗+αβ, et donnez l’expression du coefficientαen fonction de l’indicen∗ du milieu.
[L’existence de ce “coefficient d’entraˆınement”, surprenant au regard de la composition galil´eenne des vitesses, en particulier dans l’“´ether”n∗= 1, ainsi que son expression, avaient ´et´e d´eduits, d`es, par Fresnel, `a partir d’une hypoth`ese d’entraˆınement partiel de l’´ether par les milieux r´efringents, et de consid´erations th´eoriques `a vrai dire peu convaincantes, pour rendre compte des observations exp´erimentales d’Arago.]
3. La v´erification exp´erimentale pr´ecise de la formule de Fresnel a ´et´e r´ealis´ee par Fizeau, en, au moyen du montage dont le principe est sch´ematis´e ci-dessous.
Expliquez le principe de l’exp´erience. Estimez les ordres de grandeur des caract´eristiques `a donner au projet de l’exp´erience destin´ee `a mettre en ´evidence l’effet recherch´e.
4. Lorentz, en, a propos´e — au moyen d’arguments subtils reposant sur l’analyse du m´ecanisme de propagation dans un milieu di´electrique — un raffinement de la formule deFresneltenant compte de la dispersion du milieu r´efringent. Encore une fois, et cela ne ternit en rien le m´erite de Lorentz, bien au contraire, il est beaucoup plus simple de recourir au calcul “relativiste” (voir 2), r´eservant pour la fin le passage `a la limite des basses vitesses.
i) Ce faisant, on remarque que tout milieu est dispersif, caract´eris´e par une courbe d’indice :n(ω).
Quelle est au juste la valeur `a prendre pour l’indice n∗ (autrement dit pour quelle fr´equence ?) dont d´epend la formule de Fresnelobtenue `a la question2.vii? Pourquoi ?
ii) C’est ´evidemment la fr´equence ω qui a une signification op´erationnelle directe pour l’exp´erimen- tatrice. Quelle est, au premier ordre de la vitesse d’entraˆınement β, la valeur n∗ en termes des caract´eristiques de la courbe d’indice `a la fr´equence ω?
iii) En d´eduire enfin les expressions de la vitesse v de propagation par rapport au laboratoire et du coefficient d’entraˆınement, en fonction seulement de grandeurs relatives au laboratoire : vitesse β d’entraˆınement et caract´eristiques de la courbe d’indice `a la fr´equenceω. [Cette pr´ediction, plus pr´ecise que celle deFresnel, a ´et´e confirm´ee exp´erimentalement parZeeman en.]
4 Champs classiques, PH456 Paris 7 R´ef´erences :
Lettre de M. Fresnel `a M. Arago, sur l’influence du mouvement terrestre dans quelques ph´enom`enes d’optique, Annales de chimie et de physique 9().
Sur les hypoth`eses relatives `a l’´ether lumineux, et sur une exp´erience qui paraˆıt d´emontrer que le mouvement des corps change la vitesse avec laquelle la lumi`ere se propage dans leur int´erieur ; par M.
H. Fizeau, Comptes Rendus hebdomadaires des s´eances de l’Acad´emie des Sciences33 ().
ArnoldSommerfeld,Optics, Lectures on theoretical physics, vol. IV, Academic Press (London) sect. 12.
PierreCostabel,L’entraˆınement partiel de l’´ether selon Fresnel, La Vie des Sciences, Comptes rendus, s´erie g´en´erale 6() p. 327.
