TH ´EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN PARTIEL t

Paris 7 PH042

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN PARTIEL

t₀= (jeudi 5 f´evrier, 14 h), ∆t= 4 heures Calculettes et instruments de dessin autoris´es

Pas d’affolement : les quatre premiers exercices, ´el´ementaires, sont suffisants, et n´ecessaires, pour vous assurer la moyenne. Suivent trois probl`emes, dont l’ensemble est interminable, mettant en jeu connais- sances, culture, astuce, intuition et bon sens. Il y en a pour tous les goˆuts : op´erationnel et presque exclusivement graphique (probl`eme V), intellectuel et formaliste (VI), culturel et qualitatif (VII).

I. EFFET DOPPLER LONGITUDINAL

Jeannette et Marius, tous deux inertiels, ont un ´ev´enement commun dans leurs vies. `A intervalles r´eguliers, ∆τ0`a sa montre, Jeannette ´emet des ´eclairs lumineux que Marius re¸coit.

1. Repr´esenter ce sc´enario complet sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Marius.

2. Calculer l’intervalle de temps ∆t_r qui, pour Marius, s´epare deux r´eceptions successives.

3. En d´eduire le rapport νr/ν0 des fr´equences des signaux lumineux re¸cue par Marius et ´emise par Jeannette. Analysez et commentez cette expression. Montrez que Marius dispose ainsi d’un moyen de mesurer la vitesse de Jeannette.

4. Marius ´emet maintenant un rayonnement ´electromagn´etique de fr´equence ν₀. Jeannette re¸coit ce rayonnement et, `a l’aide d’un miroir, le r´e´emet sans changement de fr´equence. Calculez la fr´equenceν_r du rayonnement re¸cu par Marius et montrez qu’il dispose ainsi d’un moyen de mesurer la vitesse de sa Jeannette.

II. MOUVEMENT `A ACC ´EL´ERATION PROPRE CONSTANTE Sophie est anim´ee d’un mouvement rectiligne `a acc´el´eration propre aconstante.

1. Albert, inerte, reste dans l’alignement de la trajectoire de Sophie, et leur distance minimale d’approche vaut 1/a(´ev´enement O de la vie d’Albert).

i) Repr´esentez, sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere d’Albert, l’allure des lignes d’univers d’Albert et de Sophie en en indiquant les caract´eristiques essentielles.

ii) Soit un ´ev´enement A quelconque dans la vie de Sophie, et un observateur inerte, appelons-le Isma¨el, qui dans sa vie rencontre Sophie en douceur (avec une vitesse relative nulle) en l’´ev´enement A. Soit encore un autre observateur inerte, Isaac, dont la vitesse par rapport `a Isma¨el est nulle, et dont la vie comporte l’´ev´enement O. Repr´esentez les lignes d’univers d’Isma¨el et Isaac sur le graphe pr´ec´edent.

Le probl`eme est maintenant de repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements simultan´es avec A pour Isma¨el...

2. i) Repr´esentez la mˆeme histoire (lignes d’univers d’Isaac, Sophie, Isma¨el, ´ev´enements O et A) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere d’Isaac.

ii) Repr´esentez sur ce graphe l’ensemble des ´ev´enements simultan´es avec A pour Isma¨el.

3. i) En d´eduire la repr´esentation de cet ensemble sur le graphe d’espace-temps dans le rep`ere d’Albert.

Quelles sont les propri´et´es g´eom´etriques de cet ensemble ?

ii) En d´eduire un proc´ed´e graphique simple pour construire d’entr´ee, dans le rep`ere d’Albert, l’ensemble des ´ev´enements simultan´es avec A pour Isma¨el.

2 Champs classiques, PH042 Paris 7 III. LOIS DE CONSERVATION

1. i) Rappelez la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule. Quelle est l’utilit´e de cette notion ? ii) En d´eduire les expressions de l’´energie et de l’impulsion d’une particule de massem, vitessev.

iii) En d´eduire les identit´es remarquables satisfaites par ces grandeurs.

2. i) Rappelez la d´efinition de la masse invariante d’un syst`eme de particules.

ii) Au cours d’une r´eaction entre particules, on observe en- tre autres la production en co¨ıncidence d’une paire lepton- antilepton, par exemple un muonµ⁻ et unµ⁺. Les d´etecteurs

(voir figure `a droite) mesurent les ´energiesE₋ etE₊ du lepton et de l’antilepton.

Calculez le carr´e de la masse invariante de cette paire en fonction des ´energiesE_±, de l’angleϑdes directions des deux d´etecteurs, et de la masse du lepton.

iii) Que devient cette expression aux ´energies ´elev´ees ? (Par rapport `a quoi ?) iv) Une exp´erience de diffusion de protons de 400 GeV sur une cible de <sup>238</sup>U comportait une batterie de d´etecteurs dans diverses directions. Le calcul des masses invariantes des pairesµ<sup>−</sup>µ<sup>+</sup> d´etect´ees en co¨ıncidence a produit le spectre ci-contre (`a gauche). Qu’en concluez-vous ?

R´ef :L. Lederman, Pour la Science, d´ec., p. 62.

IV. TRANSFORMATION DE LORENTZ ET CHAMP ´ELECTROMAGN´ETIQUE 1. i) Rappelez la d´efinition du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes du quadripotentiel.

ii) Calculez le tableau des composantes Fµν en fonction des composantes des champs ´electrique et magn´etique.

iii) En d´eduire le tableau des composantesF^µν.

2. Jeannette, inerte, se meut `a la vitesseβββ, constante, par rapport `a Marius. Ils conviennent tous deux de rep`eres en configuration standard. ´Etablissez le tableau des coefficients Λ<sup>µ</sup><sub>ν</sub>de la transformation de Lorentz donnant les coordonn´ees affect´ees par Jeannette `a un ´ev´enement en fonction des coordonn´ees affect´ees au mˆeme ´ev´enement par Marius.

3. i) Calculez les expressions de chaque composante du champ ´electrique en un ´ev´enement, observ´e par Jeannette, en fonction des composantes des champs ´electrique et magn´etique au mˆeme ´ev´enement, observ´es par Marius.

ii) En d´eduire les expressions vectorielles des composantes longitudinale et transverse du champ

´electrique observ´e par Jeannette.

iii) Qu’en est-il pour le champ magn´etique ?

iv) ´Enum´erez quelques moyens de v´erifier la validit´e de vos r´esultats.

4. Un atome qui d´erivait `a 1,8×10<sup>8</sup>m s<sup>−1</sup>dans le laboratoire p´en`etre dans une r´egion o`u r`egne un champ

´electrique de 10 kV cm⁻¹ dans une direction `a 30<sup>o</sup> de la vitesse de l’atome. Calculez les composantes et modules des champs ´electrique et magn´etique auxquels l’atome est alors soumis dans son rep`ere.

V. VOIR, OBSERVER, MESURER

D´erivant, inerte, dans l’espace, vous disposez d’un radar un peu id´ealis´e fonctionnant par ´emission tous azimuts d’impulsions modulant une onde ´electromagn´etique porteuse de fr´equence ν₀= 1 GHz.

Lorsqu’il re¸coit un ´echo, le radar en d´etermine l’instant de r´eception, la direction de provenance et la fr´equence ν_r. Vous ˆetes acteur et t´emoin de la s´equence d’´ev´enements suivants :

• `a un instant donn´e, disonst= 0 s, votre radar ´emet une impulsion ;

• `at= 2µs, le radar re¸coit, venant d’une certaine direction, appelons-l`a−x, un ´echo dont la fr´equenceˆ porteuse estν_r= 4 GHz ;

• `at = 3,25µs, r´eception d’un deuxi`eme ´echo, venant de −x, de fr´equenceˆ ν_r. Le radar ´emet alors, quasi simultan´ement, une impulsion ;

• `at= 4,06µs, r´eception d’un ´echo, provenance−x, fr´equenceˆ ν_r;

• `a t = 5µs, r´eception d’un deuxi`eme ´echo, venant de ˆx, de fr´equence ν_r⁰ = 0,25 GHz, et ´emission d’une impulsion ;

Champs classiques, PH042 Paris 7 3

• `at= 7µs, r´eception d’un ´echo, provenance ˆx, fr´equence ν_r⁰;

• `at= 12µs, r´eception d’un deuxi`eme ´echo, provenance ˆx, fr´equence ν_r⁰.

1. Repr´esentez sur un graphe d’espace-temps l’ensemble du sc´enario probable correspondant aux

´ev´enements de votre radar. Quels sont les arguments qui vous permettent de supposer que vous ˆetes en pr´esence de deux objets d´erivant `a la mˆeme vitesse, constante, passant `a proximit´e de votre radar ?

2. i) Quelle est la vitesse de ces deux objets ?

ii) Montrez que vous avez ainsi un moyen de mesurer la distance spatiale de ces deux objets en mouvement, et d´eterminez cette longueur.

VI. INVARIANCE DE FORME D’UNE LOI PHYSIQUE 1. Citez deux th´eories physiques dans lesquelles vous avez d´ej`a rencontr´e la loi ∂ρ

∂t +∇∇∇ ·j= 0.

2. On se demande si la forme de cette loi peut ˆetre invariante par transformation de Galil´ee. Cherchez pour cela si existent des densit´es transform´ees,ρ⁰ etj⁰, telles que l’on ait : ∂ρ⁰

∂t +∇∇∇⁰·j⁰= 0.

3. Mˆeme question par rapport aux transformations de Lorentz.

4. Comparez avec le comportement, d’apr`es vos souvenirs, de la loi³

∆− 1 v²

∂²

∂t²

´S = 0.

VII. APOCALYPSE NOW

Le mod`ele standard, en unifiant les interactions ´electromagn´etique et faible dans le cadre de la th´eorie quantique des champs, est maintenant, et pour l’instant, parfaitement confirm´e. Les interactions sont d´ecrites par des ´echanges de bosons (dits de jauge) W<sup>±</sup>, Z<sup>0</sup> et γ qui, jusqu’`a ce que l’univers se refroidisse au dessous d’une temp´erature critique avaient une masse nulle. Apr`es cette transition de phase, les bosons W^± etZ⁰ ont acquis les masses qu’on leur connaˆıt actuellement, responsables des diff´erences de propri´et´es effectives des interactions faible et ´electromagn´etique.

L’univers continuant `a se refroidir, une transition analogue pourrait-elle se produire dans l’avenir, dotant le photon d’une masse effective ? Envisageons cette ´eventualit´e par ailleurs controvers´ee. Le photon acqui`ererait alors une masse de l’ordre du produit de la constante de Boltzmann par la temp´erature de transition. Cette transition pouvant ˆetre du premier ordre, il n’y aurait aucun effet annonciateur et il n’est pas inutile de s’interroger sur ses cons´equences si elle devait se produire `a la temp´erature qu’a aujourd’hui l’univers. L’enseignement de l’´electromagn´etisme, la conduction dans les m´etaux, la propagation de l’influx nerveux dans les neurones, le rayonnement, Internet, le t´el´ephone portable, la t´el´e — bref, la civilisation — seraient-ils condamn´es ?

On se propose d’examiner ces questions essentielles dans le domaine non quantique de cette th´eorie, o`u elle se substituerait `a la th´eorie de Maxwell pour prendre la forme, dite de Proca :

∂µF^µν+ 1

λ²A^ν =j^ν.

La nouveaut´e, par rapport `a la th´eorie de Maxwell, r´eside dans un terme d´ependant de la constante caract´eristiqueλreli´ee `a la masse du photon. Pour le reste, les symboles gardent la mˆeme signification.

1. Cette th´eorie a t-elle une forme invariante relativiste ?

2. i) Cette th´eorie est-elle invariante par rapport aux transformations de jauge ?

ii) Sinon, et comme on d´esire que les sources ob´eissent `a une loi de conservation, dans quelle jauge doit-elle ˆetre ´ecrite ?

3. i) Quelle est la dimension de la constanteλ?

ii) Quelle est son expression qualitative en fonction de la masse du photon de la th´eorie quantique ? iii) Calculez la valeur de la masse du photon si la temp´erature de transition est la temp´erature de l’univers aujourd’hui. Calculez la valeur deλcorrespondante.

4 Champs classiques, PH042 Paris 7 4. Equations des champs :´

i) Rappelez les expressions des champs ´electrique et magn´etique en termes des potentiels, et les

´equations homog`enes qu’ils doivent ainsi satisfaire.

ii) ´Etablissez les ´equations inhomog`enes des champs cr´e´es par les sources ρ et j. (Oui, dans ces

´equations figurent encore les potentielsφetA.) 5. La propagation du rayonnement :

i) ´Etablissez l’´equation de propagation du champ ´electrique dans une r´egion vide.

ii) Une solution du type onde plane monochromatique peut-elle exister dans cette r´egion ? ´Etablissez la relation de dispersion entre pulsation et vecteur d’onde.

iii) Calculez la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fonction de la pulsation. Tracez l’allure de cette vitesse de groupe en indiquant quelques valeurs remarquables.

iv) Quel est le sort des ondes radio ? des fours `a micro-ondes ? de la lumi`ere visible, en particulier celle du Soleil ? des v´eg´etaux ?

6. Equations des potentiels :´

i) Reprenant l’´equation de Proca (et compte tenu de la condition de jauge), r´e´ecrire celle-ci sous forme d’´equations des potentiels φetAcr´e´es par les sources ρet j.

ii) Revenons sur la propagation : on consid`ere les potentiels, solutions dans le vide, du type onde plane monochromatique, d’amplitudes φ0 etA0. Montrez que ces amplitudes ne sont pas ind´ependantes, et queφ₀ peut s’exprimer en fonction deA₀, de la pulsation et du vecteur d’onde. Calculez l’amplitude du champ ´electrique correspondant. Montrez qu’il admet une composante longitudinale, et ´etablissez l’expression de celle-ci en terme de masse du photon. Qu’en est-il pour le champ magn´etique ? 7. Electro et magn´eto statiques :´

i) D´eterminez par le moyen qu’il vous plaira, le potentiel φ(r) cr´e´e par une charge q ponctuelle, immobile. En d´eduire le champ ´electrique.

ii) Quelles sont les cons´equences sur la conduction des m´etaux dans la vie courante ? sur la structure atomique telle qu’en rend compte l’´equation de Schr¨odinger ?

iii) Mais la vie courante se d´eroule surtout dans un environnement magn´etique. D´eterminez la formule int´egrale du potentielA(r) cr´e´e par une sourcej(r).

iv) Quelles sont les cons´equences pour la conception des boucles, sol´eno¨ıdes, alternateurs, de tout ce qui fonctionne par induction ? pour la fabrication des champs magn´etiques intenses ? pour le fonctionnement des bougies d’allumage d’une Lamborghini ordinaire ? Quel est le sort des champs magn´etiques plan´etaires, stellaires, galactiques ? Plus proche de nous, sur Terre, quelles sont les cons´equences pour la vie animale ? pour les flux de particules cosmiques ? pour la m´et´eorologie ? Encore plus proche, quelles sont les cons´equences pour l’efficacit´e des neurones sp´ecialis´es dans la transmission `a grande vitesse (leur fonctionnement repose sur l’interaction ´electromagn´etique entre nœuds distants de l’ordre du millim`etre chez l’homme, et encore plus chez les grands calmars).

8. Effets relativistes : D´eterminer, par exemple, le rapport des fr´equences r´eception/´emission de signaux

´emis par une source de vitesseβ et se propageant `a la vitesse de groupev_g(effet Doppler longitudinal).

9. Avec tout le temps qui vous reste, vous pouvez maintenant passer `a la d´etermination de la fonction de Green de l’´equation des potentiels pour ´etablir le potentiel vecteur, les champs, le vecteur de Poynting de quelques sources canoniques.

R´ef :

M.M. Crone&M. Sher,The environmental impact of vacuum decay, Am. J. Phys.59() 25.