TH ´EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN t

Paris 7 PH042

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN

t₀= (mardi 9 septembre , 14 h), ∆t= 4 heures

Ce sujet est compos´e de quatre exercices suivis d’un probl`eme. Les exercices sont principalement des applications directes de notions ´etudi´ees en cours et en travaux dirig´es. Le probl`eme requiert intuition et culture, et fait appel aux r´esultats ´etablis dans les exercices.

I. ´ENERGIE ET IMPULSION

1. Rappelez les lois de transformation de l’´energie et des composantes de l’impulsion d’une particule lors d’une transformation sp´eciale de Lorentz.

2. On consid`ere la diffusion d’un photon de 10 GeV sur un proton au repos.

i) Calculez les valeurs de l’´energie et des composantes de l’impulsion du photon et du proton.

ii) Calculez la vitesse du rep`ere dit du “centre de masse”.

3. Une particule de massema son impulsion dans un pav´e (~p, d³~p). Vue d’un rep`ere ´equivalent, reli´e par une transformation de Lorentz, la particule a son impulsion dans le pav´e (~p<sup>0</sup>, d<sup>3</sup>~p<sup>0</sup>). On s’int´eresse au rapport entre volumes des pav´es et `a ses cons´equences.

i) Ecrire les composantesdp^x,dp^y et dp^z de l’impulsion en termes des composantes dp^0x,dp^0y, dp^0z et de l’intervalle d’´energie correspondantde⁰.

ii) Mais l’´energie et l’impulsion d’une particule ne sont pas ind´ependantes. Rappelez la relation qui les relie et, par diff´erentiation, en d´eduire une expression dede⁰ en termes dee⁰,~p⁰ etd~p⁰.

iii) En d´eduire la valeur du jacobien de la transformation des composantes de l’impulsion en termes des ´energies eete⁰ correspondant aux impulsions~pet~p⁰ dans chacun des deux rep`eres.

iv) En d´eduire une expression simple du volumed³~pen termes du volumed³~p⁰ et des ´energieseete⁰. v) On a souvent `a envisager des circonstances, exp´erimentales ou th´eoriques, o`u le nombre de particules identiques dont l’impulsion est dans le pav´e (~p, d³~p) est proportionnel au volume dudit pav´e :d³N =f(~p)d³~p. Si, vu d’un rep`ere ´equivalent reli´e par une transformation sp´eciale de Lorentz, le pav´e est autre, le nombre de particules est par contre le mˆeme :

d³N=f(~p)d³~p=f⁰(~p⁰)d³~p⁰.

En d´eduire l’expression de la distribution f⁰(~p⁰) en termes def(~p),eet e⁰.

vi) Pour quelle raison les professionnels ont-ils coutume d’´ecrire leurs distributions plutˆot sous la forme (parfaitement ´equivalente) :

d³N=g(~p) d³~p e(~p)?

II. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE `A BASSE VITESSE

1. i) Rappelez l’expression du champ ´electrique (convection et rayonnement) cr´e´e par un ´ev´enement d’une charge ponctuelle en lequel sa vitesse est nulle. Pr´ecisez bien la signification de la formule ´ecrite.

ii) Quelles sont les expressions du champ magn´etique et du vecteur de Poynting ? iii) En d´eduire l’´energiedW_ray rayonn´ee par la charge durantdt.

2. La charge en question est un ´electron acc´el´er´e sous l’effet d’une onde ´electromagn´etique plane, monochromatique, polaris´ee rectiligne, mais dont la vitesse demeure n´egligeable.

i) Calculez l’acc´el´eration de cet ´electron en r´egime permanent. En d´eduire l’´energiedWray rayonn´ee, en moyenne temporelle, par la charge durant dt.

ii) Calculez le vecteur de Poynting de l’onde incidente et l’´energie dW_inc que celle-ci v´ehicule, en moyenne, `a travers une aire S durantdt.

2 Champs classiques, PH042 Paris 7 iii) Calculez la quantit´e, caract´eristique de l’interaction d’un ´electron libre non relativiste avec une onde ´electromagn´etique,

σ_T=^df dWray

dWinc/S, dite section efficace de Thomson.

iv) Calculez la valeur num´erique de σ_T.

III. EFFET COMPTON

On consid`ere la diffusion ´elastique d’un photon sur un ´electron initialement au repos.

1. Exprimez les lois de conservation de l’´energie et des composantes de l’impulsion.

2. En d´eduire l’expression de la diff´erence des inverses des ´energies finale et initiale du photon, 1/e_f−1/e_i, en fonction de l’angle de diffusion, θ, du photon.

3. Par quel effet mesurable cette description se distingue-t-elle de la diffusion d’une onde ´electromagn´e- tique par une charge `a tr`es basse vitesse ?

IV. CHAMPS CR´E´ES PAR UNE CHARGE ACC´EL´ER´EE Une charge positive est anim´ee d’une vitesse dont le module est

constant, v= 2,4×10⁸m s⁻¹, suivant la trajectoire ci-contre.

1. Repr´esentez l’allure des lignes du champ ´electrique, `a l’instant o`u la charge a parcouru 1 m apr`es son changement de direction.

2. Repr´esentez, au mˆeme instant, l’allure du champ magn´etique.

V. DUR´EE DE VIE DU FAISCEAU DU LEP

La d´egradation au cours du temps du faisceau d’´electrons (´energie 45 GeV) stock´es dans le LEP peut ˆetre attribu´ee `a plusieurs causes. La diffusion des ´electrons par le gaz r´esiduel dans la voie de faisceau contribue, avec une dur´ee de vie partielle de 6 jours. En service, les collisions des ´electrons avec les positrons du faisceau analogue, dans les zones d’exp´eriences, contribuent de mani`ere plus importante, avec une dur´ee de vie partielle de 14 heures. Enfin, comme la voie de faisceau est `a la temp´erature ambiante, elle est le si`ege d’un rayonnement ´electromagn´etique dont le spectre est celui du corps noir, et on se demande quelle peut ˆetre la contribution des diffusions des ´electrons du faisceau sur les photons du rayonnement.

Puisque l’on a des id´ees relativement simples sur la section efficace de diffusion d’une onde

´electromagn´etique par un ´electron dans la mesure o`u sa vitesse est tr`es faible, on peut songer `a se placer dans le rep`ere des ´electrons du faisceau. Mais le spectre du rayonnement dans ce rep`ere n’est plus un spectre de corps noir. Reste donc `a d´ebrouiller ces consid´erations pour en tirer une estimation de la dur´ee de vie partielle associ´ee `a ce m´ecanisme.

1. i) Quelle est la valeur d’´energie typique d’un photon du corps noir `a la temp´erature ambiante ? ii) En d´eduire la valeur typique de l’´energie totale dans le rep`ere dit du centre de masse lors de la collision de ce photon avec un ´electron du faisceau, et comparez cette valeur `a la somme des ´energies de masse.

Champs classiques, PH042 Paris 7 3 iii) Montrez que dans un rep`ere o`u la vitesse des ´electrons est nulle, les descriptions en termes de photons ou d’onde ´electromagn´etique sont, ici, ´equivalentes.

Dans le rep`ere o`u les ´electrons sont au repos, le nombre moyen de collision, durant dτ, d’un ´electron avec des photons dont l’impulsion est dans le pav´e (~k⁰, d³~k⁰) est donn´e par l’expression :

d⁴n=dτ d³~k⁰f⁰(~k⁰)σ⁰(~k⁰),

o`u σ⁰(~k⁰) est la section efficace de collision d’un photon d’impulsion~k⁰ sur un ´electron au repos, et d³~k⁰f⁰(~k⁰) est le nombre de photons par unit´e de volume dont l’impulsion est dans (~k⁰, d³~k⁰). Ainsi, le taux de collisions ´electron-photon par unit´e de temps propre est donn´e par :

Γ⁰=^df dn dτ =

Z

d³~k⁰f⁰(~k⁰)σ⁰(~k⁰).

Mais l’objet de nos d´esirs est plutˆot le taux de collisions par unit´e de temps du laboratoire, Γ=^dfdn/dt, et c’est dans ce mˆeme laboratoire que le spectre des photons (corps noir) nous est connu.

2. La premi`ere de ces r´eserves se r`egle facilement en remarquant que le nombre de collisions est un invariant ; seul change l’intervalle de temps. Montrez ainsi que Γ s’exprime simplement en fonction de Γ⁰, de la massemde l’´electron, et de son ´energie p⁰ dans le laboratoire.

3. Reste `a ´evaluer Γ⁰ :

i) Connaissant la loi de transformation (jacobien) du volume du pav´e d’impulsion, montrez que Γ⁰ peut s’´ecrire sous forme d’int´egrale sur les impulsions~kdes photons dans le laboratoire.

ii) Dans l’int´egrand obtenu intervient l’´energie k⁰⁰ du photon dans le rep`ere de l’´electron. Montrez que k⁰⁰ peut s’´ecrire en fonction des quadri-impulsions k

˜ et p

˜ du photon et de l’´electron et de la masse mde ce dernier.

iii) ´Ecrire la forme int´egrale sur~kainsi obtenue pour Γ⁰. 4. Revenons enfin aux ´electrons du LEP. . .

i) Justifiez la possibilit´e d’assimilerσ⁰(~k⁰) `a la section efficace de Thomsonσ_T. ii) Que devient alors l’expression int´egrale de Γ⁰ si la fonctionf(~k)=^dff⁰¡~k⁰(~k)¢

est isotrope ? iii) On assimile la distributionf(~k) `a celle des photons du corps noir `a la temp´eratureT :

f(~k) = 1 (2π)³

2 e^k0/T −1.

Sachant que Z _∞

0

dx x

e^x−1 = 2ζ(3) = 2×1,202. . .

en d´eduire l’expression du taux de collisions Γ dans le laboratoire, en fonction de la temp´erature et de la section efficace de Thomson.

iv) Quelle est la valeur num´erique de Γ pour le faisceau du LEP ? Quelle est la valeur de la dur´ee de vie partielle correspondante ?

5. Quels points vous semblent criticables dans cette m´ethode (qui a le m´erite de la simplicit´e) d’estimation de Γ ? Quelles am´eliorations proposez-vous ?

R´ef´erence : L.S. Brown&R.S. Steinke,Compton scattering on blackbody photons, Am. J. Phys.65() p 304.