Paris 7 QA 421-422
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THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN, t0= vendredi 31 mai
∆t= 4 heures
Vous avez tout int´erˆet `a commencer par r´esoudre les trois premiers exercices, minimum requis garantissant la moyenne. Suit un probl`eme dans les m´eandres duquel chacun(e) pourra errer `a son goˆut. Les brefs commentaires explicatifs destin´es `a montrer votre compr´ehension et `a aider celle du correcteur seront aussi appr´eci´es que l’absence de logorrh´ee. A vous d’exercer votre jugement de
maˆıtre(sse) en physique. le G.O.
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Transformation de Lorentz et particule de masse nulle(4 points)Soit une particule d’´energie e et impulsion p — comme toute particule digne de ce nom —, et de masse nulle.
1. Quelle relation y a t-il entre l’´energieeet le modulepde l’impulsion de cette particule ? 2. En d´eduire la vitesse de cette particule.
Jules, pour qui la particule a les caract´eristiquese,p, voit Jim se d´eplacer `a vitesse constanteV. Jules rep`ere les ´ev´enements par des coordonn´eest, x, y, z, en ayant choisi son axeˆxselon V. Jim, quant `a lui, use des coordonn´eest0, x0, y0, z0 et choisit son axexˆ0 oppos´e `a la vitesse de Jules.
3. Quelles sont les expressions de l’´energie eet des composantespx, py, pz observ´ees par Jules en fonction des e0, p0x, p0y, p0z de Jim ?
Jules adopte un axe ˆytel quepsoit dans le plan (ˆx,ˆy) et rep`ere l’impulsion de la particule par son angleθ. Jim en fait autant dans son rep`ere.
4. D´eduire des relations pr´ec´edentes les expressions depet de cosθen fonctions dep0, cosθ0 etV.
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Transformation de Lorentz et champ ´electromagn´etique(4 points) Les mˆemes Jules et Jim observent maintenant un champ ´electromagn´etique.1. Quelle est l’expression de la matrice Λµν de la transformation x0µ= Λµνxν entre coordonn´ees utilis´ees respectivement par Jules et Jim ?
2. Calculer le tableau des composantes (Fµν) du tenseur du champ ´electromagn´etique en fonction des composantes E1, E2. . .B3 des champs ´electrique et magn´etique.
3. En d´eduire les expressions des composantesE10, E02, E30 du champ ´electrique observ´ees par Jim en un ´ev´enement auquel Jules attribue les composantes de champE1, E2,. . .B3.
4. En d´eduire les expressions des composantes B10, B20, B30 du champ magn´etique observ´ees par Jim en ce mˆeme ´ev´enement.
5. En d´eduire des expressions vectorielles pour les lois de transformation des champs ´electrique et magn´etique. Commenter.
Dans une certaine r´egion vide, Jules observe un champ ´electromagn´etique du type “onde plane” dont le champ ´electrique a pour expression
E(t, x, y, z) =ˆzE ei(ωt−k·r),
avec
k=k (cosθ
sinθ 0
, k=df|k|, r= (x
y z .
6. Quelle conditionk doit-il n´ecessairement satisfaire ?
7. Quelles sont les expressions des composantes du champ magn´etique B(t, x, y, z) ?
8. Calculer les valeurs des composantes Ex0, Ey0, Ez0 en un ´ev´enement, pour Jim, en fonctions des valeurs de Ex, Ey. . .Bz, au mˆeme ´ev´enement, pour Jules.
9. En d´eduire les expressionsEx0(t0, x0, y0, z0),Ey0(t0, x0, y0, z0),Ez0(t0, x0, y0, z0) des composantes du champ ´electrique en tout ´ev´enement de la r´egion, pour Jim.
10. V´erifier que ce champ ´electrique E0(t0, x0, y0, z0) est encore du type onde plane, avec des caract´eristiquesE0,ω0,k0, cosθ0 que vous d´eterminerez en fonction deE,ω, cosθ etV.
11. D´eterminer, au moyen des invariants du champ ´electromagn´etique, les caract´eristiques du champ magn´etiqueB0 observ´e par Jim.
12. Comparer les propri´et´es de transformation de la pulsation et de la direction de propagation d’une onde ´electromagn´etique monochromatique plane avec les propri´et´es de transformation de l’´energie et de la direction d’une particule de masse nulle (exercice 1).
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Champ cr´e´e par une charge ponctuelle(4 points) Une charge ´electrique qui se d´eplace en ligne droite voit sa vitesse qui ´etait constante passer brusquement de la valeurv= 3/4 `a la valeur dor´enavant constantev= 1/2.Ce changement de vitesse est pris comme origine de l’espace et du temps.
1. Repr´esenter, sur des petits dessins, les r´egions de l’espace dans lesquelles on peut trouver du champ ´electromagn´etique du type rayonnement `at=−1 m, `at= 0 m, `at= 1 m, `a t= 2 m.
2. A t= 2 m, repr´esenter l’allure du champ ´electrique en A(x=y = 1 m, z= 0), en O(x=y = z= 0), en C(x= 1 m, y= 2 m, z= 0). Quelle est l’allure du champ magn´etique en ces mˆemes points, au mˆeme instant ? Que pouvez-vous dire des intensit´es du champ ´electrique en A et en O ?
3. Repr´esenter l’allure des lignes du champ ´electrique dans le plan z= 0, `at= 2 m.
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Sur fond de rayonnement cosmique (≥8 points)1. Jules et Jim observent la mˆeme particule de masse nulle. Rappeler les expressions de p/p0 et cosθ en fonction deV et cosθ0.
Jules est dans une caisse fixe, de volume V, contenant un certain nombre de particules, identiques, de masse nulle, dont les impulsions sont distribu´ees selon la loi d3N =F(p)d3p, dictant le nombre de particules dont l’impulsion appartient au pav´e (p, d3p). Pour Jim, ces mˆemesd3N particules ont leurs impulsions dans un pav´e (p0, d3p0) et se distribuent selon la loid3N =F0(p0)d3p0.
2. D´eterminer par la m´ethode qui vous plaira (jacobien, ou d3p = p2dp d(−cosθ)dϕ) le rapport d3p/d3p0 des volumes des pav´es.)
La distribution, observ´ee par Jules `a l’´equilibre thermodynamique `a la temp´erature T, est celle du corps noir,
F(p) = 1 4π3
V
¯ h3
1 ep/kT −1.
3. En d´eduire la distribution F0(p0) observ´ee par Jim en fonction deV,p0, cosθ0 et du volumeV0 qu’il attribue `a la caisse bien propre de Jules.
4. Montrer que le spectre des particules observ´ees par Jimsous un angleθ0donn´epr´esentel’aspect d’un spectre de corps noir `a une “temp´erature” T0(θ0) `a pr´eciser.
5. Le fond de rayonnement ´electromagn´etique cosmique observ´e depuis la Terre pr´esente effec- tivement, `a une bonne approximation, la forme d’un rayonnement de corps noir de temp´eratureT = 2,7 K. Toutefois, on observe une l´eg`ere anisotropie du rayonnement re¸cu, de type dipolaire, d’amplitude±3,5 mK du Verseau au Lion. En d´eduire la valeur de la vitesse (de la Terre ? du Soleil ? de la Voie Lact´ee ?) par rapport au cosmos.
On ´etudie maintenant le ralentissement d’un objet en mouvement par rapport au cosmos, sous l’effet du bombardement du fond de rayonnement ´electromagn´etique cosmique. On prend comme mod`ele pour cet objet une bouleabsorbante, de vitesseVxˆpar rapport `a Jules, de forme sph´erique avec un rayon R(dans son rep`ere propre).
6. Calculer le volumedV0 du domaine de l’espace dans lequel se trouvent les particules qui vont frapper la boule sous un angle θ0, durant le temps dt0, dans le rep`ere de la boule.
7. En d´eduire le nombre d4N de particules dont les impulsions appartiennent au pav´e (p0, d3p0) et qui sont absorb´ees par la boule durant dt0.
8. En d´eduire la valeur de la composanted4P0xde l’impulsion transf´er´ee `a la boule durantdt0 par absorption de particules d’impulsions appartenant `a (p0, d3p0).
9. Calculer la composanted3P0xde l’impulsion transf´er´ee `a la boule durantdt0 par absorption de particules d’impulsions appartenant `a l’angle solide (ˆp0, d2ˆp0).
10. Calculer la composantedP0x de l’impulsion totale transf´er´ee `a la boule durantdt0. 11. Quelles sont les valeurs des composantesdP0y etdP0z de cette impulsion ?
Il faut maintenant ´etablir l’´equation du mouvement de la boule. On compl`ete le mod`ele en assignant
`
a celle-ci un rayonR et une massemconstants.
12. Pour les scrupuleuses : peut-on imaginer un m´ecanisme permettant `a ce mod`ele d’ˆetre compatible avec les grands principes de conservation ?
13. Dans un rep`ere inertiel o`u la boule est initialement au repos, calculer la vitesse dvacquise par la boule apr`es un tempsdt0, suite `a l’absorption d’impulsiondP0.
14. En d´eduire, par “composition des vitesses”, la vitesse V +dV acquise par la boule dans le rep`ere inertiel o`u sa vitesse ´etait initialement V.
15. En d´eduire l’´equation diff´erentielle de la vitesseV(t) de la boule par rapport au rep`ere propre du rayonnement de corps noir `a temp´erature T.
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Reste enfin `a int´egrer cette ´equation du mouvement. On suppose pour cela que la temp´erature du rayonnement de corps noir reste `a peu pr`es constante au cours de la dur´ee caract´eristique de l’´evolution de la vitesseV(t) de la boule.
16. CalculerV(t). (Il est rigoureusement autoris´e de poser
Adf= 20 π2
¯ h3 (kT)4ρR, o`uρest la masse volumique (uniforme) de la boule, et
Bdf= V0
1 +p 1−V02, o`uV0 est la vitesse initiale de la boule :V0df
=V(t= 0).)
17. Repr´esenter l’allure de l’´evolution de la vitesse sous la formeV(t)/V0en fonction de t/Apour quelques valeurs caract´eristiques de la vitesse initiale V0.
18. Calculer la valeur de la constanteAdans le cas : (i) du Soleil dans les conditions actuelles,
(ii) d’une m´et´eorite millim´etrique dans un rayonnement `a 103K, (iii) d’un grain de poussi`ere microm´etrique dans les mˆemes conditions.
Quelques informations disponibles dans le commerce : Z ∞
0
dx x3
ex−1 = π4 15,
Z dx x√
1−x2 = ln x 1 +√
1−x2 Constante de Stefan-Boltzmann σ=π2k4/60¯h3= 5,7×10−8W m−2K−4 Rayon du SoleilR¯= 6×108m
Mati`ere solaireρ¯= 1,4×103kg m−3
T. Greber andH. Blatter,Aberration and Doppler shift : The cosmic background radiation and its rest frame, Am. J. Phys.58() 942.
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