Paris 7 QA 421-422
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THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN PARTIEL, t0= lundi 21 janvier
∆t= 4 heures
Les huit premiers exercices, assez scolaires, devraient vous assurer une moyenne confortable. Les deux derniers sont l`a pour apporter un surcroˆıt de plaisir. Il n’est donc pas question de commencer par ceux-ci.
Vous avez toujours le droit de r´ediger quelques br`eves raisons des r´esultats que vous donnez, quand bien mˆeme seriez vous capable de citer ces derniers par♥. le G.O.
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Transformation de Lorentz(3,5 points)Delphine et Corine anim´ees d’une vitesse relative constante se sont rencontr´ees dans l’univers et elles conviennent d’utiliser cet ´ev´enement O comme origine de leurs syst`emes de coordonn´ees respectifs.
Delphine choisit son axeˆxselon la vitesse de Corine, tandis que celle-ci choisit son axeˆx0 oppos´e `a la vitesse de celle-l`a. Elles choisissent leurs autres axes d’espace “parall`eles”, et enfin elles conviennnent d’utiliser, dans leurs rep`eres respectifs, des unit´es fondamentales d´efinies par les mˆemes op´erations.
La vitesse relative de Delphine et Corine a pour module v = 4/5. Delphine et Corine ´etudient six
´ev´enements, A, B, C, D, E, et F, tous situ´es sur leurs axes ˆxet ˆx0. Pour Corine, ces ´ev´enements ont les coordonn´ees suivantes :
A B C D E F
x’ 0 1/2 1 1 1 1
t’ 1 1 1 1/2 0 -1/2
1. Calculer les coordonn´ees attribu´ees par Delphine `a ces ´ev´enements.
2. Repr´esenter ces ´ev´enements sur des graphes d’espace-temps dans les rep`eres de Corine et de Delphine respectivement.
3. Discuter qualitativement les comportements des coordonn´ees des diff´erents ´ev´enements dans le changement de rep`ere.
2
Cuisine astronautique (1 point)Tintin, dans sa super-fus´ee pressuris´ee, se d´eplace `a une vitesse constante de 286.000 km s−1 par rapport `a la station de contrˆole. Il se fait cuire un œuf par immersion dans l’eau bouillante. Pour la station de contrˆole la cuisson a dur´e 10 minutes. Sous quelle forme Tintin va-t-il d´eguster son œuf ?
3
Composition des vitesses (1,5 point)Partant de l’expression d’une transformation sp´eciale de Lorentz entre coordonn´ees utilis´ees par deux personnages en configuration standard,
1. Retrouver la loi de transformation des composantes de la vitesse d’un point mobile en mouvement quelconque observ´ees par ces deux personnages.
2. Ecrire la transformation des coordonn´ees sous forme vectorielle.
3. Ecrire la transformation des vitesses sous forme vectorielle.
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Propri´et´es intrins`eques de l’espace-temps(1 point)On cherche un moyen de tester g´eom´etriquement (c’est-`a-dire sans faire appel `a un syst`eme de coordonn´ees) la propri´et´e d’invariance de dτ2 df= dt2−dx2. Sophie et Aristote sont inertiels depuis leur s´eparation en A. Sophie, en P, ´emet un signal radar que Aristote lui r´efl´echit de B et qu’elle re¸coit en C. Repr´esenter cette sayn`ete sur un diagramme d’espace-temps de votre choix, et montrer queτAB2 =τAPτAC, en termes des temps que Sophie et Aristote mesurent sur leurs horloges respectives pour les ´ev´enements qui jalonnent leurs propres vies.
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A propos de formalisme tensoriel(1,5 point)1. Donner au moins une propri´et´e caract´eristique de la matrice d’une transformation de Lorentz ? 2. Qu’appelle-t-on composantes contravariantes d’un quadri-vecteur ?
3. Soit le tenseurTαβ. Montrer que la quantit´eTααest un scalaire.
4. Donner au moins un exemple d’un tri-vecteur utilis´e en physique qui soit composante d’un quadri-vecteur.
5. Donner au moins un exemple d’un tri-vecteur utilis´e en physique qui ne soit pas composante d’un quadri-vecteur.
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L’Empire contre-attaque(1 point)Luke Skywalker file en ligne droite vers Vader avec une acc´el´eration propre constante qui lui permet d’´eviter celui-ci qui, pour sa part, flotte en apesanteur.
1. Repr´esenter cette histoire sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Vader.
2. Quelle est, sur ce graphe, la r´egion de l’espace-temps susceptible de recevoir de la lumi`ere ´emise par Vader ?
3. Quelle est la r´egion de l’espace-temps d’o`u peut ˆetre ´emise de la lumi`ere qui sera re¸cue par Skywalker ?
4. Quelle r´egion de l’espace-temps Skywalker a t-il la possibilit´e d’´etudier (provoquer un effet et le voir) ?
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Mouvement hyperbolique (1 point)1. Quelle est, dans un rep`ere inertiel, l’´equation de la ligne d’univers d’un mobile en mouvement rectiligne `a acc´el´eration propre constantea?
2. Quelle est l’´equation de la vitesse de ce mobile ?
3. D´eterminer la dur´eeτ qui s’est ´ecoul´ee sur l’horloge (parfaite) du mobile acc´el´er´e, en fonction de la dur´ee t ´ecoul´ee pour une observatrice inertielle, depuis le moment o`u mobile et observatrice avaient une vitesse relative nulle.
4. En d´eduire l’´equation de la rapidit´e du mobile pour cette observatrice, en fonction deτ.
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“Cin´ematique” relativiste(1,5 point)1. Quelle est la d´efinition de la quadri-vitesse d’une particule ?
2. Quelles sont les expressions des composantes contravariantes de la quadri-vitesse d’une particule de vitesseu?. . . des composantes covariantes ?
3. Quelle est la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule de massem? 4. Quelles relations y a-t-il entre impulsion pet ´energieed’une particule ? 5. Applications :
i) Quelle est la signification du produit scalaire U·V des quadri-vitesses de deux particules libres ? ii) Soit une particule de quadri-impulsionp, et une physicienne de quadri-vitesseV. Quelle est, pour cette physicienne, la signification du produit scalaireV ·p?
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A propos de transformations d’espace-temps (1,5 point) Les transformations de coordonn´ees d’espace et de temps de la classe½x0=x−vt t0=t−vx , d´ependant du param`etrev,
1. satisfont-elles le principe d’homog´en´eit´e de l’espace-temps ? 2. satisfont-elles le principe d’isotropie de l’espace ?
3. constituent-elles un groupe ?
4. satisfont-elles le principe de causalit´e ?
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D´ecomposition d’une transformation de Lorentz quelconque (6,5 point)On se propose de d´emontrer une propri´et´e qui — quoique fr´equemment invoqu´ee — l’est rarement,
`
a savoir que toute transformation de Lorentz, homog`ene, propre, orthochrone, peut ˆetre consid´er´ee comme produit d’une transformation sp´eciale de Lorentz et d’une rotation.
Soit une transformation de Lorentz homog`ene, etc., de matrice Λµν. 1. Montrer que (Λ00)2−P
i(Λi0)2= (Λ00)2−P
i(Λ0i)2= 1.
2. On d´efinit les trois quantit´esvi df
= Λ0i/Λ00. i) Montrer quev2≤1.
ii) En d´eduire que les vi peuvent ˆetre adopt´es comme valeurs des param`etres d’une transformation sp´eciale de Lorentz.
3. Soit un syst`eme de coordonn´eest0, x0, y0, z0 et un autre syst`eme de coordonn´ees,t, x, y, zqui se d´eplace `a une vitessevpar rapport `a celui-l`a.
i) Rappeler la forme vectorielle ½
t0=t0v(t,r) r0 =r0v(t,r) de la transformation de Lorentz entre ces syst`emes.
ii) En d´eduire que la matrice de cette transformation est de la forme :
¡Lµν(v)¢
=
µ L00 (L0j) (Li0) (Lij)
¶
=
γ (γvj)
³ γvi
´ ³
δij+γ−1v2 vivj
´
.
4. Calculer les coefficients γ et γvi de cette matrice en fonction des Λµν, lorsque v a la valeur d´efinie `a la question 2.
5. Soit la matrice Rdf= ΛL(−v).
i) Calculer R00.
ii) En d´eduire les valeurs des R0i et Ri0. (Un conseil : ne pas oublier que, de par sa d´efinition, la matriceRappartient au groupe des matrices Λ et satisfait donc les propri´et´es montr´ees `a la question 1.) iii) Quelle est la nature de la transformation correspondant `a R?
6. Quel est le r´esultat du produitRL(v) ?
7. On se propose de montrer que cette d´ecomposition d’une transformation de Lorentz, en transformation sp´eciale puis rotation pure, est unique. Imaginons deux rotations, R et R0, et deux transformations sp´eciales de Lorentz, L(v) etL(v0), telles que Λ =RL(v) =R0L(v0).
i) Montrer queR−1R0L(v0)L(−v) =I.
ii) Montrer que l’´el´ement00de cette relation matricielle fournit une condition liantv,γ,v0 etγ0. iii) Quelle condition doivent satisfaire vet v0 pour que celle-ci soit r´ealis´ee ?
iv) En d´eduire queL(v0) =L(v) etR0 =R.
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