Paris 7 PH042
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0= (jeudi 29 mai , 10 h 30), ∆t= 3 heures
Pr´ecision, bri`evet´e et clart´e de la pr´esentation sont toujours appr´eci´ees. Les questions ´el´ementaires (donc fondamentales) marqu´ees d’un *, sont suffisantes, et n´ecessaires, pour vous assurer la moyenne.
Quant au reste, plus ouvert, vous faites tout ce que vous pouvez en utilisant connaissances, culture, astuce et bon sens.
*I. CULTUREL Parmi les grandeurs utilis´ees en physique, donnez un exemple. . . 1. de trivecteur (par rapport aux rotations) ;
2. de quadrivecteur (par rapport aux transformations de Lorentz) ; 3. de (quadri)tenseur ;
4. de trivecteur qui n’est pas composante d’une grandeur physique quadrivectorielle ; 5. de trivecteur qui est composante d’une grandeur physique quadrivectorielle ; 6. de trivecteur qui est composante d’une grandeur physique tensorielle.
*II. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE `A BASSE VITESSE 1. Le champ ´electrique rayonn´e par une charge `a vitesse nulle :
i) Donnez son expression.
ii) Expliquez, avec pr´ecision et bri`evet´e, la signification de chacun des symboles apparaissant dans votre formule. Faites un dessin.
2. Et le reste :
i) Donnez les expressions du champ magn´etique rayonn´e et du vecteur de Poynting du rayonnement.
Repr´esentez les sur le dessin.
ii) En d´eduire la distribution angulaire du rayonnement (´energie rayonn´ee par unit´e de temps et par angle solide).
iii) En d´eduire l’´energie rayonn´ee par unit´e de temps (taux de Larmor).
3. Une particule ´el´ementaire, masse m, charge q, est en orbite circulaire `a basse vitesse dans le champ magn´etique −→B uniforme et constant.
i) Quelle est l’expression du rapport de l’´energie rayonn´ee par tour (rayonnement dit cyclotron) sur l’´energie cin´etique de la particule ?
ii) Consid´erant les valeurs de masse et de charge des diverses particules ´el´ementaires connues, quelle est l’expression de la borne sup´erieure de ce rapport ?
iii) Compte tenu des champs magn´etiques r´ealisables en laboratoire, calculez cette borne (attention aux unit´es !). Concluez.
*III. CHAMP D’UNE PARTICULE CHARG ´EE RELATIVISTE
Une particule charg´ee (disons positivement) qui ´etait immobile, subit un choc qui la propulse `a la vitesse 4/5 constante. Apr`es avoir parcouru 3/5 ˚A, elle subit un second choc qui l’immobilise d´efinitivement.
1. Calculer, en secondes, la distance parcourue et la dur´ee de ce parcours.
2. Repr´esenter les r´egions de l’espace o`u, 0,5 × 10−18s apr`es le premier choc, il y a du champ
´electromagn´etique du type rayonnement.
3. Repr´esenter l’allure des lignes de champ ´electrique `a ce mˆeme instant.
4. Repr´esenter l’allure du champ magn´etique `a ce mˆeme instant.
2 Champs classiques, PH042 Paris 7 IV. INTERACTION SPIN-ORBITE POUR UNE PARTICULE A BASSE VITESSE Ayant amplement analys´e les transformations des longueurs entre
rep`eres inertiels, il est temps de se demander ce qu’il en est des directions. Pour cela, on va consid´erer, comme d’habitude, l’aspect de r`egles “rigides” dans divers rep`eres.
Deux r`egles de longueurl, immobiles dans le rep`ere dit du labora- toire, ont une extr´emit´e commune et forment un angle infinit´esi- maldθ. Appelons les extr´emit´es de ces r`egles : 0, 1 et 2. Les axes du rep`ere sont ´evidemment choisis de mani`ere `a simplifier l’analyse de ce syst`eme (voir figure).
*1.Donnez les ´equations des lignes d’univers des extr´emit´es 0, 1 et 2 dans le rep`ere du laboratoire.
2. Par rapport au laboratoire, le rep`ere R1 a une vitesseβ~ selon la r`egle (0,1), et est par ailleurs choisi en configuration standard.
*i) Donnez les expressions des coordonn´ees t0, x0, y0, z0 (dans R1) d’un ´ev´enement quelconque, en fonctions de ses coordonn´ees t, x, y, z(dans le laboratoire L).
ii) En d´eduire les coordonn´ees spatiales, dans R1, des ´ev´enements A0, A1, A2des trois extr´emit´es des r`egles, simultan´es dans R1 `at0 = 0 par exemple (t0A0 =t0A1 =t0A2 = 0).
iii) Repr´esentez la situation des deux r`egles sur un graphe d’espace dans le rep`ere R1 `a l’instant t0= 0. Evaluez l’angledθ0 form´e par les deux r`egles dans ce rep`ere.
iv) Conclusion : lors d’une transformation sp´eciale de Lorentz de vitesse β, quelle est la loi de trans-~ formation d’une direction proche deβ~?
3. On va maintenant appliquer ce r´esultat au cas tout-`a-fait similaire d’un rep`ere en d´eplacement selon l’autre r`egle. Soit donc le rep`ere R2 (coordonn´ees t”, x”, y”, z”) se d´epla¸cant par rapport `a L `a la vitesseβ~+d~β selon la r`egle (0,2), et d´eduit de L par transformationsp´eciale de Lorentz.
i) Quelle est la valeur de l’angle entre l’axe ˆx” et la r`egle (0,2) dans le rep`ere R2? ii) Quelle est la valeur de l’angle entre les r`egles (0,1) et (0,2) dans ce mˆeme rep`ere ?
iii) Soient B0, B1 et B2 les ´ev´enements, simultan´es `a t” = 0, des extr´emit´es des deux r`egles. Repr´e- sentez la situation des deux r`egles sur un graphe d’espace dans le rep`ere R2, `a l’instantt” = 0. En d´eduire que la r`egle (0,1) forme avec l’axe ˆx” un angle que vous ´evaluerez.
4. Il faut maintenant s’int´eresser `a la relation entre les rep`eres R1 et R2.
i) Que pouvez-vous dire du type de transformation qui assure le passage de R1 `a R2?
ii) Montrez que la transformation de R1`a R2implique en particulier une rotation spatiale d’angledθT dont vous donnerez l’expression.
iii) Consid´erant les diff´erentes expressions du produit vectoriel β~∧(β~ +d~β), ´etablir une expression vectorielle d~θTde la rotation intervenant dans la transformation de R1 `a R2, en fonction de β~ etd~β.
iv) Que devient l’expression de d~θTdans la limite des basses vitesses (β ¿1) ?
5. On consid`ere `a pr´esent l’´evolution d’un moment magn´etique port´e par une particule de masse m, charge q, moment cin´etique propre~s, `a savoir :
~ µ=g q
2m~s.
i) Rappelez l’´equation du mouvement de~slorsque la particule porteuse est immobile dans une r´egion d´enu´ee de champ ´electromagn´etique.
ii) Dans le laboratoire, la particule est maintenant acc´el´er´ee, pour une raison ou pour une autre, de la vitesse β~ (avec β ¿ 1) `a la vitesse β~+d~β durant l’intervalle de temps dt. On fait l’hypoth`ese physique minimale que l’acc´el´eration de la particule ne modifie en rien l’´equation du mouvement de~s par rapport `a un rep`ere inertiel dans lequel la particule se trouve avoir une vitesse nulle. Montrez que l’´equation du mouvement est de la forme
d~s
dt ∼~ωT∧~s, et explicitez soigneusement ~ωT.
Champs classiques, PH042 Paris 7 3 iii) Que devient cette ´equation du mouvement si, dans le rep`ere o`u la particule a une vitesse nulle, son moment magn´etique est soumis au champ magn´etique −B→0?
iv) En d´eduire enfin l’´equation du mouvement de~ssi le moment magn´etique est soumis aux champs−E→ et −B→dans le laboratoire, avecB¿E. (A mettre sous la formed~s/dt=~s∧f~(g, q, m,−→B ,−→E , ~β, d~β/dt).) 6. i) En d´eduire, en se guidant sur l’expression de l’´energie d’interaction d’un moment magn´etique dans un champ magn´etique, l’´energie d’interactionHint du moment magn´etique emport´e par la particule `a basse vitesse (toujours en fonction de~s, g,q,. . .).
ii) La particule est l’´electron c´elibataire d’un atome. Cet ´electron ´evolue sous l’effet de la force (´electrique coulombienne du reste de l’atome) d´erivant du potentiel `a peu pr`es central VC(r).
D´eterminer le champ ´electrique, ainsi que l’acc´el´eration de la particule, et enfin l’´energie d’inter- actionHint due au moment magn´etique de l’´electron, en faisant apparaˆıtre explicitement un terme de type Zeeman (proportionnel `a−B→·~s) et un terme de type spin-orbite (proportionnel `a −→L·~s).
iii) La particule est un nucl´eon c´elibataire ´evoluant dans le potentiel nucl´eaire moyen VN(r) du reste du noyau. Cette interaction forte domine toutes les contributions ´electromagn´etiques. Quelle est l’expression de l’´energie d’interaction spin-orbite du nucl´eon dans le potentiel moyen du noyau ?
