Paris 7 PH456
–
TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0= (jeudi 12 septembre , 9 h), ∆t= 4 h RELATIVIT ´E, ´ELECTRODYNAMIQUE
Ces questions sont r´eellement ´el´ementaires. Il ne vous est rien demand´e de compliqu´e. Exercez votre bon sens et, comme d’habitude, v´erifiez les dimensions et les unit´es de vos r´esultats. Tout proc´ed´e, ou suggestion de proc´ed´e, de v´erification de vos r´esultats sera appr´eci´e.
I. TRANSFORMATION SP´ECIALE DE LORENTZ
Montrez comment on passe de l’expression d’une transformation sp´eciale de Lorentz entre rep`eres en configuration standard `a l’expression vectorielle de la transformation sp´eciale de Lorentz.
II. UN MOUVEMENT RECTILIGNE NON UNIFORME Dans le rep`ere de Chouchou, inerte, Loulou en mouvement a pour coordonn´ees x=a−1p
1 + (at)2, et y=z= 0, o`u aest une constante positive.
1. Repr´esentes la ligne d’univers de Loulou et ses principales caract´eristiques sur un graphe d’espace- temps dans le rep`ere de Chouchou.
2. i) Calculez la vitessev(t) de Chouchou.
ii) Rappelez l’expression d´efinitoire de la vitesse v en fonction de la rapidit´e ϕ. En d´eduire les expressions deat etax en fonction de la rapidit´e.
iii) En d´eduire l’expression de l’intervalle de temps propre dτde Loulou en fonction de la diff´erentielle dϕde sa rapidit´e.
iv) Chouchou et Loulou ont cal´e leurs montres respectives en sorte qu’elles indiquent toutes deux z´ero lorsque leurs vitesse relative est nulle. Calculez la rapidit´eϕ(τ) de Loulou en fonction de son temps propre.
v) En d´eduire les expressionst(τ) etx(τ) des coordonn´ees de Loulou en fonction de son temps propre.
vi) Rappelez la d´efinition de la quadrivitesse d’un point mat´eriel. En d´eduire les expressions des composantes (pour Chouchou) de la quadrivitesse de Loulou en fonction de son temps propre. V´erifiez ce r´esultat au moyen d’une identit´e remarquable.
vii) Rappelez la d´efinition de la quadri-acc´el´eration d’un point mat´eriel. En d´eduire les expressions des composantes (toujours pour Chouchou) de la quadri-acc´el´eration de Loulou en fonction de son temps propre. V´erifiez ce r´esultat au moyen d’une identit´e remarquable.
viii) En d´eduire la valeur de l’acc´el´eration propre de Loulou. Que pouvez-vous alors dire de son mouvement ?
3. Loulou est en mouvement rectiligne avec une acc´el´eration propre `a la valeur constante et confortable de 9,8 m s−2. Il s’est ´ecoul´e un an de son temps propre depuis qu’il avait une vitesse nulle par rapport
`
a Chouchou. Calculez :
i) le temps qui s’est ´ecoul´e pour Chouchou ; ii) la distance parcourue ;
iii) la vitesse atteinte et le facteurγ correspondant.
4. Loulou renverse alors son acc´el´eration (par une manœuvre de retournement de sa fus´ee) et continue ainsi pendant 2 ans de son temps propre, `a la suite de quoi il renverse `a nouveau son acc´el´eration. Il continue encore pendant un an.
i) Repr´esentez sch´ematiquement ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps.
ii) Calculez le temps total qui s’est ´ecoul´e pour Chouchou pendant les 4 ans de Loulou.
iii) Discutez la faisabilit´e ´economique d’un tel programme d’exp´erience.
III. ´EQUATIONS DE MAXWELL-LORENTZ
1. Rappelez, en unit´es l´egales, les ´equations de Maxwell (conditionnant les champs ´electrique et magn´etique cr´e´es par les densit´es de charge et de courant), et de Lorentz (conditionnant le mouvement d’une charge dans les champs ´electrique et magn´etique).
2 Champs classiques, PH456 Paris 7
2. En d´eduire les mˆemes ´equations dans le syst`eme d’unit´es naturelles en relativit´e (Heaviside-Lorentz- Einstein, ou “ε0=µ0= 1”), en explicitant soigneusement les formules de changement d’unit´es pour les champs ´electriques et magn´etiques, les densit´es de charge et de courant, les charges ´electriques, les distances, les temps et les vitesses.
3. Rappelez les ´equations de Maxwell et de Lorentz sous forme tensorielle en explicitant les d´efinitions des diverses grandeurs figurant dans ces ´equations. En d´eduire les expressions des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en fonctions des composantes des champs ´electrique et magn´etique.
4. En d´eduire :
i) les lois de transformation de Lorentz des composantes des champs ´electrique et magn´etique ; ii) les ´equations d’´evolution des variations dp0/dtet dp/dtde l’´energie et de la quantit´e de mouvement d’une particule charg´ee dans les champs ´electrique et magn´etique.
5. On consid`ere le mouvement d’une particule charg´ee abandonn´eesans vitesse initiale dans une r´egion du laboratoire o`u r`egne un champ ´electriqueEuniforme et constant.
i) Calculez les champs ´electrique et magn´etique dans le rep`ere propre de la particule.
ii) En d´eduire l’acc´el´eration propre de la particule.
iii) En d´eduire l’´equation de la ligne d’univers de la particule dans le laboratoire.
IV. CONVECTION ET RAYONNEMENT
Une particule de charge positive qui se mouvait `a une vitesse constante 2,5×108m s−1est soudainement stopp´ee. Repr´esentez, 10−9s apr`es le choc :
1. la r´egion de l’espace o`u il y a du champ ´electromagn´etique du type rayonnement ; 2. l’allure du champ ´electrique dans le reste de l’espace ;
3. l’allure du champ magn´etique.
