CHAMPS CLASSIQUES

(1)

Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 3

1

Produit de transformations sp´eciales de Lorentz orthochrones

Rappeler, ou retrouver, la transformation spéciale de Lorentz donnant les coordonnées t⁰, x⁰, y⁰, z⁰ (ou t⁰,~r⁰ en abrégé) d’un événement dans un repère ayant la vitesse~v par rapport à un repère dans lequel les coordonnées de cet événement sontt, x, y, z (out,~r).

1. On ´ecrit cette transformation sous la forme x⁰^µ = L^µ_νx^ν. D´eterminer les expressions des

´

el´ements L⁰₀, Lⁱ₀, L⁰_j et Lⁱ_j de sa matrice, en fonctions des composantes v_i de la vitesse ~v, deγ^df= (1−~v²)⁻^1/2 et des symboles de Kroneckerδ_ij.

2. On effectue deux transformations successives de ce type, de paramètres ~v et ~v⁰. Calculer l’élément Λ⁰⁰⁰0 de la matrice de la transformation résultante, et montrer qu’il est positif.

3. Quelle est la forme d’une matrice R^µν représentant une rotation spatiale ? En déduire que la propriété DetΛ = 1, Λ⁰0≥1, se conserve dans tous les produits de matrices représentant des rotations ou des transformations spéciales de Lorentz.

2

L’inversion facile

A toute transformation de Lorentz homog`ene, propre, orthochrone, de matrice (Λ^αβ)∈ L⁺↑, on associe la matriceM^αβ d´efinie par :M⁰0

= Λdf ⁰0,M⁰i

df=−Λⁱ0, Mⁱ0

df=−Λ⁰i,Mⁱj df= Λ^ji. 1. Calculer chacun des ´el´ementsM^α_βΛ^β_γ.

2. Quelle est la signification de la matriceM^αβ? 3. Les matricesM^αβ sont-elles membres du clubL⁺↑?

3

^Décomposition d’une transformation de Lorentz en transformation spéciale et rotation On se propose de démontrer une propriété qui — quoique fréquemment invoquée — l’est rarement,

`

a savoir que toute transformation de Lorentz, homogène, propre, orthochrone, peut être considérée comme produit d’une transformation spéciale de Lorentz et d’une rotation.

Soit une transformation de Lorentz homog`ene,etc., de matrice Λ^µν. 1. Montrer que (Λ⁰0)²−P

i(Λⁱ0)² = (Λ⁰0)²−P

i(Λ⁰i)² = 1. (Un conseil : se souvenir que la matrice inverse fait aussi partie de la famille Lorentz.)

2. On d´efinit les trois quantit´esβ_i^df= Λ⁰_i/Λ⁰₀. i) Montrer queβ~²≤1.

ii) En déduire que lesβi peuvent éventuellement être adoptés comme valeurs des paramètres d’une transformation spéciale de Lorentz.

3. Soit un système de coordonnées (t⁰, x⁰, y⁰, z⁰) qui se déplace à une vitesse ~v constante par rapport à un autre système de coordonnées, (t, x, y, z). Les axes d’espace sont choisis en sorte que ces coordonnées se correspondent par une transformation spéciale de Lorentz.

i) Rappeler la forme vectorielle

½t=t(t⁰,~r⁰;~v)

~r=~r(t⁰,~r⁰;~v) de la transformation sp´eciale de Lorentz entre ces syst`emes.

ii) En d´eduire les expressions des coefficients L⁰0(~v) et L⁰i(~v) de la matrice de la transformation x^µ=L^µν(~v)x⁰^ν.

4. Dans le cas~v=−β~, calculer les coefficientsL⁰0(−β~) etL⁰i(−β~) en fonctions des Λ^µν. 5. Soit la matrice R^df= ΛL(−β~).

i) CalculerR⁰0.

(2)

2 Champs classiques, PH042 Paris 7

ii) En déduire les valeurs des R⁰i et Rⁱ0. (Un conseil : ne pas oublier que, de par sa définition, la matrice R appartient au groupe des matrices Λ, et satisfait donc les propriétés montrées à la question 1.)

iii) Quelle est la nature de la transformation correspondant `aR? 6. Quel est le r´esultat du produitRL(β~) ?

7. On se propose de montrer que cette décomposition d’une transformation de Lorentz, en transformation spéciale puis rotation pure, est unique. Imaginons deux rotations,R et R⁰, et deux transformations spéciales de Lorentz,L(β~) etL(β~⁰), telles que Λ =RL(β~) =R⁰L(β~⁰).

i) Montrer queR⁻¹R⁰L(β~⁰)L(−β~) =I.

ii) Montrer que l’´el´ement⁰0de cette relation matricielle fournit une condition liant ~β,γ, ~β⁰ etγ⁰. iii) Quelle condition doivent alors satisfaireβ~ etβ~⁰?

iv) En d´eduire queL(β~⁰) =L(β~) etR⁰=R.

(3)

(4)

(5)

(6)