Sur le caractère ouvert de la mécanique ondulatoire

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Sur le caractère ouvert de la mécanique ondulatoire

Paulette Destouches-Février

To cite this version:

SUR LE

CARACTÈRE

OUVERT DE LA

_MÉCANIQUE

ONDULATOIRE

Par PAULETTE

DESTOUCHES-FÉVRIER.

Institut Henri Poincaré, Paris.

Sommaire. - Une théorie

Th1 est dite _{plus complète qu’une} théorie _Th0 s’il existe une _grandeur A de _{Th1 ignorée} de Th0, la théorie Th1 fournissant les mêmes prévisions queTh0dans le domaine

d’adéqua-tion de Th0 à _partir des même résultats de mesures initiales.

On montre _{qu’une mécanique ondulatoire,} et plus généralement une théorie essentiellement

indéter-ministe, est une théorie ouverte ou _incomplète, en ce sens _{qu’on peut toujours} supposer qu’elle laisse

échapper des « _{grandeurs ignorées », grandeurs} dont on _peut tenir compte dans une théorie _{plus complète}

qui aura nécessairement même structure. Une théorie déterministe, au contraire, est complète, et l’on

peut y définir des systèmes identiques, ce _qui est impossible dans une théorie _{subjectiviste,} où l’on _peut seulement définir des systèmes semblables. Ainsi, on ne _peut espérer remplacer une théorie essentiel-lement indéterministe par une théorie _{plus complète qui} serait déterministe. On examine enfin divers essais difficilement acceptables de constrution d’une théorie déterministe pour la microphysique.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_13,

AVRIL

_1952,

1. Definition d’une theorie

_{plus complete}

qu’une

autre. - Nous nous _{proposons d’examiner}

ici la these de certains auteurs, notamment Eins-tein

_[1],

selon

_lesquels

la

_Mécanique

ondulatoire est une theorie

_incomplete,

fournissant des

pheno-menes

_physiques

une

_{description partielle.}

Nous

_partirons

de cette condition minimale

_qu’une

theorie

_physique,

a

_partir

du resultat de mesures

initiales,

doit

_permettre

le calcul de

_previsions

concernant les resultats de mesures

ult6rieures,

previsions

s’exprimant

en

general

_{par des}

proba-bilit6s. Ceci nous

_permet

de

_placer

la discussion

dans le cadre

_precis

de la theorie

_g6n6rale

des

pr6-visions

_[2].

Si la

_lVTecanique

ondulatoire

_{(en abr6g6}

_Th)IO)

est

_incomplete,

il doit etre alors

_possible

de construire

une theorie Th

_{plus complete.}

Cette theorie

_Th,

comme

Thyu,

doit

_permettre

le calcul de

pr6vi-sions. On

peut

done utiliser dans Th le formalisme de la théorie

_g6n6rale

des

_previsions

_[3],

_[5].

Alors,

chaque

connaissance fournie _par une mesure

_permise

par les lois de

Th)Io

donne aussi une connaissance en

_Th,

mais il y a au moins une

_grandeur

A de Th

(grandeur qui

peut

ne _pas etre effectivement

mesu-rable) ignor6e

par

ThM0,

sinon Th ne serait _{pas plus}

complete

que

Thito.

Ceci nous conduit 4 _poser cette definition :

DEFINITION. - Une theorie

Th1

sera dite

_plus

complete qu’une

theorie

_Tho

s’il existe une

gran-deur A de

_Thi

_ignor6e

par

Tho,

la theorie

Th1

four-nissant les memes

_previsions

_que

_Tho

dans le domaine

d’ad6quation [4]

de

_Th0

a

_partir

des memes resultats de mesures initiales.

Cela

_{signifie qu’il}

existe dans

_Th,

un

_op6rateur

A

ayant

les

_propriétés

des

_op6rateurs

associes aux

grandeurs physiques (1)

et

_qu’il

n’est _pas

_possible

de définir dans

_Th0

un

_op6rateur

_A0

_ayant

les m6mes

propri6t6s

que A.

2. Premier cas de theorie

_plus

_complete.

-Un

_premier

cas de theorie

_{Th, plus complete}

_que

_Tho

est celui ou il _y a au moins une

_grandeur

com-plete

(2 )

en

_{Tho qui}

ne 1’est pas en

_Thi.

Si

_Tho

est

Th-lio

il _y a au moins un cas de mesure

_qui

determine

une fonction d’onde

_{unique §}

en

_Thilo

_(grandeur

maximale ou

_{grandeur complete)}

et

_qui,

dans

Th,

ne determine

_qu’un

ensemble

_{E i,}

d’616ments de

prevision

X. De cette

_façon,

s’etablit une

corres-pondance

qui

permet

de d6finir une relation

d’6qui-valence dans l’ensemble des elements de

_prevision

de Th

c’est-d-dire _{que X,} est

_equivalent

a

_X,

si tous deux

appartiennent

au meme

_Es;

cette relation est

reflexive,

symétrique, transitive.

Dire dans ce cas _{que Th est plus complete que} Th)lo

revient done a dire

_qu’il

y a des

_op6rateurs,

non

d6g6n6r6s

en

_Th.)Io

_(op6rateurs

associes aux

_grandeurs

compl6tes), qui

en Th sont

_d6g6n6r6s.

(1) On d6montre en theorie _g6n6rale des previsions qu’il n’y a aucune _{hypothese physique} dans le fait d’associer un

op6rateur a une _{grandeur physique,} c’est seulement un

pro-cede _math6matique commode. Ce n’est que dans la forme

analytique de _{1’operateur que le} contenu physique

s’intro-duit, mais ici nous _{n’avons pas a consid6rer} cette forme. Pour les _{propri6t6s generales} des _operateurs associes aux

gran-deurs, se reporter aux _{ouvrages [2], [3].}

(2) Pour la d6finition d’une _grandeur complète, de l’opération

de composition & et de la _derivation, se _reporter a J. L. DESTOUCHES. J. _Physique Rad., 7e série, 1936, 7, p. 354-36o

et aux _{ouvrages [2], [3], [5].}

211

Dans Th on

_peut

alors définir des

_grandeurs

au sens

elargi

telles que l’on obtienne des

_grandeurs

completes,

par

exemple

de la

_facon

suivante : soit C

une

grandeur complete

dans

Th-110,

incomplete

dans

Th;

on

_peut

définir B dans Th telle _{que C&B}

soit

complete.

En effet B sera _{bien définie par} son

op6rateur

B et _{celui-ci par} ses _{elements propres} et valeurs propres. Fixons que :

10 _{Tout element propre de C dans Th} est element

propre de

B;

20 Deux elements du meme

_EtfC,a

associ6 à

chaque

element propre

Y;C,a

de C dans

Th)IO

corres-pondent

a _{des valeurs propres differentes} de B

_(Si

les

_EtfC,a

n’ont _pas tous meme

_puissance,

alors à

la valeur a de _{C n’est pas associée}

_{n’importe quelle}

valeur de

B,

mais seulement certaines

_compatibles

avec a et seuls les

_EtfC,a

_qui

ont la

_{plus grande}

puissance

parmi

tous les

_EtfC,a

_{correspondent}

à tout le

_spectre

de

_B).

Ces deux conditions

fixées,

on

_peut

achever

arbi-trairement la d6finition de B.

De cette

_fagon,

on a construit une theorie Th

_qui,

pour les

grandeurs prises

en consideration dans

Th3lo,

fournit les memes

_previsions

_que

Thmo

et

_qui

fait intervenir des

_{grandeurs ignor6es}

_par

ThMo,

qui

donc est

_plus

_complete

_que

Thxo.

Un

_exemple

de ce cas de theorie

_{plus complete}

est celui ou

Th,io

d6signe

la

_m6canique

ondulatoire

non relativiste sans

_spin

et ou Th

_d6signe

la

m6ca-nique

ondulatoire avec

_spin.

Les

_composantes

du

«

_spin

» d’un

_corpuscule

sont des

_{grandeurs ignor6es}

par la

premiere

theorie et dont la seconde tient

compte,

tout en fournissant les memes

_previsions

dans le domaine

_{d’ad6quation}

de la

_premiere.

Dans ce cas, la

_grandeur

_B,

dans le raisonnement

precedent,

sera form6e par

exemple

d’une compo-sante (J’z du

spin

et du carré (1’2 du

_spin,

soit

3. Second cas de theorie

_plus

_compl6te.

-L’autre cas sera celui ou toute

_grandeur

_complete

de

Tho

est encore une

_{grandeur complete}

de

Th1,

mais il _y a au moins une

_grandeur

A de

_{Th1 ignor6e}

par

Tho.

Ce cas est a diviser en deux sous-cas :

io 11 existe des

_{grandeurs figurant}

dans

_Tho,

soit

D,

_composables

dans

Thi

avec

_A;

20 A n’est

_composable

avec aucune

_grandeur

de

_Tho.

Notons

_qu’il

_peut

exister a la fois des

gran-deurs telles

_{que B}

et des

_grandeurs

_{telles que} A.

Lorsque

l’on est dans le cas

_envisage

_maintenant,

un ensemble fondamental des

_{grandeurs completes}

de

_Th1

est

_plus

riche

_qu’un

ensemble semblable de

_Tho.

En

_effet,

dans les deux sous-cas, a

partir

de A et d’autres

_grandeurs

de

_Th1,

on

_peut

former une

_{grandeur complete ignorée}

de

_Tho.

Dans le cas of A est

_composable

avec au moins

une

_grandeur

D de

_Th0,

on

_peut

consid6rer une

grandeur D,

telle _que A est

_composable

avec D h

mais il _{n’existe pas} de

_grandeur

F

_composable

avec

_D.,

et ne d6rivant _{pas de}

_D1,

telle _{que A} soit

_composable

avec

_D,&F.

La

_grandeur

_Di

_joue

alors dans le

pas-sage de

Th0

a

_Th,

un role

_analogue

a celui de C dans le

_premier

cas. A un resultat de mesure de

_Dl

correspond

un ensemble e de fonctions d’ondes.

(D1

6tant

_{suppos6e incompl6te,}

cet _ensemble pour-rait etre reduit dans

_Tho,

et _par suite dans

Th,

par

mesure d’une

_{grandeur F}

venant

_{compl6ter Di,}

mais

_{D1 &F}

serait _par

_{hypothese incomposable}

avec

_A).

A cet ensemble e

_correspond

dans Th un

ensemble Ee d’616ments de

_prevision.

En

mesu-rant

_{A &DI,}

ou une

_{grandeur A &B&D1}

_complete

dans Th si

_{A &D1}

est

_incomplete

dans

Th,

on

peut d6composer

les éléments de Ee en classes d’un seul

element,

mais on

_peut

définir une relation

d’6quivalence

sur les elements de

_prevision

de Th comme dans le

_premier

cas :

4.

_Propriete

fondamentale d’une théorie

_plus

complete.

- Une theorie

Th1

ne

_peut

_remplacer

une theorie

_{Th o (en particulier}

ne

_peut

_remplacer

_ThM0)

que si elle fournit les memes

previsions

(ou

des

pr6-visions tres

_voisines)

_que celles de

_{Th 0}

dar s son

domaine

_{d’ad6quation.}

II en r6sulte que si deux

grandeurs

A,

B sont non simuItanément mesurables

en droit dans

Tho,

elles le sont encore dans toute ihéorie

plus

complete

Th. En

effet,

si _{cela n’avait pas lieu} les

_previsions

seraient differentes en vertu d’un r6sultat de la theorie

_généraIe

des

_previsions

_[5]

et l’une des deux theories serait

_{inadequate ;}

or nous

supposons

Th,

adequate.

Dans

_{Th_)Io,}

_{il y} a x et _px

_qui

sont non simultan6-ment

mesurables,

donc x et _px le sont encore dans Th

plus complete

en vertu de ce

_qui

_{precede ;}

_par

_suite,

Th est essentiellement indéterministe

_[5],

et le

principe

de

_{decomposition}

_spectrale

_{y est} valable

_[6];

Th est donc encore une theorie ondulatoire. On

_peut

de nouveau lui

_appliquer

le _{meme processus} et faire intervenir de nouvelles

_grandeurs

cach6es

ana-logues

a A. D’ou :

THÉORÈME. - 1° Une

_m6canique

ondulatoire est

une théorie ouverte

_(ou

_incomplete)

_en ce sens

_qu’on

peut

la

_remplacer,

avec memes

previsions,

_par une

théorie

_{plus complete}

_faisant

intervenir des

_grandeurs

i gnorées

de la

_mécanique

ondulatoire.

2° Cette théorie

_{plus complete}

est,

elle

aussi,

une

mécanique

ondulaioire et

_possède

les a2emes

_propriétés

Ceci montre, non _{seulement que} la

_m6canique

ondulatoire est ouverte, mais

_qu’il

en sera de meme de toute theorie

plus

complete

qu’elle :

une

_m6canique

ondulatoire est une theorie essentiellement

incom-pl6table.

5. Considerations sur 1’hamiltonien. - Dans

la theorie

_{plus complete}

Th,

on

_peut

etre conduit a

_remplacer

1’hamiltonien H

_{(correspondant}

exac-tement a celui de

_Th,io)

_par un hamiltonien H’ dans

lequel

interviendront les

_{grandeurs ignor6es}

_par ThM0

(cas

ou Th est la

_m6caniqtie

ondulatoire avec

_spin,

H’ 6tant l’hamiltonien

_qui

tient

_compte

des termes ou

_figure

le

_spin;

un _{processus semblable} se

_pr6sente

pour le

spin isotopique).

Dans le

premier

cas de théorie

_{plus complete}

(cf.

§

2),

1’hamiltonien

_H,

de

_Th,

fournissant les memes

_previsions

_{que celles issues de}

_H,

_pour les

_grandeurs

de

_Th)lo,

n’est _{pas univoquement}

d6ter-miné,

car on

_peut

faire évoluer arbitrairement les elements d’un

_E,b,t)

pourvu

qu’ils

demeurent dans cet ensemble.

On

a

ou

_Ho

laisse invari6

chaque

element d’un

_Et

une

fois fix6e une’ ordination des elements de

_chaque

_ED,

et ou K transforme les elements d’un

_E,t)

en

eux-memes;

K d6finit un

_{automorphisme}

dans les

_{E, ty.}

En ne tenant

_compte

_{que des}

_grandeurs

de

_Th0,

l’op6rateur

K demeure ind6termin6. Mais si

1’exp6-rience

_permet

de mettre en evidence une

_grandeur

ignor6e

par

Th0,

alors

HI

va se trouver determine

(au

moins en

_{partie) lorsque}

l’on tiendra

_compte

de ces

_{exigences expérimentales}

nouvelles. On

essaiera alors

_d’61argir

le domaine

_{d’ad6quation}

et

_{l’op6rateur H, pourra}

se trouver

_remplace

_par

un

_op6rateur

_H2

tel _que

La theorie

_{plus complete}

Th

_peut

etre telle

_qu’il

n’y

ait pas d’hamiltonien en

_général,

mais dans le

domaine

_{d’ad6quation}

de

_{Th o}

on _pourra en d6finir un.

6. Caract6re ouv ert et

_{syst6mes identiques.}

-- Cherchons a définir deux

syst6mes

identiques.

Consid6rons un ensemble de N

_syst6mes

_physiques.

Nous _pouvons le

_d6composer

en classes telles _que

deux

_systèmes

de meme classe admettent meme hamiltonien

_(donc

meme

_structure).

Nous _pouvons aller

_plus

loin et

_d6composer

un ensemble de N’

syst6mes ayant

meme hamiltonien en classes de

systemes

admettant,

a

_partir

de mesures

_completes

faites a

_to,

_t’o,

...,

tl"),

des fonctions d’ondes

iden-tiques

rapportees

a des

_reperes

_galil6ens

_{r1, r,,} ..., rn.

Pour que deux

syslèmes

soienl

_identiques,

il est néces-saire

_qu’on

ne

_puisse

_{pas décomposer} en sous-classes

une classe de

_systèmes

_définis

comme

_identiques.

Appelons

cette condition : condition de

_{predicativite}

de l’identité.

Par suite du caractère ouvert d’une

_mecanique

ondulatoire,

on

_peut

_imaginer

des

_grandeurs

_ignor6es,

A,

par

exemple;

alors,

par

rapport

a la theorie Th contenant

A,

tous les

_systèmes

d’une classe admettant

m6me ul

peuvent

etre

_decomposes

en

_{sous-classes,}

deux

_syst6mes

_appartenant

a la meme sous-classe s’ils ont meme element de

_prevision

X de Th. Deux

systemes

d’une meme sous-classe seront alors

_appel6s

syslèmes

semblables

_[7].

Ils ne

_peuvent

_{pas être}

consid6r6s comme

_identiques,

car _{le meme processus}

peut

etre

_applique

a la theorie Th en raison de son caract6re ouvert. II r6sulte alors de ce

_qui

precede :

THÉORÈME. - Dans toute th6orie ondulatoire

(c’est-d-dire

dans tolite ihéorie

_{subjectiviste),}

en vertu du caracière

_incomplet

_{(ou ouvert),}

on ne

_peut

_{dé finir}

de

_{systèmes idenliques,}

car on ne

_peut

_affirmer

_{que des}

systèmes

équivalents (c’est-à-dire

de même

_elasse)

le demeureront dans une théorie

_{plus complète.}

En

effet,

des

_syst6mes

_identiques

doivent satis-faire a la condition de

_{prédicativité}

de

l’identit6;

or, le caractère ouvert d’une theorie ondulatoire

emp6che

d’affirmer toute

_{prédicativité.}

D’autre

_part,

_{pour être}

_prise

en consideration en

physique th6orique,

la definition de l’identit6 de deux

_systèmes

doit etre telle

_qu’on

_possede

un

procédé experimental

pour la

reconnaitre,

ce

_qui

ne

peut

etre realise

_qu’au

_moyen de mesures. Mais les

resultats de mesures sont _{decrits par les fonctions} d’ondes initiales

_(ou

elements

_initiaux).

A celles-ci

on

_peut

_appliquer

le _processus

_precedent

de _passage

a une theorie

_plus

_complete,

d’ou ce resultat :

THEOREME. - En vertu du

caractèrè

ouvert

_(ou

incomplet)

d’une

_mécanique

ondulatoire, il

est

impos-sible de donner une

_définiiion

de deux

_sysièmes

iden-tiques

qui

soit accessible à

_{l’expérience}

et

_satislasse

à la condition de

_{prédicativité.}

On

_peut

seulement

_définir

des cc

_systemes

semblables » relativement à un

forma-lisme de

_prevision,

l’intervention de

_{grandeurs ignorées}

permettant

toujours

de

_d6composer

en sous-classes des

systemes

semblables au sens

_précédent.

7. Caract6re

_complet

ou fermé d’une théorie d6terministe. - Consid6rons _une theorie d6ter-ministe

_Th0.

Est-elle ouverte dans le meme sens

que la

m6canique

ondulatoire ? Pour une telle

th6orie,

le formalisme des

_previsions

_peut

etre reduit a un schema

_ponctuel

dans un _{espace de}

phases :

on

_peut

définir dans ce cas une

_grandeur

d’6tat G dont les resultats de mesures

_impr6cis

sont

des ensembles de

_points

d’un espace

(r)

dit _espace de

_phase.

Le

_{point figuratif}

ill du

_système

a l’instant t

dans

_(F)

est

_appel6

« 6tat » du

_syst6me

a cet instant.

Si 1’etat du

_systeme

_{n’est pas} connu exactement

213

un

point

determine,

mais inconnu de 1’ensemble

des 6tats

_{possibles, d’apres}

les connaissances

_acquises.

Ceci

s’exprime

encore en disant

_qu’un

resultat de

mesure

_impr6cis

de toute

_grandeur

est

_{analysable (3).}

Si 1’on connait 1’etat a

_to,

soit

_Mo,

celui-ci est d6ter-min6 a tout instant _par une

_{correspondance}

ponc-tuelle dans

_{1’espace (r)}

Mais,

dans ce cas, on

_peut

aussi constituer un

formalisme

_general

et consid6rer une theorie

_plus

complete

Th,

comme dans le cas de la

_m6canique

ondulatoire. Alors il y a un ensemble

_Et,

d’616ments

de

_prevision

X de Th associes a une valeur de la

grandeur

d’6tat

_G,

a

_laquelle

il

_correspond

un

élé-ment de

_{prévision If}

dans le formalisme

_equivalent

a celui de la theorie d6terministe

Tho.

Deux cas

sont alors

_{possibles :}

ou bien il existe dans Th une

grandeur

A non simultan6ment mesurable avec

G,

ou bien dans Th il y a au moins une

grandeur

B

ignor6e

par

Th0

telle que B et G soient simultan6ment mesurables et _{que B & G soit} une

_{grandeur complete.}

Dans ce dernier cas une mesure

_precise

de B & G

fournit un element de

_prevision

X bien determine

unique.

Mais si Th est

_{plus complete}

_que

_Tho,

alors Th et

_Tho

fournissent les memes

_previsions

à

partir

des memes connaissances et la connaissance de la valeur de G a

_to

_{suffit pour}

_determiner

a tout

instant t la valeur de cette

_grandeur

G. Ainsi la valeur de G 6volue

_{ind6pendamment}

des valeurs des

_{grandeurs ignor6es.}

_{11 y} a

_{separation :}

les

pr6vi-sions pour les valeurs des

_{grandeurs ignor6es}

_peuvent

d6pendre

ou ne _pas

_d6pendre

de

_G,

et meme Th

peut

etre une theorie essentiellement

ind6termi-niste,

mais G évolue

_{indépendamment}

des valeurs des

grandeurs ignorees :

G est une

_{grandeur auto-prévisible}

dans Th. Comme G

_peut

etre consid6r6e

s6par6ment

des

_{grandeurs ignor6es,}

la theorie

_Th0

est en

_quelque

sorte ferm6e. Si deux

_svst6mes

«

_identiques

»

rela-tivement a

_Th0

ne le

sont

_plus

relativement a

Th,

n6anmoins s’ils

_comportent

_{la meme valeur pour}

G,

ils 6volueront de maniere a fournir

_toujours

la meme valeur pour G.

Soit

_Th0

une theorie d6terministe et une theorie Th

plus

complete

que

Tho.

Deux éventualités sont a

distinguer :

io Th est une theorie

deterministe ;

20 Th est une théorie essentiellement

ind6ter-ministe.

Dans le

_premier

cas Th

_possede

une

_grandeur

d’etat

_G1;

alors nécessairement

A 6tant une

_grandeur

_ignor6e

_par

_Tho.

A la

grandeur

d’6tat

_G1

_correspond

_{pour Th} un _{espace de}

_{phases (r,).}

(3) P. DESTOUCHES-FÉVRIER, Structure des thiories physiques, p. 95.

Cet _espace est alors le

_produit

direct de

_{1’espace (r)}

et d’un espace

(RA)

qui

n’est autre que 1’espace des

observations de A.

Le

_{point Mi}

_figuratif

de 1’etat du

_syst6me

est alors tel que sa

_projection

sur

_(r)

6volue d’une

_façon

autonome, selon les lois de

_{Th 0;}

par suite, la

pro-jection

sur

_(RA)

6volue aussi d’une

_facon

autonome. En somme, si l’on met en evidence une

_grandeur

ignor6e,

la theorie ainsi

_compl6t6e

restant

d6ter-ministe,

il _y a

_separation

et la

_partie

du

_systeme

caract6ris6e par G 6volue

toujours

de meme

(toute-fois,

dans le domaine

experimental

elargi

et decrit par

Th,

la

_separation

_peut

cesser d’avoir

lieu,

mais elle existe dans le domaine

_{d’ad6quation}

de

_Th0).

Deux

_syst6mes

_{identiques So}

et

_So

de

_{Th0’ qui}

6vo-luent de

meme,

apparaissent

dans Th comme deux

parties s6parables identiques

de

_systèmes

S et

_Sl

(S

et

_{S1 peuvent}

naturellement ne _pas être

iden-tiques ;

dans ce cas, leurs

parties

complémentaires

Sq

et

SA

ne sont _pas

_identiques).

Ainsi pour une theorie _{d6terministe que l’on}

com-plète

au _{moyen de}

_{grandeurs ignor6es}

et

_qui

demeure

d6terministe,

ceci revient a

_ajouter

des

_param6tres

nouveaux

_s6parables

de ceux consid6r6s

primiti-vement. Des

_systemes

_identiques

demeurent

iden-tiques

en 6tant consid6r6s comme

_parties

_de

sys-temes

_{plus complets.}

C’est en cela que consiste

le caractère

_complet

d’une theorie d6terministe par

rapport

aux

_{grandeurs ignor6es.}

Dans le second cas, Th est une theorie ondula-toire. La

_grandeur

G

_apparait

alors dans Th comme une

_{grandeur auto-previsible,}

mais le

_{syst6me So}

n’apparait

pas comme une

_partie

d’un

_syst6me

S 6tudi6 dans

Th,

c’est

_{toujours So qui}

est

_6tudi6;

il y a cette fois au moins une

_grandeur

A

_ignor6e

de

_Th0

non simultanément mesurable avec

G;

si l’on mesure

_G,

cette

_grandeur

6volue d’une

_façon

autonome comme dans

_Tho,

mais si 1’on mesure une

grandeur

telle que

A,

on ne

_peut

_plus

sans contra-diction supposer que G a une valeur déterminée

mais

inconnue,

cela en vertu des

_propri6t6s

des theories essentiellement indéterministes. Dans ce cas, lors du passage de

_Tho

a

_Th,

le caractere

_complet

de la theorie d6terministe est

_{perdu. Lorsque}

l’on mesure

G,

vis-A-vis de la

_grandeur

G et de celles

_qui

en

_d6rivent,

les caractères d6terministes

subsistent;

ils s’effacent si 1’on mesure une

_grandeur

_incomposable

avec

G;

cette

fois,

on _passe au caractère ouvert des theories

ondulatoires.

8.

_Propri6t6s

des

_grandeurs

_{auto-prévisibles.}

- Consid6rons dans _une theorie Th essentiellement

subjectiviste

une

_grandeur

_{auto-previsible A, (on}

montre

_{qu’a chaque}

grandeur

A on

_peut

associer

une

_{grandeur Al}

_{auto-prévisible}

et

_qui,

a une

époque tQ,

ait meme valeur que

A;

il en existe donc dans toute theorie

Th,

en

_particulier

il en existe

_qui

sont en meme

_temps

_completes).

Pour une telle

THEOREME. - A toute

grandeur auto-prévisible

A,

d’une thiorie essentiellement indéferminisle

Th,

on

peut

associer une thiorie

_partielle

_{Th 0}

telle que Th

soil une ihéorie

_{plus complète}

_que

_{Th 0}

el felle que

_{Th 0}

soit une theorie déterminisie dont la

_grandeur

d’ étal

est cette

_{grandeur auto-prévisi ble A1.}

En

_particulier,

ceci

_explique

_pourquoi

on

_peut

construire des theories

_partielles

des

_mecaniques

ondulatoires

_qui

soient des theories déterministes

(mais

il est

_impossible

de construire une theorie

d6terministe

_6quivalente

a une

_m6canique

ondu-latoire).

9. D6terminisme et theorie

_{microphysique.}

-Lorsque

des auteurs soul6vent la

_question

du

carac-tere

_incomplet

d’une

_m6canique

ondulatoire,

c’est dans

_{l’ espoir}

de

_pouvoir

_remplacer

celle-ci _par une

theorie d6terministe. De ce

_{qui precede,}

on arrive A : THÉORÈME. - En cherchant à

_compléter

une

théorie ondulatoire par des

grandeurs

ignorées,

on ne

peut

pas rétablir Ie délerminisme.

Examinons

cependant

de

_{plus pres}

le cas d’une theorie d6terministe

qu’on

chercherait a substituer a une

_m6canique

ondulatoire. On

_poserait

d’abord

que cc tous les

renseignements

fournis par la

connais-sance de la fonction d’onde sont n6cessaires mais

non suffisants pour determiner entièrement le

devenir d’un

_système

_parmi

les

_syst6mes

semblables

repr6sent6s

par §

»

(1).

Mats on

_sait,

_d’apres

les resultats de von Neu-mann

_[8],

_{ainsi que} ceux de J. Solomon

[9],

_que

cette connaissance ne

_peut

_{pas etre}

_compl6t6e

par des

param6tres

caches.

_D’apres

ce

_{qui precede,}

elle ne

_peut

_pas non

_plus

etre

_compl6t6e

_par l’inter-vention de

_{grandeurs ignor6es,}

_puisqu’en

les faisant intervenir on obtient une theorie de meme structure que celle dont on est

_parti.

Pourrait-on

_cependant,

au _{moyen d’un autre}

_procédé,

obtenir une theorie

microphysique

d6terministe ? Examinons les

carac-teres _que

_pr6senterait

une telle

th6orie,

soit

Thv.

Etant

d6terministe,

elle

_poss6derait

une

_grandeur

d’6tat G et la valeur de 1’etat serait

_{représentée par}

un

_point

d’un _{espace de}

_{phase (T).}

Trois cas sont à

envisager :

io G est une

_grandeur

de

_{la Tmécanique}

ondula-toire

Thilo.

20 G est la

_compos6e

d’une

_grandeur

_complete

C de Thm0 et d’une

_grandeur

_igrior6e

_par

ThM0,

soit

Alors,

en consid6rant une theorie

_{Th1 plus}

_complete

que

Th,io

et contenant A on est ramene au

_premier

cas. Dans ces deux cas, il existe au moins une

gran-deur B

_incomposable

avec G

_(cas

_103BF)

ou avec C (4) Voir [7], p. 446.

(cas 20).

Sinon

ThM0

serait d6terministe en

_droit,

contrairement a

_{l’hypothèse. D’apres}

une

_propriete

des theories essentiellement indéterministes

_(5),

dans

ce cas il est

_impossible,

sans introduire des

contra-dictions,

de supposer que le resultat

impr6cis

d’une

mesure _pour une

_{grandeur peut}

etre considéré comme

_identique

a ce meme r6sultat

_complete

de la

supposition

que cette

grandeur

a une valeur d6ter-minee mais inconnue. C’est ce

_qu’on

_exprime

en

disant _que les resultats de mesures sont

inana-lysables.

Par

_conséquent,

dans ces deux cas, on ne

peut

supposer que G a une valeur

d6termin6e,

mais

inconnue.

30 Le troisi6me cas est celui ou G est sans

_rapport

avec les

_grandeurs

mesur6es. Alors cet 6tat G

_peut

6tre

_qualifi6

de

_{m6taphysique.}

Ceci vient encore

exclure certaines

_hypotheses

concernant la substi-tution d’une theorie d6terministe a la

_m6canique

ondulatoire. Si donc on cherche une theorie

micro-physique

d6terministe,

son lien avec la

_m6canique

ondulatoire doit etre

plus

subtil.

On

_{pourrait envisager}

une connexion de ce _{genre :}

1° A une fonction

d’ondes § correspond

un certain ensemble

_E,>

de

_points

de

_{(r). Ainsi,}

a une fonction

d’ondes,

c’est-a-dire a un resultat

_precis

_d’une gran-deur

complete,

correspond

un ensemble de valeurs

possibles

pour 1’« 6tat » du

_système.

La theorie

6tant

deterministe,

il existe une transformation

ponctuelle

dans

_{1’espace (r) qui}

transforme 1’6tat initial

_{M 0}

du

_syst6me

en 1’etat Mt a

1’instant f,

soit

20 Lors d’une mesure a une

_époque

_li,

1’cr 6tat ))

est (( trouble », c’est-a-dire que le _passage de

_Mtt-E

à

Mt1+::

l’intervalle de

_temps

2e

correspondant

a la

mesure),

n’est pas d6fini par une transformation

ponctuelle,

mais est ind6termin6 selon les lois

quan-tiques : U(t,

to)

n’est d6finie que pour l’intervalle de

temps

(t0, ii-f.)

s6parant

deux mesures cons6cutives.

Apres

la seconde mesure, U decrit de nouveau

1’evo-lution de 1’etat du

_système

et l’on aura

Mi

etant la

_position

du

_{point figuratif}

de 1’6tat

(sup-pose

determine,

mais

_inconnu)

a la fin de la mesure

faite a

_tl.

De cette

_facon,

on r6tablit le d6terminisme sauf

_pendant

les

_époques

de mesures, ou Ie fait d’effectuer la mesure

_perturbe

I’etat d’une

_façon

impr6visible,

de mani6re _{que les exigences}

_quantiques

soient

_respectées.

Mats on _{remarquera alors que}

dans une telle théorie une mesure

_provoquerait

une

interaction entre

_systime

et

_appareil,

d’un

_type

tout

ditfférent

de celui de l’interaction entre les diverses

parties

d’un

_sysfème

_{physique, puisque}

_pour les interactions entre

_parties

d’un

_système

_{il y} a d6termi-nisme et lors d’une mesure il _y a indéterminisme.

215

Autrement

dit,

on ne satisfait _pas a cette

_exigence,

remplie

dans les theories

_classiques

et dans les theories

quantiques,

selon

_laquelle

une mesure

consiste a

_coupler

un

_appareil

_qui

est un

_syst6me

physique

avec Ie

_système

_physique

observe,

si bien que pour un autre observateur l’ensemble

appareil-système apparaisse

comme un

_système

_physique.

Même en

_pr6tendant

_que le « trouble » est instantdn6 et se

_produit

_quand

on établit le

_couplage

ou

_quand

on le

supprime,

on ne

_pourrait

_pas satisfaire a cette

condition dans

l’hypothèse

que nous

_envisageons.

La

_suppostion

_{qu’une grandeur}

G a une valeur

d6termin6e mais inconnue entraine contradiction si l’on a fix6 la valeur d’une

_grandeur

_incomposable

avec G. Alors la

_grandeur

d’6tat de la theorie

consi-d6r6e n’a _{pas de} lien direct avec les

_grandeurs

mesu-rables,

c’est une

_grandeur

inaccessible. On doit se

poser la

question : quelles previsions

peut-on

faire a

_partir

de I’ « 6tat »

_{Mt ?}

_On voit bien

_qu’on

_peut

pr6voir

exactement 1’« 6tat » ult6rieur tant

_qu’on

ne fait pas de mesure. Si l’on fait une mesure a une

époque tl,

on ne

_peut

_{plus pr6voir}

_{1’6tat pour t}

_{> tl;}

mais les

_previsions

doivent concerner les resultats

de mesures effectives. Or ces

_previsions

ne

_peuvent

etre

_plus

_{fortes que} celles de la

_m6canique

ondula-toire,

sinon il _y a contradiction ou

_{inad6quation.}

Pour

_plus

de

precision,

les conditions

_auxquelles

devrait satisfaire une theorie

_{microphysique}

d6ter-ministe sont r6sum6es ci-dessous :

1° Il existe un « 6tat » determine mais inconnu

du

_syst6me

_considere,

d’ou un _{espace des 6tats}

_(r)

ou _{espace de}

_phase,

avec une transformation

ponc-tuelle U

_{(t, to)}

_reglant

son evolution. Cet 6tat est inaccessible a

_{1’experience.}

2° Lors d’une mesure, il

_n’y

a

_plus

transformation

ponctuelle

des 6tats entre

_{tl- -At}

et t

_{+ A I,}

_{si i1}

est

Fepoque

d’une mesure et 2 d t sa

_duree;

on _{dit que}

1’6tat est cc trouble » _{par la} mesure.

Mats il _{faut bien remarquer que} cet _{6tat n’est pas} trouble d’une

_{fagon quelconque;}

en effet :

Si la transformaticn

_ponctuelle

entre

_{t1 - ..1 t}

et

_{t, +/A I}

est

_suppos6e

determinee mais _inconnue, tout

revient,

soit a rendre

_analysable

un résultat

de mesure

_impr6cis,

ce

_qui

est en contradiction avec

les lois

_quantiques,

soit a faire une theorie

_purement

m6taphysique

c’est-a-dire sans lien avec

_{1’experience.}

Alors,

ou bien le

_syst6me

_(S

+

_c,-(),

système-observé-appareil-de-mesure

n’ob6it pas a des lois

ponctuelles

d’evolution dans son _{espace de}

_phase,

ou bien Id loi de l’interaction de S avec él _{n’est pas}

la meme _{que celle de l’interaction des}

_parties

de S. Ceci est en contradiction avec le fait

_{qu’un appareil}

est un

_syst6me

_physique,

_ayant

des caract6res

spe-ciaux dans l’intention de

l’observateur,

mais ob6is-sant aux memes lois _que les

_syst6mes

observes. Si l’on pose les memes lois _{d’interaction pour les}

syst6mes

et les

_appareils,

alors,

ou bien on renonce

aux transformations

_ponctuelles,

done au

d6ter-minisme,

ou bien on est en contradiction avec les

lois

_quantiques.

Une autre

_possibilite

consiste à

renoncer a la notion de

_système

_{physique S pour}

ne

parler

que d’un

systeme-dans-un-appareil (S

+

CL);

alors

_(S

+

_CL)

_peut

etre decrit par des lois

d6termi-nistes,

mais les interactions entre S et a

_{s’expriment}

par des lois diff6rentes de celles

qui r6gissent

les interactions entre les

_parties

d’un

_système

obser-vable S.

En

_resume,

une theorie avec d6terminisme en

dehors des

_époques

de mesure

_(hypothèse

inveri-fiable

expérimentalement,

donc

_{m6taphysique)}

impose

des lois

_sp6ciales

d’interaction pour les

appareils.

Manuscrit reru le 5 mai 1950.

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