Physique avancée I 14 octobre 2016 Prof. J.-Ph. Ansermet
S´ erie 7 - Syst` emes de coordonn´ ees
1. Coordonn´ees : param´etrisation
Ecrire en coordonn´ees cart´esiennes (x, y, z), cylindriques (ρ, φ, z) et sph´eriques (r, θ, φ) : a) L’´equation d’une sph`ere de rayon R centr´ee `a l’origine.
b) L’´equation d’un cylindre parall`ele `a l’axe z, de rayon R, de longueur L, dont l’axe passe par l’origine.
2. Syst`emes de coordonn´ees
On se donne un rep`ere cart´esien (O,ex,ey,ez) et les rep`eres polaire (O,er,eφ), cylindrique (O,eρ,eφ,ez) et sph´erique (O,er,eθ,eφ). Pour chacun de ces syst`emes, r´epondez aux questions suivantes (traitez un syst`eme de coordonn´ees apr`es l’autre pour ne pas vous emmˆeler).
Figure 1 – Coordonn´ees po-
laires Figure 2 – Coordonn´ees cy-
lindriques Figure 3 – Coordonn´ees
sph´eriques
a) Exprimer les coordonn´ees du point M, ainsi que le vecteur position OM dans chacun des rep`eres.
b) Rappel : en coordonn´ees cart´esiennes l’´el´ement de surface ´el´ementaire est dxdy, et l’air S d’un carr´e de cˆot´e a est donn´e par S =
a/2
R
−a/2 a/2
R
−a/2
dxdy. Donner de fa¸con analogue l’´el´ement de surface ´el´ementaire dans les diff´erents syst`emes de coordonn´ees ainsi que :
— la surface d’un disque de rayon R sous forme int´egrale (coord. polaires),
— le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h sous forme int´egrale (coord. cylin- driques),
— le volume d’une sph`ere de rayon R sous forme int´egrale (coord. sph´eriques).
c) Exprimer en coordonn´ees cart´esiennes les vecteurs de ces trois diff´erentes bases. Utiliser ces expressions pour calculer la d´eriv´ee de chaque vecteur, puis en effectuer la projection dans sa base propre.
d) Calculer la vitesse et l’acc´el´eration du pointM dans chaque syst`eme de coordonn´ees.
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