Paris 7 QA 421-422
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THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN, t0= jeudi 10 septembre, 9 h.
∆t= 4 heures
Il n’est pas inutile de lire l’´enonc´e : les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees dans l’intention de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :
• Conventions typographiques :~v,−→V repr´esentent des (tri)vecteurs,v,V des quadrivecteurs.
• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont ´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le “bon sens”, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.
• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.
• Lorsque vous ´enoncez un r´esultat par cœur, vous pouvez quand mˆeme en donner, dans la mesure du possible, quelques raisons.
• Un raisonnement discursif, s’il est bri`evement et clairement exprim´e, peut ˆetre beaucoup plus attrayant qu’un calcul sec.
• Des blocages moraux quelque peu d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a ´eviter des sentiments dont j’aurais honte !
• Ne vous affolez pas de la longueur du probl`eme qui vous est propos´e. Vous ne devez vous y attaquer qu’apr`es avoir effectu´e les exercices qui le pr´ec`edent et qui suffisent pour vous assurer la moyenne.
Bon courage. le G.O.
BD
Val´erian observe Laureline confortablement install´ee bien au centre de son vaisseau spatial qui a une vitesse constante par rapport `a Val´erian. La trajectoire du vaisseau passe tout pr`es de Val´erian. Lors de leur quasi co¨ıncidence, Laureline gratte une allumette dont l’´eclat lumineux se propage dans toutes les directions et, en particulier, se r´efl´echit sur l’avant et sur l’arri`ere du vaisseau.
Repr´esentez ce sc´enario (lignes d’univers des deux h´eros, de l’avant et de l’arri`ere du vaisseau, de la lumi`ere ´emise, de la lumi`ere r´efl´echie, et ´ev´enements marquants : r´eflexions sur l’avant et sur l’arri`ere, r´eceptions par Laureline et par Val´erian) sur deux graphes d’espace-temps distincts, dans les rep`eres de Laureline et de Val´erian respectivement, choisis au plus simple, en mettant bien en ´evidence les
´eventuelles simultan´eit´es ou non d’´ev´enements.
TRANSFORMATION DE LORENTZ DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE Delphine et Marinette, toutes deux inertielles, conviennent de rep`eres en configuration standard : Marinette choisit son axe ˆxsuivant la vitesse~v de Delphine qui, elle, choisit son axe ˆx0 oppos´e `a la vitesse de Marinette.
1. Donnez les expressions des coordonn´ees t0, x0, y0, z0 d’un ´ev´enement, pour Delphine, en fonction des coordonn´ees t, x, y, zde cet ´ev´enement pour Marinette.
2. En d´eduire le tableau des valeurs des coefficients Λµνde la matrice de la transformationx0µ= Λµνxν. En d´eduire le tableau des coefficients de la matrice Λµν correspondante.
3. Rappelez la d´efinition des composantes Fµν du tenseur du champ ´electromagn´etique en fonction du potentiel, et en d´eduire le tableau desFµν en fonctions des composantes des champs ´electrique−→E et magn´etique −→B.
4. Calculez les composantes des champs −→E0 et −→B0 en un ´ev´enement, dans le rep`ere de Delphine, en fonctions des composantes de−→E et−→B, au mˆeme ´ev´enement, dans le rep`ere de Marinette.
MOUVEMENT D’UNE CHARGE
1. Rappelez l’´equation du mouvement d’une charge qdans un champ ´electromagn´etique Fµν.
2. En d´eduire les expressions dede/dtetd~p/dten fonctions deq, des champs−→E et−→B, et de la vitesse~v de la charge.
3. Cette charge, de masse m, ´evolue dans une zone o`u le champ ´electrique est nul et le champ magn´etique −→B uniforme et constant. En un ´ev´enement, pris comme origine d’espace et de temps, la charge a une impulsion orthogonale `a −→B. D´eterminez les caract´eristiques de la trajectoire de la charge.
CONVECTION ET RAYONNEMENT
Une charge ´electrique `a une trajectoire rectiligne, d’abord `a vitesse 0,2 constante, puis elle subit une acc´el´eration longitudinale br`eve mais intense, qui l’am`ene `a la vitesse 0,6 `a nouveau constante. Au temps t= 1 m apr`es l’acc´el´eration :
1. Repr´esentez la zone o`u il y a un champ de rayonnement, et l’allure des lignes du champ ´electrique cr´e´e par la charge.
2. Repr´esentez l’allure du champ magn´etique cr´e´e.
RAYONNEMENT
1. Rappelez l’expression (ou `a d´efaut la forme) du champ ´electrique rayonn´e par une charge ´electrique en mouvement `a basse vitesse. Expliquez soigneusement la signification des divers symboles figurant dans votre formule.
2. Dans quelles conditions cette expression donne-t-elle le champ ´electrique cr´e´e par la charge ? 3. Quelles sont, dans les mˆemes conditions, les expressions. . .
i) du champ magn´etique cr´e´e ? ii) du vecteur de Poynting ?
iii) de la puissance rayonn´ee dans la direction ˆR, angle solided2Rˆ? iv) de la puissance totale rayonn´ee ?
4. Une charge d´ecrit une orbite circulaire `a basse vitesse constante. Analysez qualitativement le champ
´electrique rayonn´e par cette source.
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UN PROBLEME DE COUPLE : HERA
Le “Hadron-Electron Ring Accelerator”, mis en service en `a Hambourg, est constitu´e de deux anneaux de stockage approximativement circulaires, superpos´es, dans lesquels tournent respectivement des ´electrons et des protons, en sens inverses. La circonf´erence des anneaux vaut 2πR ≈ 6,3 km, l’´energie d’un ´electron ee≈26 GeV, l’´energie d’un proton ep≈820 GeV.
1. i) Calculez (module et sens) la vitesse~vcm du rep`ere dit du “centre de masse” d’un ´electron et d’un proton dans l’une des zones d’intersection (pratiquement face `a face) am´enag´ees le long des anneaux.
ii) Calculez le facteurγcm correspondant.
iii) Calculez l’´energie totale du syst`eme dans le rep`ere du centre de masse.
2. i) Calculez la valeur du champ magn´etique Be (en Tesla) n´ecessaire pour assurer la trajectoire des
´electrons.
ii) Calculez la valeurBpn´ecessaire pour les protons. Vous inspire-t-elle quelque commentaire ? 3. i) Calculez les modulesve et vpdes vitesses des ´electrons et protons.
ii) En d´eduire la valeur de la fr´equence (en Hertz) de r´evolution des particules, et la dur´ee (en secondes) d’une r´evolution.
4. Restent `a estimer les puissances rayonn´ees par ces particules. . .
i) Rappelez l’expression, trouv´ee (peut-ˆetre) plus haut, de la puissance totale P rayonn´ee par une particule de charge q, du point de vue de la particule, en fonction de l’acc´el´eration propre de la particule.
ii) ExprimezP en fonction de la quadri-acc´el´eration de la particule.
iii) En d´eduire l’expression deP en fonction de la chargeq, de la massemet de la d´eriv´ee, par rapport au temps propre, dp/dτ, de la quadri-impulsion de la particule.
iv) En d´eduire, dans le cas pr´esent d’une charge soumise `a un champ magn´etique localement uniforme et constant, l’expression de P en fonction deq, m, de la vitesse v de la particule, et de l’intensit´eB du champ magn´etique.
v) En d´eduire l’expression de P en fonction de q,m, du rayonRde la trajectoire, et du modulep de l’impulsion~p.
vi) En d´eduire une expression deP en fonction durayon classique de la particule,rdf=q2/4πm, deR, p etm, faisant apparaˆıtre clairement la dimension de P.
vii) Calculez la puissancePe rayonn´ee par un ´electron dans HERA, en MeV s−1et, enfin, en MeV par tour.
viii) Mˆemes questions pour la puissancePp rayonn´ee par un proton. Des commentaires ?
Quelques informations qui devraient vous ˆetre moins n´ecessaires qu’utiles : c≈3,0×108m s−1
e≈1,6×10−19C
me ≈0,51 MeV≈9,1×10−31kg mp≈0,94 GeV
re ≈2,8×10−15m
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