TH ´EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN PARTIEL t

Paris 7 PH042

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN PARTIEL

t₀= (lundi 3 f´evrier, 12 h 30), ∆t= 4 heures

Pas d’affolement : les questions ´el´ementaires, marqu´ees d’un *, sont suffisantes, et n´ecessaires, pour vous assurer la moyenne. Quant au reste, plus ouvert, vous faites tout ce que vous pouvez en utilisant connaissances, culture, astuce et bon sens.

I. EFFET DOPPLER LONGITUDINAL

Fred et Ren´ee, tous deux inertiels, s’autorisent des rep`eres en configuration standard (il y a un

´ev´enement commun dans leurs vies respectives) de vitesse relativeβ. Ren´ee, `a intervalles r´eguliers ∆τ

`

a sa montre, ´emet des signaux non directionnels dont la vitesse de propagation vautc.

*1.Repr´esenter cette histoire sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Fred.

*2.Calculer l’intervalle de temps ∆t_r qui s´epare, `a sa montre, deux r´eceptions successives par Fred.

II. UN AUTRE SC´ENARIO Dans le rep`ere de Fred, Alice a le mouvement :







x(t) =a⁻¹p

1 + (at)², y(t) = 0,

z(t) = 0,

o`uaest une constante (positive par exemple).

*1.Repr´esentez les lignes d’univers de Fred et Alice sur un graphe d’espace-temps (x, t).

*2.i) Calculez l’intervalle de temps propredτ entre deux ´ev´enements rapproch´es de la vie d’Alice autour de l’instantt, en fonction de l’intervalle de tempsdtattribu´e par Fred `a ces mˆemes ´ev´enements. Alice a r´egl´e sa montre en sorte queτ(t= 0) = 0. Calculezτ(t).

ii) En d´eduire l’´equation de la ligne d’univers d’Alice param´etr´ee par son temps propre τ, puis les composantes de sa quadrivitesse et de sa quadri acc´el´eration.

iii) Calculez le carr´e de la quadri-acc´el´eration d’Alice. Comment peut-on qualifier le mouvement de la dite Alice ?

3. Les tuy`eres surchauff´ees de la fus´ee d’Alice ´emettent en permanence, et entre autres, une raie lumineuse monochromatique de fr´equencef0, dans toutes les directions.

*i) Repr´esentez sur le graphe d’espace-temps quelques lignes d’univers typiques de ce rayonnement

´emis. Fred re¸coit-il cette lumi`ere `a tout instant ? Qualitativement, avant tout calcul, comment va varier au cours du temps la fr´equence f(t) de la raie re¸cue par Fred ?

ii) Calculez l’instant d’´emissiontede la lumi`ere qui est re¸cue par Fred `a l’instantt, puis la vitessev(te) d’Alice `a cet instant.

iii) Dans quelle mesure la formule ´etablie en I.2 (pour un ´emetteur qui avait une vitesse constante) est-elle applicable ici pour calculer la fr´equencef(t) du rayonnement re¸cu par Fred ? Calculezf(t) et commentez l’expression obtenue.

4. En contemplant, inerte, le ciel nocturne, vous ˆetes t´emoin de l’apparition d’une nouvelle source lumineuse ponctuelle, fixe dans le ciel. Vous reconnaissez dans son spectre la disposition des raies caract´eristique d’un ´el´ement connu. L’analyse de mesures successives de la fr´equence de l’une de ces raies vous donne la loi f(t) = f₀/(αt−β), o`u f<sub>0</sub> est la fr´equence de cette mˆeme raie ´emise par le mˆeme ´el´ement en laboratoire. Que pouvez-vous dire du mouvement de cette source ? (N’h´esitez pas `a faire un graphe d’espace-temps.)

2 Champs classiques, PH042 Paris 7 III. CONSTANTES DU MOUVEMENT

*1.i) Rappeler la d´efinition des composantes de la quadri-impulsion p^µ d’une particule de masse m et de ligne d’universx^µ(τ) donn´ees. Quelle est l’utilit´e de cette notion ?

ii) En d´eduire les expressions de l’´energie et de l’impulsion de cette particule lorsqu’elle a une vitesse~v.

iii) En d´eduire les identit´es remarquables que satisfont l’´energie et l’impulsion. Qu’en est-il pour une particule dont on observe (par bilan des ´energies et impulsions dans les r´eactions auxquelles elle participe) qu’elle a la propri´et´ep^t=|~p|?

*2.Dans leurs conventions, la vitesse de Ren´ee par rapport `a Fred estβx. Un photon, ´emis dans le rep`ereˆ de Ren´ee, a une ´energiep^t0 et une impulsion dans la direction (cosθ⁰,sinθ⁰,0). Calculer l’´energie p^tet le cosθde ce photon d´etect´e dans le rep`ere de Fred.

*3.Calculer l’´energie des pions au seuil de la r´eaction π⁺+n → K⁺+ Λ⁰ sur des neutrons au repos.

(mπ ≈140 MeV,mn ≈940 MeV,mK ≈494 MeV,mΛ≈1 115 MeV.)

IV. UN PARADOXE ?

Deux grenouilles identiques participent `a une exp´erience dans une station spatiale `a la d´erive dans l’espace. Les grenouilles se tiennent au centre de la station, puis elles se repoussent pour aller se relancer simultan´ement sur les parois oppos´ees (sym´etriques) de la station, se croiser au centre, rebondir encore simultan´ement sur les parois, et ainsi de suite.

*1.Repr´esenter ce conte (lignes d’univers des parois oppos´ees et des grenouilles) sur un graphe d’espace- temps dans le rep`ere de la capsule.

*2.Repr´esenter la mˆeme histoire observ´ee dans un rep`ere o`u la station est anim´ee d’une vitesse constante, parall`ele aux vitesses des grenouilles.

3. Puisque dans ce rep`ere les rebonds ne peuvent ˆetre simultan´es, la station devrait paraˆıtre agit´ee de soubresauts. Quels commentaires avez-vous `a proposer ?

V. ´ELECTRODYNAMIQUE

*1.Rappelez la forme tensorielle des ´equations de l’´electrodynamique : ´equations du mouvement du tenseur du champ cr´e´e par les sources, ´equations du mouvement d’une charge dans le champ.

(Expliquez, aussi bri`evement que clairement, la signification des symboles utilis´es.)

*2.Calculez les composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique.

3. i) D´eterminer le mouvement d’une particule de massem, chargeq, dans une zone o`u r`egne un champ

´electrique uniforme et constant. (Rien n’interdit, par exemple, de choisir l’axe ˆxparall`ele au champ

´electrique, et de s’int´eresser d’abord `a l’´equation du mouvement de la quadrivitesse.)

ii) Etudier le cas particulier d’une particule abandonn´ee avec une vitesse nulle dans le champ.

VI. MONOP ˆOLE MAGN ´ETIQUE

Emerveill´es par l’´etonnante sym´etrie duale (F^µν ↔^∗F^µν) des ´equations du champ ´electromagn´etique, on songe `a une nouvelle th´eorie o`u cette sym´etrie apparaˆıtrait aussi dans les sources. Autrement dit, on suppose l’existence d’un quadrivecteur densit´e de ^hhcourant magn´etiqueⁱⁱk^ν, source du tenseur dual.

Dans cette hypoth`ese, il existerait donc des charges magn´etiques (pas encore d´etect´ees), au mˆeme titre que les charges ´electriques. Toujours mus par la mˆeme aspiration esth´etique, on parach`eve la sym´etrie duale dans l’´equation du mouvement d’une particule en attribuant `a celle-ci une charge magn´etiqueg (pas encore d´etect´ee `a ce jour) jouant le rˆole de constante de couplage avec le tenseur dual, au mˆeme titre que la charge ´electrique avec le tenseur du champ. Reste `a voir si cette th´eorie pr´esente un autre int´erˆet qu’esth´etique. . .

1. Ecrire les ´equations tensorielles de cette th´eorie sym´etris´ee (champs cr´e´es par les sources j^ν et k^ν, mouvement d’une particule de chargesqet g).

Champs classiques, PH042 Paris 7 3 2. En d´eduire d’une part les ´equations (analogues des ´equations de Maxwell) pour les champs (−E ,→−B→) cr´e´es par les densit´es de charges (j⁰, k⁰) et de courants (~j,~k), et d’autre part les ´equations d’´evolution pourdp⁰/dtetd~p/dtd’une particule de chargesqetg dans les champs−E→et −→B.

3. Rapidement. . .Existe-t-il des transformations dej⁰,q,k⁰,g,~j,~k,−E→et−B→qui assurent `a cette th´eorie l’invariance par r´eflexion spatiale ?

4. On s’int´eresse, d’abord qualitativement, aux propri´et´es du champ ´electromagn´etique cr´e´e par une charge magn´etique (on dit un^hhmonopˆoleⁱⁱ) et une charge ´electrique.

i) Rappeler l’expression du champ ´electrique cr´e´e par une charge q immobile, prise comme origine.

En d´eduire l’expression du champ magn´etique cr´e´e par un monopˆole de charge g, immobile, plac´e `a la distanced~de la charge.

ii) A l’aide de la densit´e d’impulsion du champ cr´e´e par l’ensemble de ces deux sources, estimer sans calcul la forme du r´esultat de l’int´egrale donnant le moment angulaire du champ−→J´em, et en particulier la valeur de sa composante selon d.~

iii) Dans l’hypoth`ese d’une th´eorie quantique de tout ce syst`eme, quelle condition le produit des chargesqgdevrait-il n´ecessairement satisfaire ? Quelle serait la cons´equence, pour chacune des charges

´electriques de l’univers, de l’existence de ne serait-ce qu’un seul monopˆole ?

5. Il faut `a pr´esent passer `a une ´evaluation plus pr´ecises de ces propri´et´es impliqu´ees par la th´eorie quantique. Commen¸cons par ´etudier une fonction de la forme

Ψ(~r, t)^df=ψ (~r, t)e⁻ⁱ

q

¯ h

R~r,t

~r0,t0dx^0µAµ(x⁰)

,

o`u l’int´egrale est effectu´ee sur un chemin quelconque allant d’un ´ev´enement de r´ef´erence (~r<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>) `a l’´ev´enement consid´er´e (~r, t).

i) Calculeri¯h∂Ψ/∂tet P~Ψ (o`uP~ = (¯h/i)−→

∇).

ii) En d´eduire les expressions de (i¯h∂/∂t−qA⁰)Ψ,¡P~ −q−A→¢

Ψ et¡P~−q−→A¢2

Ψ.

iii) En d´eduire l’´equation diff´erentielle satisfaite par la fonction Ψ si on a choisi une fonctionψ solution dei¯h∂ψ/∂t = (P~²/2m)ψ . Conclure. . .

6. Etant maintenant persuad´es de l’int´erˆet du potentiel A^µ pour ´etudier l’´evolution d’une particule quantique charg´ee ´electriquement, on s’int´eresse au cas d’une particule de masse m, charge ´electrique q, dans le champ cr´e´e par un monopˆole fixe, de charge magn´etique g, pris comme origine des po- sitions. Mais, si le potentiel scalaire A⁰ ne pose pas de probl`eme (on peut le prendre nul), quel peut ˆetre le potentiel vecteur −→A d’un monopˆole dont on connaˆıt le champ−B→puisque,−→

∇ ·−B→n’´etant pas nulle partout, on ne peut avoir

−B→=−→

∇ ∧−A→partout. Pour sortir de ce dilemme, Dirac a eu l’id´ee d’adjoindre au monopˆole un sol´eno¨ıde (une^hhcorde de Diracⁱⁱ appelle-t-on ¸ca) infiniment fin, dont une face co¨ıncide avec le monopˆole, et par ailleurs (demi) infiniment long, cr´eant le champ singulier :−→B_sol(~r) =gΘ(−z)δ(x)δ(y) ˆz.

i) Calculer la divergence du champ magn´etique r´esultant de ces deux sources :

−B→_tot(~r) =−B→(~r) +−→B_sol(~r). Peut-on avoir−→B_tot=−→

∇ ∧−→A_totpartout (auquel cas il semble que la singularit´e n´ecessaire de−A→_solcompense, dans−A→_tot =−A→+−A→_sol, la singularit´e toute aussi n´ecessaire de−A) ?→

ii) Encore faut-il que la corde de Dirac, ajout´ee pour les besoins de la cause, n’ait aucun effet observable. Calculer pour cela les int´egrales de circulationR

Γd~r·−A→_sol(~r) le long des contours ferm´es Γ₁ et Γ₂. Quelles doivent ˆetre les valeurs de cette derni`ere pour que la corde de Dirac n’ait aucun effet sur la fonction-d’onde de la particule ? Qu’en serait-il si la corde avait ´et´e dispos´ee dans une autre direction ?

iii) Quelle condition en d´eduisez-vous pour les valeurs du produitqg?