Théorie du centre de gravité en mécanique ondulatoire et applications

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Théorie du centre de gravité en mécanique ondulatoire

et applications

Jean-Louis Destouches

To cite this version:

LE

JOURNAL DE

_PHYSIQUE

ET

LE

RAD1UM

THÉORIE

DU CENTRE DE

GRAVITÉ

EN

_MÉCANIQUE

ONDULATOIRE

ET APPLICATIONS

Par JEAN-LOUIS DESTOUCHES.

(Institut

Henri-Poincaré,

Paris).

Sommaire. 2014 Ce travail fait suite à un _{article que} nous avons _publié l’an dernier dans ce Journal sur

la définition du centre de _gravité en _Mécanique Ondulatoire. Etudiant d’abord certaines de ses _{prcpriétés,} nous _précisons en _quoi il est assimilable à un _{corpuscule lourd,} et s’il existe des relations d’incertitude

plus précises que celles de Heisenberg auquel il satisfasse, dans quelles conditions il se _comporte

rigoureu-sement comme un _{corpuscule lourd,} et _quels cas s’en _rapprochent suffisamment.

Puis nous examinons s’il est _possible comme en _{Mécanique classique} de constituer une _cinétique

logiquement indépendante de la _Mécanique Ondulatoire et _d’y faire rentrer les théorèmes liés aux _grandeurs

cinétiques du centre de gravité. Nous trouvons _qu’on peut le faire sous deux formes : la « _cinétique

opératorielle » donnant seulement des relations entre opérateurs, la « _{cinétique quantique »} donnant des relations entre les valeurs des diverses grandeurs cinétiques.

Nous cherchons ensuite dans _quels cas on _peut étendre à la mécanique de Dirac les divers théorèmes concernant le centre de _gravité. Nous les appliquons alors à la théorie du _photon de Louis de _Broglie, au

spin d’un _système, à un _{noyau atomique,} à un _{proton supposé complexe} pour lequel nous donnons une

équation de mouvement.

1935.

Dans cet

article,

nous allons

_développer

et

_compléter

le

_premier

travail _que nous avons fait

_paraître

dans ce

journal

(juillet

193~,

p.

3 i~f),

sur les

_propriétés

du centre de

_gravité.

Nous conserverons les mêmes nota-tions.

1. Ecart

_quadratique

_{moyen du} centre de gra-vité. - Nous _avons

déjà

montré

_{qu’en général}

les incertitudes sur la

_position

et la

_quantiti

de

mouve-ment du centre de

_gravité

G satisfont à des relations

d’incertitude

_plus

_{restrictives que celles de}

_Heisenberg

pour un

_corpuscule

libre. En

effet,

nous avons trouvé que :

C’est sur ce

_point

_que nous devons tout d’abord revenir.

Au lieu de calculer les écarts

_{quadratiques"}

_moyens

6X et crp x à l’aide des coordonnées des

corpuscules

du

système,

nous _{pouvons les calculer au moyen du} centre

de

_gravité

et des coordonnées relatives. Ceci nous donne :

-Si,

en

_particulier,

la fonction

_{d’ondes 1> est le produit}

d’une fonction CP

_(...

_~-,

r;,

li* - -

1)

et t d’une fonction

Z

_(X,

_Y,

_{Z, t)}

_~== (l~. 14~.

La fonction -1) étant normée par

rapport

aux variables

relatives,

disparaît

et nous _{trouvons pour 5_y} et

_cp~,

la même valeur

_{que celle}

_qu’aurait

un

_{corpuscule unique}

ayant

la masse totate du

_{système et}

soumis à un

poten-tiel dont nous avons donné

_{précédemment l’expression;}

nous trouvons dans ce cas, pour le

point G,

les rela-tions de

_Heisenberg

_pour un

_corpuscule.

Mais,

en

_général,

la fonction

_{d’ondes (p}

_{n’a pas cette} forme

_{particulière;}

si elle la

_possède

à l’instant

_initial,

elle ne la conserve _pas

_{généralement.}

Mais nous avons montré

_qu’on

_{pouvait toujours}

écrire la

_{fonction ({J}

sous

la forme : _~

_{== 2:}

_{aiJ (Pi’ BIf j’}

Les fonctions

4)i

constituent un

_système

orthonormü l

complet

pour les fonctions des variables

relatives,

les

W j

un

_système

orthonormal

_complet

pour les fonctions des variables

~;

Y,

Z. On constate alors _{facilement que :}

Si nous _{posons alors :}

nous _{voyons que :}

330

et comme

_produit

des incertitudes :

Si,

dans le cas

_général,

il est difficile d’en tirer une

conclusion,

nous _pouvons

_prendre

_l’exemple

d’un cas

particulièrement simple,

celui où :

d’où,

en vertu de la relation de

_Heisenberg

valable pour la même fonction d’ondes :

Il est facile de voir que le crochet du second terme est

positif

ou

_{exceptionnellement}

nul. En

effet,

mettons h2

h2

en facteur. En vertu des relations de

_Heisenberg

4 toi

déjà

utilisées,

ce crochet est

_{approximativement}

égal

à

En

_désignant

l’un de ses

_rapports

_{par p,} on voit

qu’il

est de la forme : *.

,

qui

est

_{toujours positif,}

_{sauf pour p} =

i,

auquel

cas il

est nul. Ce cas

_{exceptionnel exige}

_{que :}

(cr~) 11

soit

_égal

à

_{(,,7’ ),, et}

_que

_aX1

soit

_{égal à}

_(17’ce

qui

n’a pas a

_PX

22 e que x fi SOI ega a

Px)

2 2, ce qUI n a pas lieu

_{généralement.}

La discussion par cette méthode du cas

_général

serait loin d’être aussi

_simple.

Sur cet

_exemple

nous

voyons que comme _{par la}

_première

_méthode,

on a :

Cette

_expression

montre

_{qu’a fortiori}

les conditions de

Heisenberg

sont

_remplies,

mais

_qu’en

_général

l’incerti-tude est

_{plus grande}

_{pour le centre de}

_gravite

_elle

pour un

_corpuscule

libre.

Si nous nous

_reportons

à la

_{première expression}

_que

nous avons donnée

_plus

_haut,

écrire que rx et rpx sont

nuls,

signifie

que la valeur d’un xi est sans corrélation avec celle

_{d’un Xj’}

_{Ceci n’a lieu que si la}

_position

du

corpuscule

1VT~

esi

_{indépendante}

de celle du

_corpuscule

Mi.

Or un

_couplage

détruit cette

_{indépendance,}

J et le

plus

habituellement les r ne sont _{pas nuls.}

2. Condition de

_séparation.

- En

général

la fonction d’ondes du

_système

ne

_peut

_{pas être écrite} sous la forme 4)T. Si elle a cette forme à l’instant

initial,

elle ne la conserve _pas au cours du

_temps.

Cherchons,

donc des conditions nécessaires et _{suffisantes pour que,}

si la fonction d’ondes a cette forme à l’instant

_initial,

elle la conserve,

c’est-à-dire,

pour

qu’il

y ait

séparation

du mouvement du centre de

_gravité

et du mouvement relatif. C’est seulement dans ce cas _{que l’on pourra}

con-sidérer,

contrairement à ce _que nous avions dit dans notre

_premier

article,

les

_équations

_d’ondes

du centre de

_gravité

et du mouvement relatif.

Si nous écrivons

_{l’équation}

d’ondes du

_système

avec cette forme de _{fonction ~,} nous avons :

" 1

0r, m

satisfait à

_{l’équation}

du mouvement

_relatif

’ à celle du centre de

_gravité.

Il en résulte en combinant ces deux

_équations

_{que l’on doit}

_avoir,

en vertu des

résultats établis dans notre

_premier

article :

r r 11

et en

_prenant

_{la moyenne :}

V~

sera donc une fonction de

A, Y,

_{Gseutement, Yr}

une fonction des variables relatives

_1;.

Ainsi,

pour

qu’il

y ait

_séparation,

_{il faut que} V soit la somme de deux

fonctions,

l’une

des variables

X,

F,

Z,

t, l’autre des coordonnées

relaiives

:’i,

..., et éventuellement de t.

Mais il est _{facile de voir que toute fonction V de la}

forme

donne lieu à la

_séparation.

En effet on aura : -.

Donc : la corcdition nécessaire et

_{su ffisa7lte}

_pour

_qu’il

y ait

t séparation

des niouveiiieiats

est que

le potentieL

Voit la SOln1Jle de trois

_fonctions,

l’une

_{ne dépendant}

_q2ce des

coordonnées du centre de

_gravité

et dit

_leiiil)s,

l’aub’e

des coordonnées relatives et du

_te1JlpS,

et la troisièrrce 1?e

dépendant

que-dit

temps

sezcl

_(et

non des

_{coordonnées).}

Du

_{paragraphe précédent}

il résulte _{que, dans} ce cas,

les incertitudes sur la

_position

et la

_quantité

de mouve-ment du centre de

_gravité

satisfont exactement aux

relations d’incertitude de

_Heisenberg

durant tout le

mouvement, si elles y satisfont à un

_instant,

_(ce

_qui

a lieu si IF’=

_4».

Si l’on effectue une mesure d’une

_grandeur

liée au

centre de

_gravité.

_par

_exemple

la mesure de la

_quantité

de mouvement total du

_système,

autrement dit si l’on

détermine

_{expérimentalement}

la

_{fonction ,fi}

à l’instant

initial,

on _{pourra, dans} ce cas

_particulier

_{où il y} a

sépa-ration,

et dans ce cas

seulement,

prévoir

le mouvement ultérieurdu centre de

_gravité

en

_ignorant

tout du mou-vement relatif du

système

autour de ce centre. Dans le

cas

_général

on ne

_pourrait

rien

_prévoir

sans connaître le mouvement du

_système

total. Dans ce _{même cas,} on

peut

considérer le mouvement relatif

_{indépendamment}

du mouvement du centre de

_gravité.

3. Cas de

_{quasi-séparation. -}

On

_peut

utiliser dans un cas

_plus

_général

les résultats de la

_séparation

en

_employant

la méthode de variation des

_{constantes ;}

c’est celui où le

_potentiel

V est de la forme :

et où la fonction R

_peut

être considérée comme une

perturbation.

Le mouvement non

_perturbé,

c’est-à-dire le mouvel

ment fictif obtenu en

_négligeant

le

_{potentiel R,}

satisfait à la condition de

_séparation.

On

peut

alors étudier

séparément

le mouvement du centre de

_{gravité Go}

et le mouvement relatif autour de

Go.

Si le

_potentiel

.~ est suffisamment

_petit,

ces mouvement seront

approxi-mativement ceux du centre de

_gravité

G et du mouve-ment relatif autour de

Go.

Mais de ces mouvements fictifs on

_peut

déduire le mouvement total du

système

en tenant

_compte

du

_potentiel

_{R par la méthode de} variation des constantes. Soit en

_effet

un

_système

de base orthonormal

_complet

_pour les fonctions d’ondes du centre de

_gravité

non

_perturbé,

constitué par des solutions de

_{l’équation}

d’ondes ou des différentielles

propres

(1B L

un

_système

doué des mêmes

_propriétés

pour le mouvement relatif non

_perturbé.

On

_peut

exprimer

la fonction

_{~1’ondes ~~}

du

_système

_perturbé

dans le

_système

de base

_des

_{PiWj L}

soit :

En

_portant

cette

_expression

dans

_{l’équation}

d’ondes du

système,

on

_obtient,

en

_supprimant

les termes

_égaux

dans les deux

membres,

après multiplication

par

_~k~’l

et

_{intégration,}

le

_système

différentiel définissant

_{les a,,.}

En

_{intégrant (avec}

une certaine

_{approximation)}

le

système

des

_ai

on obtient

_{approximativement}

la

fonc-tion

_{d’ondes ~}

dru

_système.

En

_particulier,

si à l’instant initial les fonctions

d’ondes sont

_{séparées :}

en choisissant les

_systèmes

de base de

façon

_que

~1

et

lIr1

1

soient

_{respectivement}

la

_première

fonction du

_système

( 4$; )

et la

_première

fonction du

_système

_{1~’~ ~,}

on a, à l’instant initial :

On en déduit immédiatement

_qu’au

début du

mouve-ment on _a, à un infiniment

_petit

du second ordre

_{près :}

d’oit la

_{fonction ?}

au début du mouvement.

De ces résultats on

_peut

obtenir une condition

expri-mant que le mouvement du centre de

gravité

du

système

fictif non

_{perturbé représente}

avec une

approximation

suffisante pendant

un certain

_temps

le mouvement du centre de

_gravité

du

_système

réel,

et que le mouvement relatif fictif autour du centre de

gravité

approché

représente

avec une

_{approximation}

suffisante le mouvement relatif réel autour du centre de

_gravité

réel.

En

_effet,

on a _pour une coordonnée du centre de

gravité

réel :

A°i

et

_{( 02) x 1 ,}

sont

_{respectivement}

_{la valeur moyenne et}

le carré de l’écart

_quadratique

_{moyen de la}

_position

du centre de

_gravité

fictif du

_système

non

_perturbé.

Il nous semble naturel de dire que le centre _de

gra-vité dit

_systènte

_fictif

non

_perturbé

_{représenteî-a}

avec une

ap}J)’oxinzation sic f f zsaute

le centre de

_gravité

réel

lo~°sqne

l’on aura :

,

332

sera

_vérifiée,

nous dirons

qu’il le

représente

avec une

approximation

suffisante seulement

_{respectivement}

en

position

ou en

_quantité

de mouvement. On donnerait des définitions

_analogues

_{pour le} mouvement relatif. Au début du

_mouvement,

all étant

prépondérant,

(7’ )

est du _{même ordre que}

_{(cri) 11’}

on

_peut

substituer cet écart à l’écart réel. Des

_expressions

écrites ci-des-sus, et en vertu de la normalisation de

_{fonction ?,}

on

déduit

_{que :}

De même on trouverait :

Si les deux

_inégalités

sont

_vérifiées,

on a alors en

vertu des relations d’incertitude :

Si cette dernière

_inégalité

_{n’est pas}

satisfaite,

a

fortiori les deux

_inégalités

ne _{sont pas satisfaites à la} fois : elle

_peut

donc servir de critère.

Lorsque

cette

_inégalité

sera

_satisfaite,

_y nous dirons

qu’il

y a

_{quasi séparation}

du mouvement du centre de

gravité

et du mouvement relatif autour de ce centre.

Cette définition de

_{quasi-séparation}

s’étendrait sans

difficulté au cas où les variables de

_position

se divisent en deux

_catégories

telles que le

potentiel s’exprime

sous la, forme :

les fonctions

V,

ne

_dépendant

_{que des variables du}

premier groupe, Y2

de celles du

_second,

R des deux sortes de

_variables,

C

_uniquement

du

_temps,

l~ élant

petit

devant

V,

et

V2.

Une autre méthode

_{d’approximation}

_peut

être

appli-quée

dans le cas de

_{quasi-séparation}

_lorsque

_le sys-tème étudié est

_lourd,

c’est-~-clire formé d’un

_grand

nombre de

_corpuscules.

On

peut

en effet se _{borner pour} le mouvement du centre de

_gravité

à

_{l’approximation}

de

_{l’optique géométrique.}

On étudiera donc d’abord le mouvement du centre de

_gravité

au _{moyell de la}

méca-nique classique

en le

_supposant

soumis au

_{potentiel Y,}

(mouvement

non

_perturbél.

On obtiendra ainsi ses coordonnées en fonction du

_{temps :}

_{X (t),}

Y

_(t),

Z

_(t).

En

_portant

ces valeurs de Y Y Z dans

_l~,

on obtient une fonction

R2

non

_plus

de

_{X, Y,}

Z,

des coordonnées relatives et éventuellement du

temps,

mais seulement t

des coordonnées relatives et du

_{temps ;}

on étudiera alors le mouvement relatif du

_système

soumis au

poten-tiel

V2

+

112,

4.

_Axiomatique

de la

_{Cinétique. -}

Dans notre

premier

mémoire,

nous avons établi des théorèmes

_qui

correspondent

à ceux de

_Kônig

de la

_cinétique

claq-sique.

Comme la

_cinétique

constitue une branche autonome de la

_{mécanique classique, qui}

ne _suppose

pas la

dynamique

mais résulte de la réunion de la

ciné-matique

et de la

_géométrie

des masses, on

_pouvait

se demander s’il en était de même en

_Mécanique

Ondula-toire,

et s’il était

_possible

de construire d’une

façon

autonome une

_{cinétique opératorielle.}

C’est

cette

cons-truction que nous voulons établir ici.

Elle doit être basée d’abord sur la définition

d’opéra-teurs

_{co7°respondamment égaux~}

_que nous

_{rappelons :}

Soit un

_changemement

de variables transformant les variables ,xl..., ~xn en _{les variables y,,... y,,,} ce _que nous

noterons

Y =

lç’

_(X).

Ce

_changement

de variables transforme toute

_{fonction ~}

_(X)

en une

_{fonctioil ? (Y)}

qui

ont des valeurs

_égales

en des

_points

X et Y

corres-pondants.

Soit A un

_{opérateur appliqué}

à la fonction

_~.

Nous dirons

_{qu’un opérateur}

B est

_{correspondarnnlent égal}

à A si

_appliqué

_{à ?}

il donne une fonction

_qui

est la trans-formée de

_{A ~,}

c’est-à-dire

_qu’en

des

_points

Y et Y

cor-respondants,

on a :

ce _que nous noterons d’une

façon

simple :

Soit

_{dans l’espace}

euclidien un

_point

M. Nous

appelle-rons

_opérateur

coordonnée

_{l’opérateur}

vectoriel lui

dont les

_composantes

sont

qui

indiquent qu’on

doit

_multiplier

la fonction

_opérée

par la

variable xi, et

opérateur quantité

de mouvement de M

_{l’opérateur :}

-A

_partir

des définitions de M et de

_P,

on définit la force vive d’un

_système

_{par :}

et le moment

_{cinétique :}

Avec seulement ce

jeu

de

définitions,

on démontre les théorèmes

_{correspondant}

aux théorèmes de

_Künig

et

aux autres théorèmes de la

_cinétique

_classique,

le

signe.

étant

_remplacé

_{par le}

_signe

----.

Si l’on

_ajoute

aux définitions

_{précédentes}

les

postu-lats de

_{quantification : 1°)}

celui

_qui

_impose

des condi-tions aux _{fonctions propres,} et

_2°)

le

_principe

des valeurs propres, on

_peut

démontrer _{alors que} non seulement les théorèmes de

_cinétique

sont vrais en

opérateurs

avec le

_{signe ? ,}

mais encore _{que les} valeurs effectives

_prises

_{par les}

_grandeurs

dont les

opérateurs

interviennent dans les théorèmes de

ciné-tique satisfont,

elles

aussi,

aux mêmes relations. Ceci résulte d’un théorème que nous avons énoncé sur les valeurs propres de deux

_opérateurs

intéressant t

des variables distinctes. Ainsi une

_partie

de la

dépend

que d’un

jeu

de

_{définitions,}

une autre, Ici

ciné-tique quanciné-tique,

ne

dépend

_{que des}

_postulats

de

quantification,

1 mais elle est entièrement

indépen-dante de

_{l’équation}

d’ondes

_{(postulat d’évolution)}

et

du

_principe

de

_{décomposition spectrale.}

C’est

pour-quoi

nous avons

_adopté

le terme de

_cinétique

opérato-rielle et non celui de

_cinétique

ondulatoire

_puisque

les fonctions d’ondes n’interviennenl pas.

On

_peut

_{songer à}

_englober

dans une seule théorie la

cinétique classique

et celle de la

_mécanique

ondula-toire. Ceci est

_possible

en ce

_qui

concerne l’énoncé des

théorèmes,

mais les démonstrations restent

_séparées.

Pour le cas

_classique,

il suffit de

_garder

le forma-lisme que nous avons

_adopté,

et de

_remplacer

la défi-nition de

_{l’opérateur}

P par

5. Extension des théorèmes du centre de

gra-vité à la

_mécanique

de Dirac. - Soit un

_système

de

_corpuscules

en mouvement _{tel que, si chacun était} considéré

_isolément,

il satisferait à une

_équation

d’ondes du

_type

de Dirac :

les x étant ou non ceux de

Dirac,

par

exemple

des A

de Louis de

_Broglie.

On _{sait que -}

_caY)

_joue

le rôle

d’opérateur

vitesse

_v§?1.

En relativifé

restreint,

pour un

_système

de

_points

matériels sans interaction

poten-tielle entre eux et

_possédant

tous la même

vitesse

en

module,

le centre de

_gravité

G du

_système

est bien défini. Il

suffit,

en

_effet,

de

_prendre

le centre de

_gravité

comme en

_mécanique

non

_relativiste,

et de considérer son mouvement _par

_rapport

à l’observateur.

_Un:eas

_plus

particulier

encore où il est défini est celuioùles diverses

particules

du

_système

sont considérées comme au même

poirlt,

le centre de

_gravité

étant ce

_point.

Il semble assez naturel de chercher à définir en

_mécanique

ondu-latoire relativiste un centre de

_gravité

en se

_plaçant

dans les mêmes conditions.

’

L’équation

d’ondes du

_système

_sera,

_{puisqu’il n’y}

a pas de

potentiel

d’interaction entre les

_{pariieules :}

l’équation

d’ondes du

_système

dcvient :

Si un

_champ

extérieur

_agissait

sur un

_corpuscule,

il

faudrait

_remplacer

_p(~),

_par

_p(~)

- et

ajouter

(e~~c)‘~’;2)

dans le crochet. Dans l’hamiltonien, au lieu de

pl

nous avons _{V . p.} Les relations entre les

P,

les

ù)(,),

sont les _{mêmes que dans le} cas de la

_mécanique

ondulatoire

_{simple, puisque}

les

_opérateurs

sont demeu-rés les mêmes. Pour les v(i) on doit avoir des relations

analogues :

Ces relations sont

_valables,

oulre le cas de

l’approxi-mation

nervtonienne,

quand

on _{suppose que} tous les

corpuscules

ont la même

_{vitesse ;}

on _{n’a pas à} se

pré-occuper si doit être ou non la masse au _{repos, le}

quotient

étant

_égal

dans ce cas au

_quotient

des

masses en _repos.

Toutefois,

cette

extrapolation

des

théorèmes de la théorie du centre de

_gravité

en

méca-nique

de Dirac ne _{pourra être}

_{complètement justifiée}

que par son succès dans les

_{applications.}

La fonction

_{qui figure}

dans

_{l’équation}

d’ondes du

_système

sera le

_produit

des

_{§1°1 cn}

l’absence de

poten-tiel d’interaction des

_particules

du

_système

entre

_elles,

ce _que nous avons

_supposé

au début. Il

_appartiendra

donc à

_{l’espace produit}

indiciel,

que nous définissons comme suit : soit 11, espaces

(’~), (’~3)...

_‘(v;,),

_qui

sont les espaces des fonctions d’ondes des

1e’’,

2e,... nC

cor-puscules

du

_système

_{respectivement}

à a,

G ... , ,

com-santes.

Nous

_appellerons

_espace

_produit

indiciel de ces n _espaces,

_l’espace

_{(~a ~. , .a)}

à

a.,8 ....

_composantes;

et à tout ensemble de n éléments _{c~_...}

_pris

res-pectivement

dans _{les espaces}

_(~

_’f~’

... tels que les

divers

_produits,

des diverses

_composantes,

par

exemple

... y soient de carré

sommable,

nous ferons

-correspondre

un

_éléments

de

l’espace produit

indiciel

(ses composantes crç

peuvent

être au _{moyen d’une}

cor-respondance biunivoque,

numérotées par rz indices

variant,

le

_premier

de 1 à a, le second de 1

à ~~, ...

le ne de 1 à

_X)

dont la

composante

de rang,

i,

_{j.. , q}

sera définie par

Nous renvoyons à notre ouvrage « Le rôle des espaces

abstraits en

_pllysïque

moderne »

_(Actualités

_Scientif.,

1 étude des

_propriétés

_{de cet espace}

_produit.

En

_employant

la

même

méthode que celle que nous

avons suivie en

_mécanique

ondulatoire

_simple,

nous obtenons comme

_équation

d’ondes du centre de

gravité :

La fonction IF est un _{élément d’un espace}

autant de

_composantes

_{que celui de la}

_{foncLion If}

système

total,

c’est-à-dire le même nombre de

compo-santes _{que les éléments de}

_{l’espace produit}

indiciel.

334

la fonction 4)

_ayant

aussi le même _{nombre de} compo-santes que la

fonction z,.

6.

_Applications

à la théorie du

_photon.

-Nous pouvons considérer le cas de deux

_corpuscules.

On a alors :

Si les masses ni, et m2 sont

égales,

on retrouve les A

de Louis de

_Broglie

_(1),

c’est c,e

_qui

se _passe

_lorsque

les deux

_corpuscules

sont l’un un

_neutrino,

l’autre un

antineutrino ;

leur ensemble constitue un

_photon.

On constate alors ce résultat :

L’équation

dit

_photon

de Louis de

_Broglie

est celle du

centre de

_gravité

des deux constit2eccnts du

On

_peut

faire

_{l’hypothèse qu’il peut}

exister des

pho-tons

_{multiples composés}

de

_{plusieurs paires}

de neutri-nos et

_{d’antineutrinos,}

_par

_exemple

de deux

_paires.

M. Louis de

_Broglie

nous a

_suggéré

_que

_peut-être

de tels

photons

seraient émis dans des émissions

_quadrupoles.

Au moyen du

théorème

du centre de

_gravité,

nous

pourrons écrire de suite

l’équation

d’ondes de

_telspho

-tons,

formés d’un nombre

_quelconque

n de

_paires

de neutrinos et d’antineutrinos. Nous obtenons

le5

a(2L)

_{correspondant}

aux neutrinos et formés à

_partir

d’un a de

Dirac,

les étant ceux

_{correspondant}

aux antineutrinos.

Toutefois cette

_{hypothèse supplémentaire}

introduite dans la théorie de Louis de

_Broglie

conduirait à

considé-rer comme essentiellement différentes les émissions

di-pôles des

émissions

_multipôles.

On aurait alors ce résul- ~ tat

_qu’une

_{lumière émise par} un _processus

_bipolaire

ne

pourrait

être absorbée que par un _processus

_bipolaire,

une lumière émise par un _processus

_{quadrupolaire}

ne

pourrait

être absorbée que par un _processus

quadrupo-laire,

etc.

De tels faits seraient faciles à verifier

expérimentale-ment. Si le résultat conduisait à admettre cette

hypo-thèse

_{supplémentaire,}

ce serait une _{preuve de} l’exacti-tude de la théorie de Louis de

_Broglie.

Au contraire son

_{rejet exprimerait simplement}

_{que les}

_photons

multipolaires

sont

_identiques

aux

_{photons dipolaires}

sans rien infirmer de sa théorie.

Il faut

_{remarquer qu’on ne peut}

_pas

_appliquer

directe-ment au mouvement du centre de

_gravité

G le

_principe

des interférences. En

effet,

lorsque

l’on passe du sys-tème de référence où G est fixe

_{(mouvement relatif) à}

celui de

_{l’observateur,}

il convient

_{d’appliquer}

la

con-traction de Lorentz aux éléments de

_volume,

c’est-à-dire à

dz,

ce

qui

ne donne

_plus

comme densité

(1) Comptes Rendus, ’~99, 1931, p. 445.

de

_probabilité

_depréscncc

_~~~~.tr,

mais

_’~K’~

_{l’opérateur}

K

correspond

à la contraction.

_Or,

comme

l’a montré M. Louis de

_{Broglie, l’opérateur}

K ne doit être autre

que

A,,.

Il semble alors que si on a une

_intégrale

311-uple

il faudra mettre

K",

au lieu de K. Ceci fournit une nouvelle raison à

_ajouter

à celles de M. Louis de

Broglie (1)

pour l’introduction de

A,

dans la densité de

présence.

7.

_Spin

du centre de

_{gravité. -}

Nous définirons

l’opérateur spin

du centre de

_gravité

G comme

l’opéra-teur

_qui,

_ajouté

au moment

_cinétique,

donne une

inté-grale première.

Cherchons sa

_composante

suivant l’axe z. Ce sera

un

_{opérateur £}

_{tel que :}

On trouve facilement que :

On devra donc avoir : -.

ae(j) doit être

_indépendant

des coordonnées z ett. Il s’en suit

_qu’il

commute avec et

a~,

et _{il y a commutation}

avec 2013~et

~

Il nous reste à satisfaire aux deux

~ ~

équations :

Elles admettent pour solution :

On a _pour

_{intégrale première :}

en

_supposant

les a0)îormes à

_partir

des a de Dirac. En

somme, nous avons comme

_{intégrale première :}

donc,

l’opérateur spin

du centre de

_gravité

est la

somme des

_syirt

des

_corpuscules

du

_systènze,

et le de G est

_égal

ait

_spin

total.

En

_{employant toujours}

le même théorème sur les valeurs propres, on voit que : le du centre _de

gra-vité est

_égal

ait

_spin

total

_égal

à la sornrne des

_sjJins.

Dans le cas

_particulier

d’un

_{photon, l’opérateur spin}

du centre de

_gravité

se réduit à celui de MNI. Louis de

Broglie

et

_Jacques

Winter

_(1).

8.

_Applications

au

_proton

et au _noyau. -- Il est fort

_possible

_{que, pour certains}

_{phénomènes,}

on

_puisse

considérer un _noyau

_atomique

comme

_équivalent

à un

corpuscule

unique

doué du

_spin

total. Si une telle

approximation

est

_valable,

_{l’équation}

de mouvement

du centre de

_gravité

du noyau fournit

l’équation

du

mouvement du

_{corpuscule équivalent.}

Pour écrii e

cette

_équation,

il suffit seulement de connaître la

com-position

du noyau et les

_opérateurs

a associés à

_chaque

particule

élémentaire,

ainsi que

l’énergie

de liaison moyenne. Il nous semble

_{qu’en particulier}

on

_peut

utiliser le centre de

_gravité

_{pour les noyaux}

_atomiques

avec

_{l’hypothèse qu’ils}

sont constitués

_uniquement

de

particules

lourdes,

car une

_{approximation}

non

relati-viste est

suffisante,

et,

clans ce cas, il

n’y

a _{pas de}

_peine

à définir un centre de

_gravité,.

D’autre

_part,

il nous semble

_qu’on

_peut

_{l’appliquer}

en tenant

_compte

de la relativité

_lorsqu’il

_n’y

a

_qu’une

seule

_charge,

c’est le cas du deulon et du

_proton.

Nous ferons

_{l’hypothèse}

_{qu’un proton}

est constitué : i 0 par un

_{neutron, 2°}

_par un

_positon,

3° _par un

neu-trino,

chacun isolément obéissant à une

_équation

du

type

Dirac. Nous obtenons alors comme

équation

d’ondes _pour le centre de

_{gravité :}

-

>

Elle ne diffèrera de celle d’un

_corpuscule

de Dirac que dans un

_{champ magnétique,}

car nous avons

sup-posé

que le

champ magnétique

n’avait d’effet que sur le

_positon

_qui

est la

_{seule particule chargée,}

ce

_qui

fait

que devant

le

_potentiel

_tliollll’a

_pas

_{l’opérateur Aimais}

a~2).

La fonction ~’ a 64

_composantes,

mais on

_peut

obtenir des solutions

_approchées

en

_négligeant

_n¿2, masse du

_positon,

et masse du

neutrino,

devant

rni, masse du neutron : en l’absence de

_champ

magné-tique

les 64

composantes

de

_’~

se divisent en

_quatre

groupes de 16

composantes,

toutes

_égales

entre

_elles,

et on retrouve un mouvement suivant une

_équation

de Dirac.

Sans

_pouvoir

affirmer

_qu’elle

rend

_compte

exacte-ment des

_expériences

de

Stern,

ce

_qui

nécessiterait un

long

calcul,

elle conduit à un moment

_magnétique

_pour

le

_proton

_supérieur

à un

_magnéton

nucléaire au lieu de 1 par

l’équation

de Dirac. De

_plus,

elle

_permet

deux

valeurs pour le

spin

du

_{proton : 1/2}

et

_3/2,

ce

_qui

donne deux états du

_proton,

en accord avec

1’liypo-(1) Comptes /tendus, 199, la34, p. 813.

thèse que G. Petiau

(1)avait

émise dans sa classification des noyaux

atomiques.

9. Conclusions. - Ces diverses considérations

mettenten valeurla très

_grande

_importance

de la notion de centre de

_gravité

en

_Mécanique

ondulatoire. Elle

nous ont amené aux

_principaux

résultats suivants : 11 Le centre de

_gravité

se

_comporte

_presque comme

un

_corpuscule

_lourd,

c’est-à-dire doué de la masse

totale du

_système.

Il existe de nombreux théorèmes faisant intervenir le centre de

_gravité

et venant

corres-pondre

à des théorèmes de la

_Mécanique

_classique.

2° En

_général,

le

_produit

des incertitudes sur la

position

du centre de

_gravité

et sa

_quantité

de

mouve-ment est

_{plus grand}

que pour un

_corspuscule

_isolé,

c’est-à-dire que les relations d’incertitude

_{de Heisenberg}

sont non seulement vérifiées pour le centre de

_gravité,

mais encore la

borne h

est

_{trop faible,}

et doit être

27U

, h

remplacée

_par

a.

’it

3° Pour des

_potentiels

convenables dont nous avons

donné

_{l’expression,}

il y a

_séparation

entre le mouve-ment du centre de

_gravité

et le mouvement relatif. Dans ce cas le centre de

_gravité

se

_comporte

_{rigoureusement}

comme un

_corpuscule

doué de la masse totale.

4° Dans un cas, _que nous avons

_appelé

cas de

_quasi

séparation,

bien

_{qu’il n’y}

_{ait pas}

_séparation,

on

_peut,

avec une certaine

_{approximation,}

en utiliser les résul-tats dans l’étude du mouvement du

_système.

5° De même

_qu’en

_mécanique

_classique

on

_peut

considérer la

_cinétique

comme une branche

_logiquement

autonome de la

_dynamique,

_{et y} faire rentrer les

théo-rèmes se

_rapportant

aux

_{grandeurs cinétiques}

attachées

au centre de

_gravité,

comme les théorèmes de

_Kônig,

on

peut

en

_mécanique

ondulatoire édifier une

_cinétique

logiquement indépendante.

Cette construction est réa-lisable sous deux formes bien distinctes : l’une

_que

nous

_{avons appelée la}

«

_{cinétique o p éralorielle}

_», et

_qui

est basée sur la notion

_{d’opérateurs correspondamment}

fournit des relations entre

_{opérateurs ;}

l’autre la

_{cinétique quantique,}

_{qui s’appuie}

sur les

_postulats

de

quantification, s’occupe

des valeurs

_possibles

_pour une

grandeur cinétique,

et des relations entre les valeurs des diverses

_grandeurs

_cinétiques.

6~ On

_peut,

dans certains cas _que nous avons

_précisés,

étendre à la

_mécanique

de Dirac les théorèmes du

centre de

_gravité.

En

_appliquant

ces résultats à la théorie du

_photon

de Louis de

_Broglie,

on _{trouve que} son

_équation

_{n’est autre que celle du centre de}

_gravité

des deux constituants. D’autre

_part,

on _{trouve que le}

spin

du centre de

_gravité

est la somme des

_spins

des divers

_corpuscules

du

_système.

Ce

_{résultat peut}

être uti-lisé dans _{la théorie du noyau. En}

_{particulier,nous}

avons

donné, moyennant

certaines

_hypothèses,

une

_équation

de mouvement pour le

proton

supposé complexe.

(1) J. de 5, p. 426.