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Examen du 24 juin 2010 -dur´ee : deux heures trente-

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Academic year: 2022

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(1)

Math´ematiques G´en´erales premi`ere ann´ee

Introduction aux ´equations aux d´eriv´ees partielles

Examen du 24 juin 2010 -dur´ee : deux heures trente-

Exercice 1.

Soient f ∈ C1([0,∞[), g ∈ C([0,∞[) et c > 0. On souhaite r´esoudre l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

2u

∂t2 −c22u

∂x2 = 0, ∀ x∈R, ∀ t >0, (1) avec la condition aux bord u|x=0 = 0 et les donn´ees initiales

u|t=0 =f, ∂u

∂t|t=0 =g.

1. Y a-t-il une condition de compatibilit´e `a imposer aux donn´ees initiales ? 2. En posant w = ∂tu + c∂xu, r´eduire (1) `a un syst`eme d’´equations diff´erentielles du premier ordre portant sur (u, w). On pr´ecisera les conditions initiales sur u, w.

3. D´eterminerwpuisu(on pourra utiliser la m´ethode des caract´eristiques).

Exercice 2.

On souhaite r´esoudre le probl`eme

∂u

∂t + ∂

∂x u2

2

= 0, ∀ x∈R, ∀ t >0, (2) avec la donn´ee initiale u|t=0]0,1[.

1. Rappeler les conditions de choc de Rankine-Hugoniot et les conditions d’entropie pour l’´equation (2).

1

(2)

2. Rappeler la forme des ondes de rar´efaction pour (2).

3. Ecrire le syst`eme des caract´eristiques pour (2) et montrer que celles-ci sont des droites.

4. R´esoudre (2) avec la condition initiale donn´ee : on repr´esentera la so- lution dans le plan des caract´eristiques (x, t) et ´egalement le graphe x7→u(x, t) pour diff´erents temps t o`u la solution u change de forme.

Exercice 3.

On rappelle l’injection de Morrey suivante :

si Ω ⊂R4 est un ouvert borne de classe C, alors H3(Ω)⊂Cα(Ω),∀0< α <1.

Dans la suite, on se donne Ω ⊂ R4 un ouvert born´e de classe C et f ∈ C(R;R) telle que f(0) = 0 et |f0(x)| ≤ C < ∞ pour tout x ∈ R. Soit F(x) :=

Z x

0

f(t)dt.

1. Montrer que la fonctionnelleJ :H01(Ω)→R,J(u) := 1 2

Z

|∇u(x)|2dx−

Z

F(u(x))dx, est bien d´efinie.

2. Montrer que, si u∈H01(Ω), alors f(u)∈H−1(Ω).

3. Montrer que, si u est un point de minimum de J, alors u est solution, au sens des distributions, de (P)

(−∆u=f(u) dans Ω u∈H01(Ω) .

4. (Question plus difficile) Montrer que, si u ∈ C0(Ω), alors f(u) ∈ H01(Ω). Montrer que cette conclusion reste vraie pour tout u∈H01(Ω).

5. En d´eduire que, si u est solution de (P), alors u ∈ H3(Ω), puis que u∈C2,α(Ω), ∀ 0< α <1.

2

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