THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN,

Paris 7 QA 421-422

–

THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN, t₀= mercredi 11 septembre, 14 h

∆t= 4 heures

Il n’est pas inutile de lire l’´enonc´e ci-dessous : les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees en sorte de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :

• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont

´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le ^hhbon sensⁱⁱ, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.

• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.

• Lorsque vous ´enoncez un r´esultat par cœur, songez quand mˆeme `a en donner dans la mesure du possible quelque raison.

• Un raisonnement discursif, s’il est bri`evement et clairement exprim´e, peut ˆetre beaucoup plus attrayant qu’un calcul sec.

• Des blocages moraux quelque peu d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a ´eviter des sentiments dont j’ai honte !

• Ne vous affolez pas de la longueur excessive des probl`emes qui vous sont propos´es ; leur r´edacteur peut avoir eu une d´efaillance ! De toute fa¸con l’´enonc´e comporte toujours un minimum exigible (questions marqu´ees d’un ast´erisque), n´ecessaire et suffisant pour vous assurer la moyenne.

Bon courage. le G.O.

I

*1. Le rep`ere R’ (coordonn´ees t<sup>0</sup>, x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>, z<sup>0</sup>) se d´eplace en sens inverse de l’axe xˆ du rep`ere R (coordonn´ees t, x, y, z), avec une vitesse de module V. Les deux rep`eres sont par ailleurs choisis en configuration standard. Donner les expressions des coordonn´eest⁰, x⁰, y⁰, z⁰d’un ´ev´enement en fonction de ses coordonn´ees t, x, y, z, et en d´eduire le tableau des valeurs des coefficients de la matrice de la transformationx^0α= Λ^α_βx^β.

*2. Rappeler les expressions d´efinitoires de l’´energiep⁰et des composantesp^x, p^y, p^zde l’impulsion d’une particule de masse m, dont la ligne d’univers, param´etr´ee par son temps propre, a pour coordonn´ees t(τ), x(τ), y(τ), z(τ).

*3. En d´eduire les expressions dep⁰etpen fonction de la massemet de la vitessevde la particule.

*4. Rappeler les ´equations du mouvement d’une charge d’´epreuve q, masse m, impulsionp^α(τ), positionr^α(τ), dans un champ ´electromagn´etiqueF^αβ.

*5. Rappeler la d´efinition du tenseur du champ ´electromagn´etique en fonction du potentiel, et en d´eduire le tableau des valeurs de ses composantes F^αβ en fonctions des composantes Ex, Ey,. . ., Bz

des champs ´electrique et magn´etique.

6. En d´eduire les ´equations du mouvement de la charge sous forme d’expressions de dp⁰/dτ et dp/dτ en fonctions deq,E,B,p⁰/metp/m.

*7. Calculer les expressions des composantesE⁰_x, E⁰_y,. . ., B_z⁰ des champs ´electrique et magn´etique en un ´ev´enement, dans R’, en fonctions des composantes E_x, E_y,. . ., B_z des champs dans R au mˆeme

´ev´enement.

8. Donner des arguments th´eoriques et empiriques motivant les d´efinitions adopt´ees dans la question 2.

II

Ce probl`eme a pour objet l’´etude relativiste (comment pourrait-il en ˆetre autrement ?) einsteinienne (cela devrait aller sans dire) du mouvement d’une particule de massem, chargeq, dans des^hhchamps crois´esⁱⁱ.

1. L’environnement de Thelma, inertielle, consiste en un champ magn´etique uniforme et constant d’intensit´e B. Pas maso, elle choisit son axeˆzselon ce champ. Etablir les ´equations du mouvement des grandeursp^x(τ), p^y(τ), p^z(τ) de la susdite particule, en fonction du temps propreτde la particule, sous forme d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles du premier ordre coupl´ees.

2. En d´eduire les expressions dep^x(τ),p^y(τ) etp^z(τ) pour une particule dont la vitesse vaut−Vˆx, avecV >0, `a l’instant initialτ= 0. (Il est strictement autoris´e de poserω^df=qB/m.)

3. En d´eduire la trajectoire x(τ), y(τ), z(τ) de ladite particule dont l’´ev´enement τ = 0 est pris pour origine des coordonn´ees utilis´ees par Thelma. Repr´esenter l’allure de cette trajectoire dans le plan (ˆx,ˆy) pour une particule de charge q >0.

4. Que peut dire Thelma. . . – de l’´energie p⁰(τ) de la particule ? – du facteur γ=^df¡

1−v²(τ)¢−1/2

correspondant ?

– du rapport des intervalles de temps propredτ et de temps dtde Thelma entre deux ´ev´enements de la vie de la particule voisins ?

En d´eduire la valeur de la coordonn´ee t(τ) affect´ee par Thelma `a un ´ev´enement τ de la particule moyennant le choix d’originet(τ = 0) = 0.

5. Louise, toute aussi inertielle et qui utilise les coordonn´ees t⁰, x⁰, y⁰, z⁰, observe pour sa part la mˆeme particule immobile en l’´ev´enement baptis´e^hhinitialⁱⁱ d’un commun accord avec Thelma. En d´eduire, par transformation de Lorentz, la trajectoire x⁰(τ), y⁰(τ), z⁰(τ) de la particule observ´ee par Louise.

6. D´eterminer les composantes des champs ´electriqueE⁰ etB⁰ observ´es par Louise. V´erifiez votre r´esultat `a l’aide des invariants du champ ´electromagn´etique.

7. En d´eduire la trajectoire x⁰(τ), y⁰(τ), z⁰(τ) de la particule pour Louise, en fonction des intensit´es E⁰ et B⁰ des champs qu’elle observe. Repr´esenter l’allure de cette trajectoire dans le plan (ˆx⁰,yˆ⁰), en n’omettant pas d’indiquer la disposition des champsE⁰ et B⁰.

*III

Une charge ponctuelle d´ecrit une trajectoire rectiligne `a la vitesse v = 2/3, puis elle est r´efl´echie,

´elastiquement et quasi instantan´ement, sur une cible massive et repart en sens oppos´e avec la mˆeme (en module) vitesse.

Repr´esentez graphiquement la situation une seconde apr`es la r´eflexion, `a savoir :

– la r´egion de l’espace o`u est susceptible d’exister une contribution du type rayonnement ; – l’allure des lignes du champ ´electrique ;

– l’allure du champ magn´etique (au besoin sur un autre graphe, pour ne pas surcharger le premier).

2

IV

*1. Rappeler l’expression du champ ´electriquerayonn´e par une charge ponctuelle `a basse vitesse, en pr´ecisant la signification des diff´erents symboles, les conditions de validit´e de la formule, et ses propri´et´es qualitatives.

L’espace est rapport´e `a un tri`edre orthonorm´eˆx,ˆy,ˆz. Un ´electron (charge q =−|e|, masse m) d’un atome plac´e `a l’origine est repr´esent´e par le mod`ele classique de Thomson, `a savoir : (i) pour rendre compte de la liaison, une force de rappel vers l’origine, du type oscillateur de pulsation ω<sub>0</sub>; (ii) pour prendre en compte la puissance rayonn´ee spontan´ement par l’´electron, une force d’amortissement oppos´ee `a la vitesse de l’´electron et proportionnelle `a celle-ci, avec un facteur de proportionnalit´e (positif) not´e Γmω₀.

2. Une onde ´electromagn´etique plane, de pulsation ω, se propageant selonˆz, polaris´ee selon ˆx, dont le champ ´electrique a une amplitude E0, baigne l’atome. Ecrire les ´equations du mouvement de chacune des coordonn´ees de l’´electron soumis `a cette onde, dans la mesure o`u la force magn´etique est n´egligeable (quelles conditions cette hypoth`ese implique t-elle ?).

3. En d´eduire l’amplitude x0 d’oscillation de la coordonn´eex(t) enr´egime permanent.

4. Calculer le vecteur de Poynting S_ray du rayonnement de l’´electron, en R faisant un angle θ avec l’axe ˆx.

5. En d´eduire la puissance instantan´eed²Pray rayonn´ee par l’´electron `a travers l’angle solided²Rˆ dans la directionR.ˆ

6. En d´eduire la puissance moyenne (temporelle)d²Pray correspondante.

7. Calculer le vecteur de Poynting de l’onde incidente, et en d´eduire la puissance moyenne P/S qu’elle v´ehicule par unit´e de surface.

8. En d´eduire l’expression de la quantit´e

d²σ^df= d²Pray

P/S ,

en fonction de r_e^df= ^e2_m^/4π. V´erifier les dimensions de l’expression obtenue.

9. Tracer l’allure ded²σ/d²Rˆ en fonction deω et commenter les caract´eristiques qualitatives de cette courbe.

10. Pourquoi n’envisage t-on pas ici le rayonnement du noyau de l’atome ?

3