THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN PARTIEL,

Paris 7 QA 421-422

–

THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN PARTIEL, t₀= mercredi 29 janvier, 9 h

∆t= 3 heures

Il n’est pas inutile de lire l’´enonc´e ci-dessous : les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees en sorte de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :

• Conventions typographiques :v, Vrepr´esentent des (tri)vecteurs,v,V des quadrivecteurs.

• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont ´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le^hhbon sensⁱⁱ, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.

• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.

• Lorsque vous ´enoncez un r´esultat par cœur, vous pouvez quand mˆeme en donner, dans la mesure du possible, quelques raisons.

• Un raisonnement discursif, s’il est bri`evement et clairement exprim´e, peut ˆetre beaucoup plus attrayant qu’un calcul sec.

• Des blocages moraux quelque peu d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a ´eviter des sentiments dont j’aurais honte !

• Ne vous affolez pas de la longueur excessive des probl`emes qui vous sont propos´es ; leur r´edacteur peut avoir eu une d´efaillance ! De toute fa¸con l’´enonc´e comporte un minimum exigible (questions marqu´ees d’un ast´erisque), n´ecessaire et suffisant pour vous assurer la moyenne.

Bon courage. le G.O.

*LES BASES(4,5 pts) 1. i) Rappelez l’expression de l’invariant associ´e `a deux ´ev´enements.

ii) Quelle est la nature de chacun des intervalles entre les trois

´ev´enements O, A et B repr´esent´es ci-contre dans le rep`ere de Georges. Quels sont les couples d’´ev´enements entre lesquels il ne peut y avoir de lien de causalit´e ?

iii) Calculez l’intervalle de temps entre les ´ev´enements O et A dans un rep`ere o`u ils ont mˆeme position.

2. Georges a choisi son axe ˆx selon la vitesse V_L/G de Leia, de module V_L/G = ⁴₅. Ils ont convenu d’adopter des rep`eres en configuration standard.

i) Quelles sont les coordonn´ees des ´ev´enements A et B dans le rep`ere (x⁰, t⁰) de Leia ?

ii) Inversement, quelles sont les coordonn´ees (t, x, y, z), pour Georges, d’un ´ev´enement dont les coordonn´ees sont (t⁰, x⁰, y⁰, z⁰) pour Leia ?

iii) En d´eduire les composantesv_x, v_y etv_z de la vitesse, pour Georges, d’un point mat´eriel dont la vitesse a — au mˆeme ´ev´enement — les composantes v⁰_x,v⁰_y etv_z⁰ pour Leia.

3. Quelques applications :

i) En d´eduire la formule de composition des vitesses dans le cas^hhparall`eleⁱⁱ.

ii) Trois personnages, 1, 2 et 3, ont des vitesses relatives parall`eles. Calculez en la combinaison v_1/2+v_2/3+v_3/1. Comparez avec le cas dit^hhnon relativisteⁱⁱ.

iii) Darth se meut par rapport `a Georges avec une vitesseV<sub>D/G</sub>=−<sup>3</sup><sub>5</sub>ˆx. Quelle est la vitesse de Darth par rapport `a Leia ?

*UN PEU DE CALCUL TENSORIEL (2 pts) 4. Soit deux quadrivecteurs, de composantesA^µ et B^µ dans un rep`ere.

i) Comment d´efinit-on leur produit scalaire ? ii) Montrez qu’il s’agit effectivement d’un scalaire.

5. i) Donnez au moins un exemple de quadrivecteur utilis´e en physique.

ii) Donnez au moins un contre exemple de (tri)vecteur (par rapport aux rotations), utilis´e en physique, dont les composantes ne sont pas composantes d’un quadrivecteur (par rapport aux transformations de Lorentz).

6. Soit le champ (quadri)vectorielA^µ(x) et le tenseurF_µν ^df=∂_µA_ν−∂_νA_µ. Calculez, de mani`ere d´etaill´ee, assez de composantes de F_µν pour pouvoir en donner le tableau complet en fonction des composantes deE^df=−∇∇∇A⁰−∂A/∂tet B^df=∇∇∇ ∧A.

*DE LA CINEMATIQUE(3 pts)

7. i) Rappelez les d´efinitions de la quadrivitesse et de la quadri-acc´el´eration d’une particule.

ii) Quelles sont les valeurs de chacun des trois produits scalaires que l’on peut former avec ces deux quadrivecteurs ?

iii) Rappelez les expressions des composantes contravariantes, puis des composantes covariantes, de la quadrivitesse en fonction de la vitesseVde la particule.

8. Une application :

i) Calculez les composantes des quadrivitesses de Leia et de Darth, U_L et U_D, dans le rep`ere de Georges, personnages d´ej`a ´evoqu´es dans les questions 2et3.

ii) Calculez le produitU_L·U_D. Quelle est sa signification ? iii) V´erifiez ceci `a l’aide du r´esultat obtenu `a la question 3.iii.

*LES GRANDS PRINCIPES DYNAMIQUES (3,5 pts)

9. i) Rappelez la d´efinition de la (quadri)impulsion d’une particule et donnez en au moins une motivation.

ii) En d´eduire les expressions des composantes temporelles et spatiales de l’impulsion d’une particule, en fonction de sa masse met de sa vitessev.

iii) Quelles relations en d´eduisez-vous entrep⁰,pet m?, entrep⁰,petv?

10.Faisant le bilan des impulsions mesur´ees dans une r´eaction, on observe un apparent d´efaut de conservation que l’on attribue `a une particule sortante, inaper¸cue, avec la propri´et´ep<sup>0</sup>=|p|. Quelle masse et quelle vitesse vous voyez vous forc´ee d’attribuer `a cette particule ?

11.Soit la r´eaction de production d’antiproton : p + p→p + p + p + p.

i) Calculez la masse invariante de ce syst`eme au seuil de production.

ii) En d´eduire l’´energie `a fournir au proton incident sur un proton au repos pour atteindre le seuil de production. (mp= 938 MeV.)

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ET POUR FINIR, QUELQUES PROBLEMES (7 pts) 12.Leia porte un chapeau circulaire de rayon R, centr´e sur elle, dans

son plan (ˆx⁰,ˆy⁰).

i) Quelle est l’´equation des points du pourtour du chapeau pour Leia ?

ii) En d´eduire l’´equation des points du pourtour du chapeau, `a un instantt, dans le rep`ere de Georges.

iii) Repr´esentez, sur un graphe (x, y), l’allure de ce chapeau `a un instantt, telle qu’en rendent compte les assistants de Georges.

iv) Georges, profession oblige, souhaite photographier Leia et ses accessoires en pla¸cant son d´etecteur de photons tr`es loin sur l’axey.ˆ Exprimez la composante v_x de la vitesse des photons accept´es par

Georges en fonction de la composante v_x⁰ de la vitesse des mˆemes photons ´emis par Leia.

v) Dans cette position, l’appareil photo de Georges vise la direction −ˆy. Il ne re¸coit donc que des photons se propageant normalement `a la vitesse de Leia. Quel est l’angleηentre la vitesse des photons

´emis par Leia et la normale `a la vitesse de Georges ?

13.La fus´ee de Luke a, dans le rep`ere de Georges, inerte, un mouvement rectiligne selon l’axeˆx, d’´equation

x(t) = 1 g

p1 + (gt)²,

o`ug est une constante.

i) Repr´esentez l’allure de la ligne d’univers de la fus´ee de Luke sur un graphe d’espace-temps (x, t).

Quel nom cette ligne sugg`ere t-elle pour ce genre de mouvement ?

ii) Calculez la vitesse de la fus´ee `a l’instant t. En d´eduire, au mˆeme instant, l’intervalle de tempsdτ qui s’´ecoule pour Luke entre deux battements de son cœur, en fonction de leur intervalle de tempsdt pour Georges.

iii) Calculez le tempsτ indiqu´e par la montre de Luke lorsqu’il esttpour Georges. (Ils ont pris soin de r´egler leurs montres, aussi parfaites que l´egales, en sorte que τ= 0 lorsquet= 0.)

iv) Calculez la rapidit´eϕde Luke par rapport `a Georges, en fonction deτ.

v) En d´eduire les valeurs des coefficients de la matrice de la transformation de Lorentz, entre Georges et Luke, en fonction deτ.

vi) En d´eduire les composantes de la quadrivitesse de Luke pour Georges, en fonction deτ. vii) En d´eduire les composantes de la quadri-acc´el´eration du mˆeme pour le mˆeme.

viii) En d´eduire la valeur de l’acc´el´eration propre de Luke. Quel autre nom peut-on donner `a son mouvement ? Quelles instructions de pilotage simples suffit-il de donner `a Luke pour r´ealiser ce mouvement ?

ix) Repr´esentez l’allure de la ligne d’univers d’une mission de Luke constitu´ee de mouvements de ce type, au cours de laquelle il quitte Georges, s’en ´eloigne, puis revient vers lui pour reprendre contact en douceur. Commentez les diverses op´erations effectu´ees par Luke.

14.La fus´ee de Luke est con¸cue pour fonctionner en ´ejectant de l’impulsion sous une vitesse constante u.

i) Quelle est l’impulsion d’une quantit´e d’´energie dε´eject´ee sous la vitesseu?

ii) Montrez que les principes de conservation impliquent une relation donnant le taux de variation de la masse de la fus´ee par unit´e de temps de Luke,dm/dτ, en fonction de la vitesse d’´ejectionu, de la masse mde la fus´ee et de son acc´el´eration propre.

iii) En d´eduire la valeur deuid´eale pour optimiser la charge utile de la fus´ee.

iv) Adoptant cette valeur id´eale, quelle est, pour une fus´ee de 100 t acc´el´erant (proprement)

`

a 9,8 m s⁻², la valeur du taux dm/dτ en kg s⁻¹?, en MeV s⁻¹?, en nombre de paires p p par sec- onde ?

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