Paris 7 PH456
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
samedi 26 avril, 13 h 30
EXAMEN de RELATIVIT´E et ´ELECTRODYNAMIQUE (14 points, sur copie s´epar´ee)
Le traitement des questions de base, simples, marqu´ees d’un *, est essentiel et suffisant pour vous valoir la moyenne. Les autres questions, `a n’entreprendre qu’ensuite et plus elliptiques, sont r´eserv´ees au plaisir des ˆames bien n´ees.
I. CHAMP ´ELECTROMAGN ´ETIQUE ET TRANSFORMATION DE LORENTZ 1*.i) Rappelez la d´efinition des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes du
quadripotentiel.
ii) End´eduire leurs expressions en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique.
2*.i) End´eduire les expressions des composantes des champs ´electrique et magn´etique dans un nouveau rep`ere reli´e par une transformation de Lorentz en configuration standard.
ii) End´eduire la forme vectorielle de ces expressions.
3*.Etablir´ les expressions des invariants du champ ´electromagn´etique en termes des champs ´electrique et magn´etique.
4. Soient les champs du type “onde plane” se propageant dans la direction ˆx:
½E(x, t) =ˆyE0cos(ωt−kx), B(x, t) =ˆzB0cos(ωt−kx).
i) V´erifiezque ces champs peuvent ˆetre solution des ´equations de Maxwell dans le vide, end´eterminant les conditions que les param`etresE0,B0,ω, etk, doivent satisfaire pour cela.
ii) D´eterminez les expressions des champs correspondants, E0(x0, t0) et B0(x0, t0), dans un rep`ere en configuration standard se d´epla¸cant `a la vitesse βˆx.
II*. CONVECTION ET RAYONNEMENT
Une particule de charge positive qui se mouvait `a une vitesse constante de module 2,4×108m s−1, subit un choc qui l’immobilise soudainement.Repr´esentez, `a 1 nanoseconde apr`es le choc :
i) l’allure de la r´egion o`u r`egne un champ ´electromagn´etique du type rayonnement ; ii) l’allure des lignes de champ ´electrique ;
iii) l’allure du champ magn´etique.
III. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE PONCTUELLE
1*.i) Rappelez l’expression du champ ´electrique rayonn´e par une charge ponctuelle lorsque sa vitesse en l’´ev´enement source est n´egligeable. Pr´ecisez soigneusement la signification de chacun des symboles figurant dans cette expression.
ii) Rappelez l’expression correspondante du champ magn´etique rayonn´e.
iii) Rappelez les propri´et´es essentielles des champs ´electrique et magn´etique rayonn´es, sans h´esiter `a les illustrer par un petit dessin.
iv) D´eterminez l’expression du vecteur de Poynting du champ ´electromagn´etique rayonn´e.
v) End´eduire l’expression de l’´energie rayonn´ee dans l’angle solide d2ˆrdurant dt.
vi) End´eduire l’expression de la puissance totale rayonn´ee (taux de Larmor).
2*.Une charge ponctuelle est anim´ee d’un petit mouvement oscillant `a basse vitesse : rq(t) =ˆzz0cosωt.
D´eterminez l’expression de la puissance totale rayonn´ee `a l’instantt.
3. Discutez bri`evement d’au moins un ph´enom`ene physique qui rel`eve du comportement du rayonnement d’une charge `a basse vitesse.
4. Calculez l’´energie et la quantit´e de mouvement totales rayonn´ees par la charge `a basse vitesse durant dt. Qu’en est-il alors dans un autre rep`ere pour l’´energie et la quantit´e de mouvement totales rayonn´ees par la charge durant un intervalle dτ de son temps propre.
2 Champs classiques, PH456 Paris 7 IV. L’EXP ´ERIENCE DE BUCHERER
Cette exp´erience a ´et´e con¸cue dans le but de v´erifier la validit´e de l’expression de l’impulsion
“relativiste” et de l’´equation du mouvement d’une particule charg´ee dans un champ ´electromagn´etique.
Une source radioactiveβ pratiquement ponctuelle est dispos´ee au centre d’un condensateur constitu´e de deux disques tr`es proches (0,25 mm). Le condensateur est install´e au centre d’une chambre `a vide, circulaire, et un film sensible aux ´electrons est dispos´e tout autour de la face int´erieure de la paroi circulaire de la chambre. Enfin, la chambre est elle-mˆeme plac´ee dans un champ magn´etique uniforme et constant orthogonal au champ ´electrique qui r`egne dans le condensateur.
1. Mouvement d’un ´electron dans le condensateur.
i) ´Ecrire les ´equations du mouvement de l’´energie et de chacune des composantes de l’impulsion d’un
´electron.
ii) La distance entre les plaques ´etant tr`es faible, seuls vont ´emerger du condensateur les ´electrons dont la vitesse reste pratiquement horizontale durant leurs parcours depuis la source (les autres sont absorb´es par les plaques). Montrer qu’un tel ´electron a n´ecessairement un mouvement rectiligne uniforme et qu’il existe une relation simple entre les valeurs du champ ´electrique, du champ magn´etique et de la composante de la vitesse de l’´electron orthogonale au champ magn´etique. Exprimer cette relation en termes du modulevde la vitesse de l’´electron et de l’angleθ que forme ladite vitesse avec le champ magn´etique.
Champs classiques, PH456 Paris 7 3 iii) La vitesse des ´electrons ´emis par la sourceβ est comprise entre z´ero et une valeur maximale vM. Quelle condition doit satisfaire le rapport E/B des intensit´es des champs ´electrique et magn´etique pour qu’il y ait des ´electrons ´emergents ? Quel est le domaine des valeurs prises par sinθ pour les
´electrons ´emergents ? Quel est le domaine des valeurs deθ?
iv) Par exemple, dans le casE/B= 1/2 : sous quels anglesθ´emergent des ´electrons ultra relativistes ? quelle est la vitesse des ´electrons ´emergeant orthogonalement au champ magn´etique ?
2. Mouvement des ´electrons entre le condensateur et le film sensible.
i) ´Ecrire les ´equations du mouvement de l’´energie et des composantes de l’impulsion de l’´electron. En d´eduire les ´equations du mouvement des composantes de la vitesse de l’´electron.
ii) Puisque, initialement, lorsque l’´electron ´emerge du condensateur, sa vitesse est pratiquement horizontale, on s’int´eresse au cas o`u la composante verticale de la vitesse reste petite. Que deviennent les ´equations du mouvement pr´ec´edentes dans cette approximation ?
iii) Toujours dans cette approximation, calculer la hauteurZ de l’impact d’un ´electron sur le film en fonction de son angle d’´emissionθ.
iv) ´Ecrire un crit`ere de validit´e de l’approximation utilis´ee.
3. Exploitation des r´esultats.
i) Dessiner le graphe de l’allure de la trace des impacts d’´electrons sur le film.
ii) Repr´esenter sur le mˆeme graphe la trace obtenue lorsqu’on renverse la tension appliqu´ee au condensateur et le sens du courant dans les bobines magn´etiques.
iii) Pratiquement : comment obtient-on la vitesse de l’´electron dont on observe l’impact sur le film ? Comment proc´eder pour tester la validit´e de la loi th´eorique candidate `a la description des positions des impacts ?
