Généralisation de la transformation de Lorentz

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Généralisation de la transformation de Lorentz

Jean-Louis Destouches

To cite this version:

GÉNÉRALISATION

DE LA TRANSFORMATION DE LORENTZ

Par M. JEAN-LOUIS DESTOUCHES. Institut Henri-Poincaré. Paris.

Sommaire. 2014 Ce travail a _pour but d’établir, pour le cas d’un corpuscule unique et le cas d’un

sys-tème de corpuscules indépendants, la compatibilité des différents postulats introduits dans un article précédent.

Ceci conduit alors à définir un _{groupe de transformations dans} l’espace de configuration-temps qui généralise le groupe de Lorentz. Le caractère remarquable de ces transformations est qu’elles contiennent des _opérateurs, ce _qui semble _permettre de comprendre la raison des difficultés à constituer

une mécanique relativiste des _systèmes sous la forme ancienne _{(mécanique ponctuelle).} Enfin sont énoncées certaines _propriétés de ces transformations.

1.

_{Principes généraux}

de la

_mécanique

des

systèmes. -

Dans trois articles

_précédents

nous avons

été conduit à admettre un certain ensemble de

_concepts

et de

_postulats

_{pour la}

_mécanique

des

_systèmes.

Ils se

divisent en _{deux groupes : d’une}

_part,

ceux liés à la théorie

_générale

de l’évolution et

_qui

ne concernent

qu’un

observateur : d’autre

_part,

ceux

_qui

sont liés à la relativité et

_qui

mettent en

_rapport

les différents obser-vateurs étudiant un

_système

déterminé.

Ces

_postulats

_{du second groupe}

_peuvent

être

inter-prétés

de deux

façons

du fait que la liaison entre les observateurs

_(qui

obéissent aux lois de la

_physique

macroscopique)

peut

être

_envisagée

selon la théorie

classique

ou selon la théorie relativiste.

Le

_point

de vue

_classique

ne fournit rien de nouveau, la

_mécanique

ondulatoire non relativiste étant

_déjà

construite. Il n’en est pas de même si l’on admet que les

_signaux

_échangés

entre observateurs en mouvement

rectiligne

et uniforme s’effectuent suivant les lois de la relativité restreinte

_puisqu’une

_mécanique

ondulatoire relativiste des

_systèmes

n’a pu encore être édifiée. Aux

postulats

des deux groupes

précédents qui

ne

concer-nent _{que l’évolution d’un}

_système

il conviendra

d’ajouter

un troisième groupe de

_{postulats qui précisera}

la manière dont les éléments

_figurant

les

_prévisions

sont liés aux valeurs

_possibles

des

_grandeurs

et à la

proba-bilité de ces _{valeurs. Nous voulons démontrer ici que}

les

_postulats

de ces _{trois groupes} sont

_{indépendants,}

(c’est-à-dire

qu’aucun d’euxn’estconséquence

des

_autres)

et sont

_compatibles

entre eux

_{(c’est-à-dire}

_{que leur}

produit

logique

n’entraîne pas de

propositions

contra-dictoires).

Les

_{développements}

de nos

_premiers

articles suffisent à établir

_{l’indépendance}

et la

compatibilité

des

postulats

de la théorie

_générale

de l’évolution. Ils se résument pour un

_système

de

_corpuscules

en interaction en ce

qu’il

existe des éléments

_figurant

les

_prévisions

et _que ces éléments X satisfont à une

_équation

de la forme :

L’opérateur Je

étant de la forme :

Chaque opérateur

Jéfi

étant lié au ième

_corpuscule

du

!

système

et se déduisant de

_{l’opérateur}

_Cei

caractérisant l’évolution du ième

_{corpuscule lorsqu’il}

est seul.

Les

_postulats

du second groupe sont au nombre de

trois : Le

_postulat

de relativité

_qui

_{fixe que} l’évolution

d’un

_{système apparaît}

la _{même pour tout observateur}

en mouvement

_rectiligne

_{uniforme par}

_rapport

au

repère

sidéral : _{le second que deux observateurs} en

mouvement

_rectiligne

_{uniforme l’un par}

_rapport

à l’autre

_peuvent

échanger

des

_signaux

suivant les lois de la théorie de la _{relativité restreinte pour} se

commu-niquer

leurs résultats

_{d’expérience,}

cela de telle manière que si le résultat d’une mesure est

_figuré

_pour le

_premier

_{observateur par l’élément}

Xo,

il existe un

élément

X’o

figurant

l’état pour le second à

partir

de cette mesure. Comme

_X(t)

est _{déterminé par}

_Xo

_{et X’(t’)}

par

X’o

0 au moyen de

correspondances univoques,

comme

_X’o

est lié à

_Xo

ce _{que l’on}

_peut

écrire :

il s’en suit

_qu’il

existe une transformation

S

telle que

Le troisième

_principe

est le

_principe

de

_symétrie

relativiste

qui

fixe la forme de

_{l’opérateur Je}

_pour un

corpuscule

isolé

146

Les

_opérateurs

a/i

1

a’.>

a’3

3 et b’ étant des

opérateurs

indépendants de

- "

Le

_principe

de relativité

_établit,

en somme, que la forme de

_{l’équation}

d’évolution est la même _{pour deux} obser-vateurs en mouvement

_rectiligne

uniforme. Il estévidem-ment

_indépendant

des

_principes

de la théorie

_générale

de

l’évolution,

mais il nous faut démontrer

_qu’il

est

compatible

avec eux.

Le

_postulat

des

_échanges

de

_signaux

entre observa-teurs est

_indépendant

du

_postulat

de relativité et des

postulats

de la théorie

_générale

de

l’évolution,

mais rien ne _{prouve à}

_{priori qu’il}

soit

_compatible

avec les

postulats

dont nons venons de

_parler.

Ce sera le but fondamental de ce travail d’établir cette

compatibi-lité. Elle se _{tradnira par des conditions} sur

_{l’opérateur}

ce

auxquelles

on _{pourra satisfaire.}

Quant

au

_principe

de

_symétrie

relativiste,

rien ne

prouve à

priori qu’il

soit

indépendant

et

compatible

avec

les autres

_postulats

des deux

_premiers

_{groupes. Nous} allons en établir ici la

_{compatibilité}

et laisserons

l’in-dépendance qui

est moins

_importante,

pour un

travail

ultérieur.

Enfin les

_postulats

du _{troisième groupe sont}

évidem-ment

indépendants

de ceux des deux

_premiers

_groupes.

Nous montrerons

_qu’ils

sont aussi

_compatibles

avec eux. Ainsi ce travail a _pour

_objet

d’établir la

compati-bilité des

_postulats

de la

_mécanique

ondulatoire relati-viste pour certains

systèmes,

c’est-à-dire en somme d’en démontrer l’existence et d’en construire les bases. C’est

ce _que nous nous étions

_proposé

en

_entreprenant

cette étude. Nous

_approchons

donc du

_but,

mais nous ne

l’avons pas encore

_pleinement

atteint.

2.

_{Compatibilité}

des

_postulats

_pour un

corpus-cule

unique. -

Considérons deux observateurs en

mouvement

_rectiligne

_{uniforme l’un par}

_rapport

à l’autre. A un

_point

de coordonnées x2, x3, et de

l’espace-temps

pour

le premier

observateur,

correspond,

pour le

second,

un

_point

de coordonnées

_{x’1, x’2,}

~’3, ct’,

qui

sont _{liés par} une transformation de Lorentz. On

peut toujours décomposer

une telle transformation en un

_produit

de rotations

d’espace

_par une transforma-tion

_simple

de Lorentz. D’autre

part,

ces

transforma-tions forment un _{groupe continu pour}

lequel

il suffit de se borner aux transformations infinitésimales.

Soit ~~ l’élément caractérisant les

_prévisions

et ao un

certain

_opérateur

_indépendant

de

Nous poserons

C’est à

_{l’équation}

en

_If

et non celle en

_Xque

nous devons

assurer l’invariance de forme. Cet

_opérateur

_ao

_jouera

en effet dans la suite un rôle essentiel. Il

_n’y

a d’ailleurs de raison de le _{faire intervenir dès le début que pour}

englober

le cas _{où ao n’a pas}

_d’inverse,

cas

_qui

se

présente

pour un

_corpuscule

_{défini par Gérard Petiau}

dans sa thése. En

_posant

on a comme

_équation

d’évolution du

_système

D’après

le

_principe

de

_symétrie

relativiste on a :

Examinons les conditions pour

qu’il

y ait invariance dans une rotation d’axes. Soit une rotation définie

par

Nous pouvons nous borner à une rotation

infinitési-male

_qui,

aux termes du second ordre

_près,

est définie par :

A cette transformation est associée en vertu du

prin-cipe

des

_signaux

une transformation sur soit

S :

La transformation de

_{l’équation}

d’évolution est alors :

Comme la forme de

_{l’équation}

d’évolution doit être

invariante dans une

rotation,

en

_{remplaçant ’f’}

_par

_S~

et en effectuant encore une certaine transformation S+

sur les deux membres de

_{l’équation}

on doit retrouver la forme

_primitive,

d’où les relations :

j.

La dernière

_équivaut

à

D’autre

_part,

les transformations S+ et S sont des fonctions de la rotation c’est-à dire des fonctions des

_0~.,

qui

se réduisent à la transformation unité

lorsque

tous _{les ~~,, sont nuls. Les transformations} S

et S+ sont corrélatives de la rotation

d’axes,

par

diffé-rentiables des

_0,~.,,

d’où aux termes du second ordre

près

Pour

_simplifier

l’écriture,

nous mettrons tous les indices en bas sans nous

_préoccuper

des

_types

de variances

qu’on

rétablirait facilement : les indices _~.v, des lettres T devraient être

_placés

en haut. En

rempla-çant

les valeurs S+ et S dans les relations

_qui

pré-cèdent on obtient :

f~n

_peut

transformer cette dernière relation car

Ces relations doivent avoir lieu

_quelle

_que soit t la

valeur _{de ~~.,, d’où les relations :}

Les

_opérateurs

ao, a,, a2, a3, b doivent être tels

qu’il

existe des

_opérateurs

_T,~,,

et

_T)

satisfaisant aux

équations précédentes .

Examinons maintenant

_quelle

sont les conditions pour

qu’il

y ait invariance dans une transformation

simple

de Lorentz.

Considérons donc une transformation

_simple

de Lorentz infinitésimale liant les deux observateurs.

~

et

_ç’

doivent être considérés comme des fonctions

des coordonnées

d’espace-temps.

De cette transforma-tion résulte que

l’équation

d’évolution _pour

l’observa-teur lié au

_{système primé s’exprime}

avec les variables de l’autre par :

En vertu des relations

En

_remplaçant

_par

_{S If}

dans

_{l’équation précédente}

et en faisant subir aux deux membres une transforma-tion S+ on doit retomber, en vertu du

_postulat

de

rela-tivité,

sur

_{l’équation}

de l’autre

_système.

Les transfor-mations S et S+ sont des fonctions de la transforma-tion de

Lorentz,

c’est-à-dire des fonctions de F-

_qui

se

réduisent à la transformation unité pour c = 0. Les

tranformations S et S+ sont corrélatives de la trans-formation de

_Lorentz,

_par

_conséquent

doivent être des fonctions continues et différentiables de c

et, comme

nous

_négligeons

les termes de l’ordre de

_~‘-’,

nous pou-vons

_représenter

les transformations S et S+ à des termes en F2

_près

_par

En

identifiant,

d’une

_part,

les termes

en

_de

l’équa-d ct

tion

_précédente

_et,

d’autre

_part,

les termes restant

nous obtenons les relations :

Pour que les conditions d’invariance de forme de

l’équation

d’évolution soient

satisfaites,

il faut

_qu’outre

les conditions

_{déjà énoncées,}

les

_opérateurs

ao, ai , a.~, a3, b soient tels

_qu’il

existe des

_opérateurs

_TA

et

_T’

satisfaisant aux conditions

_{précédentes.}

Il

_n’y

a _pas

d’autres conditions à

_remplir

_pour assurer l’invariance de

_{l’équation}

_{d’évolution. Or il suffit d’établir que cette} invariance a lieu pour que la

_{compatibilité}

des

postu-lats soit démontrée. Si donc on connaît au moins un

système

de

_solutions,

la

_{compatibilité}

des

_postulats

des deux

_premiers

_{groupes pour le} cas _d’un

corpus-cule

_unique

se trouve _{par là même établie. Or il} est facile de construire un

_exemple.

En

effet,

si l’on pose :

ou _{si l’on pose :}

les ai

étant les

_opérateurs

de Dirac on trouve de suite

(signe

+

dans le 1er cas,

signe

-- dans le

2e).

Comme dans ce cas on sait construire

_{complètement}

la

_mécanique

d’un

_corpuscule,

il y a aussi

compati-bilité pour les

postulats

du _{troisième groupe.}

Donc dans le cas d’un

_corpuscule

_unique

les

148

auxquelles

doivent les

_cinq

ao, a,, a2, a3, 3,4,

b,

d’un

_corpuscule,

le cas de Dirac

étant un cas

_{pnrticulier°.}

3.

_{Compatibilité}

des

_postulats

_pour un sys-térne de

corpuscules

indépendants. -

Des

cor-puscules indépendants

peuvent

être considérés comme

constituant un

_système

dont

_{l’équation}

d’évolution sera en vertu d’un théorème de la théorie de

l’évolu-tion :

et le

_produit

des

_{Y- -}

d’où

En

_{posant :}

lA/1 1.1 - //1

ona:

Comme dans le cas

_précédent,

la

_{compatibilité}

des

postulats

sera démontrée si

_{l’équation}

d’évolution demeure invariante.

_D’après

le

_principe

de

_symétrie

relativiste et _{le théorème que} nous venons

d’utiliser,

nous aurons comme

_équation

d’évolution :

Désignons

par S

la transformation corrélative de la

rotation d’axes introduite en vertu du

_principe

des

signaux.

Par le _{même raisonnement que celui que} nous

avons

_développé

dans le cas d’un

_corpuscule

unique

on arrive aux relations

On voit

_qu’elles

seront satisfaites en

_posant,

si l’on a _{pour tout i} et

_{tout j}

avec i

_{# j}

les relations :

Le

_signe

0

signifiant

qu’on

a déduit ces

_opérateurs

de ceux obtenus dans le cas d’un

_corpuscule

_unique

_par

l’opération habituelle,

les

a8

à

_partir

des a, les

T8

à

partir

des T. Si ces dernières relations sont satisfaites

on vérifie de suite que les

_équations

en T et

T+

donnent

des relations entre et les

T(i)8

_qui

sont les mêmes que celles entre les et les

T~~~

d’un

_{corpuscule unique}

(i).

Les

T(i)8

se déduisent bien des

T(i)

par

l’opération

indiquée,

ce

_qui

revient à

_remplacer

dans

_{l’expression}

des

Tri)

les

a(i)

_{par les}

correspondants.

Mais alors les

TCi)8

ne

_dépendent

_{que des}

_opérateurs

attachés au

ième

_corpuscule.

Ils commutent avec ceux attachés aux

autres

_corpuscules.

Ceci résulte des

_propriétés

de

l’opé-ration 0

_qui

se ramène à un

_produit

cartésien entre

_’fh.

Tout

_opérateur

attaché à un

_corpuscule

_(i)

ne transforme que mais non

_{un ’f j’}

c’est-à-dire

_n’opère

_que sur

une

_{multiplicité}

de

_l’espace.

Il commute donc avec tout

opérateur

attaché à un autre

_corpuscule

_{( j).}

Les der-nières

_équations

donnent :

Il faut donc pour que T et T+

s’expriment

au _moyen

d’une somme _que

T (i)

commute avec

b (i)

et

a(i)

pour

À# p,

v _{conditions que} nous _supposerons

_remplies.

Lorsque

les

a 0 (i)

admettent un inverse et un seul on

peut multiplier

par les

les

_équations

_{d’évolu tion,}

ce

_qui

revient à

_prendre

Ao

_égal

à

_{l’opérateur}

unité.

Dans ce cas les T+ sont bien

_égaux

à - T et les

der-nières

_équations

sont

_remplies

d’elles-mêmes.

Ainsi

_lorsqu’on

considère un

_système

_de

corpus-cules

_{indépendants,}

on trouve aisément des transfor-mations T et T+ à

_partir

de celles obtenues dans le

cas d’un

_corpuscule

_unique.

Il nous faut encore

_exprimer

les conditions à

rem-plir

pour

qu’il

y ait invariance pour des transforma-tions

_simples

de Lorentz entre les observateurs. Mais

une transformation de Lorentz ne

_{s’applique qu’à}

un

seul

_corpuscule.

Il faut donc commencer _par

générali-ser cette _{transformation pour le} cas d’uii

_système.

4. Généralisation de la transformation de Lorentz pour un

_{systérne. -}

Les transformations

de Lorentz ne

_{s’appliquent}

_qu’au

cas _{d’un seul}

corpus-cule,

mais nous allons

_pouvoir

les

_{généraliser}

_pour un

système

en nous servant du théorème

_déjà

utilisé

d’après

lequel

des

_corpuscules

_peuvent

être considé-rés comme formant un

_système

dont

_{l’opérateur}

âe est la somme des cela en vertu du

_principe

de

relati-vité,

pour tout observateur en mouvement

_rectiligne

et uniforme par

rapport

aux axes stellaires. La transfor-mation que nous cherchons sera une transformation

qui permettra

de passer directement de

l’opérateur

le-à son transformé. Pour les

_corpuscules

_{indépendants}

on

_peut

considérer des

_{temps quelconques qu’on peut}

identifier si l’on veut. Pour le cas d’un

_système,

il faut se ramener à un seul

_{temps :}

celui

_marqué

_par

l’horloge

de l’observateur. Ceci

_n’empêche

que l’on

pourrait

quand

même considérer des

_temps

_pour

chaque corpuscule

en les reliant au

_temps

de

t est le

_temps

de

_{robservateur, 7i}

sera

_appelé

réduit du

corpuscule,

est un certain

opérateur

que nous _{allons essayer de}

_rapprocher

des a.

Conservons _pour la transformation des

.r.(’~

la trans-formation usuelle

’

ce

qui

nous donne en vertu de la valeur de

-:~

1

Pour et nous allons chercher une

_expression

se

raccor-dant avec la transformation de Lorentz. Cette condition

nous

_impose

une

_expression

linéaire D’où :

La suite des raisonnements mon trera que cette trans-formation est

_acceptable,

mais la méthode inductive que nous venons

_d’employer

_pour

_parvenir

à la

généra-lisation de la transformation de Lorentz ne nous

_permet

pas de démontrer que c’est la seule

généralisation

qui

convienne. Dans un

_prochain

travail nous utiliserons

une méthode

_{rigoureuse qui}

nous

_permettra

d"établir

qu’avec

les

_postulats

_généraux

_{admis pour la}

_mécanique

des

_systèmes,

_{il y} a un _{groupe de transformations et} un

seul

_{qui généralise}

_pour un

_système

le groupe de Lorentz

et _{que c’est celui défini par les} transformations infini-tésimales

_{précédentes.}

Il est _{évident que les transformations ainsi définies} dans

_l’espace

à 3n

₊

1

_{coordonnées,}

_que nous

appelle-rons _esl)ace de

_{configuration-temps,}

sont linéaires et forment un _{groupe continu dont} nous connaissons les transformations infinitésimales. Celles-ci nous suffiront

pour les raisonnements que nous avons en vue : nous

n’aurons pas à faire intervenir les transformations finies dont nous donnerons ultérieurement

_{l’expression.}

Les formules des transformations infinitésimales se résument d onc en

A cette transformation se trouve associée une transfor-mation pour les

opérateurs

On obtient ainsi par la méthode habituelle :

En

portant l’expression

de ces

_opérateurs

dans

l’équa-tion d’évolul’équa-tion

₍₂₎

nous obtenons un

_système

d’équa-tions

_qui

doit être satisfait pour assurer l’invariance. Par la même méthode que celle que nous avons

_déjà

employée

dans le cas d’un

_{corpuscule unique}

nous

trouvons :

Les transformations infinitésimales

_T,

et

T,+

devront satisfaire aux conditions suivantes :

Cherchons à écrire les transformations T et T+

comme une somme de transformations attachées à

chaque corpuscule,

c’est-à-dire posons :

Les transformations

~~z~~

devront alors satisfaire aux

relations :

Les

transformations 1.(9(i) et V(&’) +attacliées

à un

cor-puscule

satisfont à des relations du même genre que les

T(i)8.

(Voir

parag.

2, équ.

1).

Les deux

_{premières équations}

du

_{système (3)}

con-duisent à poser

étant le

_produit

des De

_{même pour}

ti+.

150

Ces deux

_premières

_équations

nous montrent alors que

Les

_{opérateurs s’appliquant}

à des

_corpuscules

diffé-rents commutent entre eux, nous _voyons sur les

quatre

premières équations

de

₍₃₎

_que

_{l’opérateur}

CL(’)

doit commuter avec tous les

opérateurs

et

TU)

attachés

au ième

_corpuscule.

Si nous considérons maintenant les deux dernières

équations

(3)

comme

’0(i)

et

i5)/J+

commutent avec

fJ. f J.

tout

_opérateur

attaché à un autre

_corpuscule

_{( j)}

on

voit que l’on devra avoir

Ces dernières

_équations

détermineront

c1-(i)

à un

fac-teur

_{numérique près.}

_{Ainsi la seule condition pour que} la _{transformation que} nous _proposons comme

générali-sation de la transformation de Lorentz soit

_acceptable,

est _{que l’on}

_puisse

déterminer des

_opérateurs

_pour

chaque

corpuscule

du

_système,.

On voit alors que ces

opérateurs

dépendent

des

_propriétés

des

_opérateurs

a

et b attachés à

_chaque

_corpuscule

du

_système.

La

transformation

proposée

n’est _{donc paq} universelle niais

dépend

de la nature des

_corpuscules

constituant le

système,

autrenlent

dit,

de

_{configuration-temps}

uniquernent

fonction

du nombre de

_corl)uscules

du

_système

mais

_dépend

de la, nature des

_corpuscules

qui

le

_compostent.

Si l’on

_peut

déterminer les

_opérateurs

ceci suf-fit à prouver la

compatibilité

des

_postulats

des deux

premiers

groupes pour un

_système

de

_corpuscules

indépendants.

La

_{compatibilité}

sera donc démontrée

dès que nous aurons construit les

_opérateurs

_pour

un

_système

de

_corpuscules

dont on connaît

_déjà

les

opérateurs

aQ, a,, a,z, a3,

b,

ce

_qui

est le cas des

cor-puscules

de

Dirac,

car nous _{poserons que pour les}

autres

_corpuscules

éventuels les

_opérateurs

seront tels que les existent. Ceci

_impose

de nouvelles conditions

aux

_opérateurs

_{a>,, b définissant} un

_corpuscule.

5. Cas d’un

système

de

_corpuscules

de Dirac.

- Le

cas de Dirac

_peut

être

_envisagé

de deux

façons

comme nous l’avons

_déjà

vu :

Dans le

_premier

cas on a :

Posons :

Les

_équations

du

_système

₍₃₎

se transforment alors en :

Il n’existe

_{qu’un opérateur}

attaché

_{aux jème}

cor-puscule

anticommutant avec les

_quatre

c’est : -.

De

_même,

il

_n’y

a

_qu’un

_opérateur

commutant avec les

quatre

a!i) :

A c’est

1,

il s’ensuit que :

Dans ce cas nous trouvons donc un

_opérateur

et un

seul

(à

un facteur

numérique

k

_près)

satisfaisant aux

conditions

_imposées.

Ce

_qui

nous démontre la

compatibi-lité des

_postulats

des deux

_premiers

_groupes avec notre

généralisation

des transformations de Lorentz dans le

cas d’un

_système

de

_corpuscules

de Dirac

_{indépendants.}

Envisageons

maintenant le second cas. De

_{l’équation}

en b _{résulte que :}

et on devra avoir

Si nous _{posons :}

.

le

_système

_{d’équations précédent}

se transforme en un

système

dont est la seule inconnue. Ecrivons les

1

équations

dans le même ordre. Nous obtenons en vertu des

_propriétée

de

A (i)

et des

ot(i) :

o !J.

~

Ce

_système

n’admet _pas une solution

_unique.

Si le

système

se réduit à un seul

_corpuscule

on a

t1- (i)

~ 1.

Dans le cas de

_{plusieurs corpuscules}

les deuxièmes et troisièmes

_équations

De sont _{satisfaites que si} ne

dépend

des

_opérateurs

du ième

_corpuscule

_{que par} 1

ou

aj2~.

Dans le

_premier

cas la

_première

_équation

Dans le second elle devient :

La dernière

_équation

demeure

_{inchangée :}

ou

03~2~

anticommute avec les

a~~~

ah~~,

Cette

_équation

ne

peut

être satisfaite que si

d (i)

dépend

des

_opérateurs

du

corpuscule

par ou par

a~~~

Ceci

nous montre

qu’il

existe la solution : ~ ’

Dans le cas où le

_système

_comprend

un nombre

_pair

de

_corpuscules,

et seulement dans ce cas on a la

so-lution

Dans le cas d’un

_système

d’un nombre

_impair

de

corpuscules

c-t(i)ne

commute pas avec

A~i),

mais anti-commute ce

_qui

ne

_permet

_{pas de satisfaire à la}

pre-mière

_équation.

Au contraire on a comme solution :

6.

Propriétés

de la transformation de Lorentz

généralisée. --

La

_{première propriété}

des transfor-mations que nous venons de définir est

qu’elles

forment un _{groupe que} nous

_désignerons

_par

_J:?n.

Il est facile d’obtenir

_{l’expression}

des transforma-tions finies

_qui

sont leurs corrélatives. On a en effet :

d ~

étant la différentielle du

_paramètre

caractérisant la transformation de

_Lorentz,

d’oû :

La transformation la

_{plus générale}

de

_l’espace

de

configuration-temps

ayant

un sens de

_{correspondance}

entre observateurs sera une rotation d’axes dans

_chaque

multiplicité

à trois dimensions attachée à

_chaque

cor-puscule

suivie d’une transformation

_{de en}

et enfin d’une rotation du même

_type

_{que la}

_première.

Ces transfor-mations forment un _groupe

_Çfn.

Pour un

_système

de n

_{corpuscules indépendants,}

à

toute transformation du

_groupec,,

_correspond

biunivo-quement

une transformation du groupe de Lorentz dans

l’espace-temps

avec

_{isomorphisme.}

On

_pourrait

_objecter

aux transformations du groupe

J~ qu’elles

ont _{été définies par}

_{généralisation}

et que l’on aurait pu

peut-être

obtenir une

_{généralisation}

dif-férente. Il n’en est

_rien,

comme nous allons le voir. Les transformations de Lorentz dans

_{l’espace-temps}

étant

_biunivoques,

il doit en être encore de _{même pour} les transformations attachées au

_système.

De

_plus

elles doivent être linéaires pour des raisons

d’homogénéité

d’espace

et de raccord avec la transformation de

Lorentz. Cette condition de raccord entraîne que le

temps

doit

_figurer

dans la transformation des et

v les

XCi)

dans celle en t. _{D’où pour la transformation}

>

infinitésimale :

Si on exclut les transformations introduisant un

mélange

entre les coordonnées des divers

_corpuscules

les Cii.

De

_plus

ce

_système

_{d’équation (3) impose}

la condition 03(i) - On

peut

alors définir un

_temps

_{crl par} ce

_qui

_justifie

nos résultats

_{précédents.}

Nous devons remarquer

qu’en

aucun cas on ne

_peut

trouver _{pour les}

une matrice unité

_(au

besoin

_multipliée

_par un

nombre).

Les

_opérateurs

ont un caractère essentiel. Mais alors on ne

_peut

définir une

_mécanique

_ponctuelle

qui

soit une

_{approximation}

de la

_mécanique

ondulatoire considérée et

_{qui possède}

les mêmes caractères d’inva-riance. Ceci conduit à penser

qu’il

n’existe pas de

méca-nique

relativiste des

_systèmes

sous la forme ancienne.

Les

_opérateurs

commutent avec les

_{coordonnées,}

tous les

_opérateurs

coordonnées commutent entre eux.

Toutes les coordonnées sont donc mesurables simulta-nément.

Il est

_important

_que nous cherchions maintenant des invariants. Devant être invariants dans des rotations

d’espaces

ce seront des fonctions de distances et

_d’angles.

De

_plus

ils doivent être invariants dans une

transforma-tion du groupe

¡;!n.

Soit alors 8 F l’accroissement d’une fonction F pour une transformation infinitésimale. Nous aurons :

Un invariant devra annuler Õ

F,

mais cette condition n’est pas suffisante. Comme invariant nous avons :

Nous n’obtenons pas un autre invariant en

_{posant :}

8F sera nul si

_Bij

- est nul. Or il

n’y

a

152

Car on _{constate que}

x;.

-

xi

subit la contraction habituelle. Mais la

présence

du

facteur

~c:~.~2~ ~-

fait

disparaître

le terme ct

_qui

_figure

dans la transformation de

("~/x x

°

Ainsi 1

_apérateur

distance (le deux

_corpuscules

n’est pas mais

multiplié

par

+

il se en une autre distance

_multipliée

_{jJaJ’ le} même i

+

en subissant la contractiort de

Lorenlz,

sans interveution du

_temps.

Il y a tout _{lieu de penser que} cet

_opérateur

_Jij

_jouera

en

_mécanique

ondulatoire relativiste des

_systèmes

le

même rôle que

_{1"2 ij}

en théorie ancienne.

Si

_f

~?~ ~)

est une fonction

_numérique

on obtient un

opérateur

F

_(r¡j)

_qui

se transforme sans intervention du

_temps.

Il semble

_qu’à

une fonction du carréde la distance

_r,j

de la théorie ancienne devra

_correspondre

ici la mème

fonction,

r2 étant

_multiplié

_par

₊

Conclusion. - Ainsi nous avons _{pu établir la}

com-patibilité

des

_postulats

des deux

_premiers

_groupes,

c’est à-dire ceux liés à la théorie

_générale

de l’évolution et ceux liés au

_principe

de

relativité,

dans le cas d’un

corpuscule unique

et dans le cas d’un

_système

de

cor-puscules indépendants.

Pour un

_corpuscule

_unique,

nous en avons tiré des conditions

_auxquelles

doivent satisfaire les

_cinq

opé-rateurs _{ao, a,, a2,} a3,

b, qui

y sont attachés et servent à le définir.

Pour un

_système

de

_corpuscules

_{indépendants}

il fallait avant tout

_{généraliser}

les transformations de Lorentz et ceci d’une manière en accord avec nos

pos-tulats. Nous avons été conduit à définir ainsi des

transformations dans

_l’espace

de

_{configuration-temps}

à 3 n

₊

1 dimensions. Le caractère essentiel de ces

transformations est

_qu’elles

contiennent des

opéra-teurs. Ce résultat nous semble une des raisons pour

les-quelles

la

mécanique

des

_systèmes

ne

_pouvait

être abordée dans la théorie de la relativité

d’Einstein,

car aucun

_opérateur

ne _{doit y}

_figurer,

or on ne

_peut

les faire

disparaître.

Il

_{n’existerait}

_pas,

_{semble-t-il, d’après}

ces

résultats,

de

_mécanique

_ponctuelle

_{relativiste des} sys-tèmes

_{qui puisse}

en conserver les caractères essentiels. Dans un travail

ultérieur,

nous

_envisagerons

le cas des

systèmes

non

_{indépendants,}

c’est-à-dire des

_systèmes

dont les éléments sont en interaction et les

_systèmes

fondus.