Définition et propriétés du centre de gravité en mécanique ondulatoire

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Définition et propriétés du centre de gravité en

mécanique ondulatoire

Jean-Louis Destouches

To cite this version:

DÉFINITION

ET

PROPRIÉTÉS

DU

CENTRE DE

GRAVITÉ

EN

MÉCANIQUE

ONDULATOIRE

Par M. JEAN-Louis DESTOUCHES.

(Institut

Henri-Poincaré,

Paris).

Sommaire. 2014 Nous donnons d’abord une définition du centre de gravité d’un _système de _corpuscules

en _{Mécanique Ondulatoire, puis} nous étudions sa _{position moyenne et} son écart quadratique moyen. Ayant

constaté _qu’il se _comporte comme un _corpuscule lourd et que son mouvement satisfait aux relations d’in-certitude de Heisenberg, nous cherchons à décrire son mouvement au moyen d’une équation d’ondes.

A l’aide de la notion d’opérateurs « _{correspondamment égaux »,} nous établissons en mécanique ondu-latoire des _systèmes un certain nombre de théorèmes _analogues par la forme de leur énoncé à des théorèmes de _{mécanique classique, parmi lesquels} des théorèmes _analogues à ceux de _Koenig.

Puis nous établissons l’équation d’ondes du mouvement du centre de gravité, ainsi que celle du

mou-vement relatif autour du centre de gravité.

Nous citons comme _exemple le cas d’un _système de deux corpuscules et montrons comment s’introduit la masse réduite.

Enfin, grâce à la notion de centre de gravité, nous _{pouvons définir d’une façon précise} un « _corps solide parfait » _{ainsi que les différents systèmes} de la _{mécanique classique, et poser nettement le problème} de leur existence.

~ . Définition du centre de

_gravité.

- Plusieurs

définitions

_peuvent

être

_envisagées

pour le centre de

gravité

d’un

_système.

10 On

_pourait

le définir comme étant le centre de

gravité

au sens

_classique

des

_points

_{moyens du}

sys-tème,

c’est-à-dire en

_désignant

_par

_Mi

le

_{point figuratif}

du ime

_corpuscule,

_par

_Mi

la

_position

_{moyenne du}

point

de masse _mi. On aura à

_chaque

instant :

Mais ce

_point

_G1,

_pas

_plus

_{que les}

_points

_llli,

n’a de réalité

_physique,

et nous devons chercher une autre

définition,

faisant intervenir directement les

_points

_Mi

et non leur

_position

_moyenne.

2° On

_pourrait

définir le centre de

_gravité

comme

étant un

_point

doué de la masse totale du

_système

et soumis aux lois de la

_mécanique

ondulatoire,

y et de

plus

tel que, si à un instant to, on localise tous les

cor-puscules

du

_système,

le

_{point Gz}

est à cet instant le centre de

_gravité

au sens

_classique

des

_corpuscules

localisés.

Cette définition ne _{semble pas convenir parce que,}

si on localise à un autre instant to tous les

_corpuscules

du

_système,

rien ne _{prouve à}

_priori

_{que leur} centre de

gravité

au sens

_classique

à cet instant soit le

_point

G2.

Cette définition est donc défectueuse.

3° De

_beaucoup

_préférable

nous

_paraît

être la défi-nition suivante.

_Si,

à un instant

_quelconque,

on loca-lise tous les

_corpuscules

du

_système,

le

_point

G est le

centre de

_gravité

au sens

_classique.

Autrement

_dit,

nous

_appellerons

centre de

_gravité

le

_point

défini à

chaque

instant par -

-Mais alors le

_point

G ne sera localisé

_qu’aux

instants où tous les

_corpuscules

du

_système

le seront. Comme les

_{points lVl;,}

ce sera un

_point

aléatoire.

Pour bien montrer l’intérêt

_qu’on

a à considérer ce

point

G,

nous allons calculer sa

_position

_{moyenne et}

l’écart

_quadratique

_{moyen autour de cette}

_position.

Soient xi, y;, zi les coordonnées du ime

corpuscule,

X,

Y, Z,

celles

_{de G,}

_{et posons :}

G étant à

_chaque

instant le centre de

_gravité,

on a :

2. Méthode des

_paramètres

surabondants.

--Soit

(xi,

z, , .. ,

t)

la fonction d’ondes du

sys-tème ;

effectuons le

_{changement de}

variable dans cette

,fonction.

Nous définirons ainsi une

_{fonction y}

telle

que :

Dans la

_{fonction p}

ainsi

_obtenue,

au lieu

_qu’il

figure

3 n variables

_{(coordonnées),}

il en

_{f igure 3 (n + 1)}

dont seulement 3 n sont

_{indépendantes}

_{par suite des}

relations ci-dessus

_qui

constituent des

_équations

de liaison. Ceci nous amène à étudier

_rapidement

la

321

thode

_d’emploi

de

_paramètres

surabondants.

Ici,

au

lieu d’un espace de

configuration

à 3 n

_dimensions,

nous en avons un à 3

_{(n -I-1)}

et les

_équations

de

liai-son écrites

_plus

haut déterminent une

_{multiplicité}

li-néaire à 3 n dimensions dans cet _espace, et la fonc-tion y est une fonction de

_point

sur cette

_{multiplicilé}

linéaire.

Les

_{intégrales multiples}

_qui

_{interviennent pour} calculer à

_partir

de la

_{fonction 9}

des

_grandeurs

méca-niques

et des éléments de matrice ne _{seront pas des}

intégrales prises

sur tout

_l’espace

à 3

_{(n + 1)}

dimen-sions,

mais une

_intégrale

de

_{multiplicité}

3 n

_prise

sur

l’ensemble des

_points

de la

_{multiplicité}

considérée,

pour

lesquels

la

_{fonction ?}

est définie. L’élément de

volume de cette

_{multiplicité,}

ainsi que la fonction à

intégrer, pourront

s’exprimer

en fonction de 3 n

varia-bles

_{indépendantes qu’on}

_pourra

_{prendre parmi}

les X

et 1;

par

exemple.

D’une

façon

générale,

si l’on a un

_système

à k

de-grés

de

_liberté,

c’est-à dire à k variables coordonnées

indépendantes,

et

_qu’il

_figure

_~n

_paramètres

_{(p 1 k)}

dont p -

ic

_{surabondants,}

liés _{par p -} k relations dites

équations

de

liaison,

les

_{intégrales multiples qui}

interviennent ne _{devront pas être des}

_intégrales

p-uples prises

à travers tout

_l’espace

de

configura-tion,

mais des

_intégrales

_k-uples

_prises

sur la

mul-tiplicité

à k dimensions _{déterminée par}

_{les p - k}

équations

de liaison.

En

particulier,

nous _pouvons considérer comme

figurant parmi

les n variables

_{indépendantes}

_{X, Y,}

_Z,

et poser :

dT,

étant par

exemple exprimé

au _{moyen des}

_~i.

La

probabilité

de trouver le

_{point représentatif Il-/l}

_du sys-tème dans un élément d-r de la

_{multiplicité}

considérée

est : ~~~ d :. On voit immédiatement que la

probabi-lité d’une

_position

du

_{point G}

est

_égale

à

3. Position _moyenne et écart

_quadratique

moyen du centre de

gravité.

- Ceci

établi,

nous

pouvons calculer la

position

moyenne du

point

f~ et

son écart

_quadratique

_{moyen. Effectuons les calculs} pour la coordonnée x. On a alors :

De cette

_expression,

on voit de suite que la

position

îïtoyeîïne du

point

G est le centre de

_gravité

des

posi-tions _nioyennes. Autrement dit :

Oit

_désignant

la masse totale du

_système.

Calculons l’écart

_quadratique

_moyen autour de cette

position

qui

nous

_renseignera

sur

_{l’approximation}

à

laquelle

le

_{point G}

suit un mouvement

_classique.

Nous

avons _pour

ou, en

_employant

la notation de

_{l’espérance}

mathéma-tique E :

,

, --- _!:’II. "

D’où ~

Posons :

et

_désignons

_par le coefficient de corrélation :

d’où :

Les

_{xj peuvent}

être d’un ordre de

_grandeur

très

variable,

certains

_{négligeables,}

d’autres du même ordre de

_grandeur

_{que les ox;.}

_{L’expression}

_{de 7tij}

montre, en

effet,

que sa valeur est directement liée au

_potentiel

d’interaction entre les

_{corpuscules figurés par les points}

Mi

et

_Mi

_{par suite de la}

_présence

de _{la fonction ~. Si} les

_corpuscules

_Mi

et

_Mj

sont sans

_interaction,

on véri-fie aisément que la

fonction ?

se

_décompose

en

_produit

de deux

_fonctions,

l’une contenant les coordonnées de

lYl;,

l’autre celles de

_Mg,

et alors

_1tij

est nul. D’autre

part

comme tous les

_potentiels

rencontrés en

_physique

décroissent

_rapidement

avec la distance

(en -

dans le

r

cas de la loi de

_Coulomb),

si les

_points

_Ali

et sont

éloignés 7tij

sera très

_petit.

Si notre

_système

est

_composé

d’un

_grand

nombre de

corpuscules,

comme nous l’a _{fait remarquer M. Francis}

Perrin,

il

_n’y

a

_qu’un

nombre restreint de ceux-ci

_qui

se trouvent suffisamment

_{t près}

d’un

_corpuscule

donné

JJlli

pour

_{que 7,ij}

ne soit pas

_négligeable

devant (¡xi

c’est-à-dire pour que le coefficient de corrélation

_rxij

ne

soit pas très

petit

devant l’unité. _{Si la densité moyenne} des

_corpuscules

ne

_présente

_pas, en certains

_points,

de

Considérons maintenant un

_système

où tous les

corpuscules

ont la même

_{masse. (Ceci}

est

_justifié

du fait que les

particules

élémentaires connues actuellement

ont des masses très

voisines,

soit de

l’électron,

soit du

proton,

de sorte

_qu’on

_peut

diviser un

_système

quel-conque en deux

_systèmes

dont toutes les

_particules

ont

approximativement

la même masse,

puis

ensuite

prendre

le

_barycentre

des deux centres de

_gravité

obte-nus).

Si donc toutes les

_particules

ont la même masse,

la dernière formule nous

_donne,

_{s’il y} a it

_corpuscules.

Désignons

par

crx 2

la moyenne

aritmétique

des

’:ixi2;

un

_produit

_exï

crx.i

sera de l’ordre

_de,7,,

et nous _pouvons

écrire :

°

r’ij

étant la valeur

_corrigée

_{de rj}

_lorsqu’on

substitue

a.2

à 6xz D’où :

mais

_parmi

les

_d’après

ce

_{qui précède,}

seulement l~ valeurs

_{de j}

sont à ne _pas

_négliger

_pour

_chaque

valeur de i. Il

_n’y

a donc

_qu’à

tenir

_compte,

au lieu des n

_{(n -1)}

termes

_r’xij,

seulement de

_Désignons

alors

par r,, la moyenne

arithmétique

de ces nk coefficients de corrélation Nous arrivons à :

rx peut

s’appeler

coefficient de corrélation moyen entre les

_positions

de deux

_corpuscules

en interaction non

négligeable; k

est un nombre au

_plus

de l’ordre de

quel-ques dizaines

qui

devient

_indépendant

de n

_{iorsque n}

est suffisamment

_grand

devant l’unité.

Ainsi l’érart

_{quad1 atique}

_{moyen du} centre de

_gravité

d’un

_système

d’un

_grand

nombre n de

_corpuscules

de masses

_identiques

tend vers zéro suivaîit

lorsque

n

_augmente.

4.

Quantité

de mouvement du centre de

gra-vité. - Considérons maintenant la

quantité

de

mouve-ment du

_point

G. Sa _{valeur moyennne} en vertu du théorème

_{d’Ehrenfest,}

et de l’identité de G et de

Gi,

est

égale

à la somme des

_quantités

de mouvement

moyennes.

--Par

_analogie

avec ce mouvement

_classique

nous sommes _{conduit à penser}

_qu’à

tout instant où ton

effectue

une mesure la valeur de la

_quantité

de

nlouve-ment du

_point

G est

_égale

à la somme des

_quantités

de

moiivemeîil de

_{chaque corpuscule.}

Nous dém6ntreroiis

plus

loin que cette

_supposition

est exacte.

Evaluons alors l’écart

_quadratique

moyen de P. Si

AP est un _{écart autour de la valeur moyenne, il} sera

égal à

la somme des écarts

_AI)j

_{des 1),}

autour

_{de pu}

On a alors comme écart

_quadratique

_{moyen :}

Comme

_{précédemment}

les termes

_rectangles,

_que

nous

_désignerons

_par

_7,pis

ne sont _{nuls que si le}

rocou-vement t du

_point

_M;

est

_indépendant

de

_M-,

*

Nous avons donc :

Donc,

dans un

_système,

le carré de l’écart

quada-tique

moyen de la

quantité

de mouvement du centre de

gravité

est

_supérieur,

ou au niotits

_égal,

à la som’1ne

des carrés des écarts

_quadratiques

des

corpus-cules du

_système.

Le raisonnement que nous avons fait pour le calcul

de sx se

_transpose

ici et le nombre k à

_adopter

est le

même. Nous

_désignerons

par

crpx2

la moyenne

arithmé-tique

des et nous _{poserons :} -.

-Nous tiendrons

_compte

comme

_{précédemment}

de nk coefficients

_{rpjj parmi}

les n

_(n

_-1)

et nous

_désignerons

par rp~ leur moyenne

arithmétique;

d’où :

L’écart

_7,

_augmente

_{proportionnellement}

cc la racine carrée dit nombre de

_corpuscules

du

_système,

ceci

indé-pendan111len t

de teur masse.

Cette relation

_rapprochée

de _{celle obtenue pour,7,,,} nous

montre que les incertitudes sur la

_jJosition

et la

_quantité

de mouvement du

_point

G

_{satis font}

à des relations

d’in-certitude

_plus

_{restrictives que} celles de

_Heisenberg.

En effet :

-et _{de même pour les}

_composantes

suivant les axes

_{0 c~}

et 0 z. Ces relations d’incertitude sont à

_rapprocher

de celles d’un

_{corpuscule lié,}

_par

_exemple

électron d’un

atome pour

lequel

on a

₍₁₎

n étant _{le rang du niveau}

_{d’énergie :}

ce n’est que pour un

_corpuscule

libre

qu’on

a :

(1) HEISENBERG. Les _{principes physiques} de la théorie des quanta

323

Ainsi on ne

_peut

déterminer simultanément avec

précision

la

_position

et la

_quantité

de mouvement du

centre de

_gravité

d’un

_système,

et l’incertitude est

_plus

grande

que pour un

_{corpuscule libre,}

sauf dans le cas

où les diverses

_particules

seraient sans interaction l’une

sur

l’autre,

mais dans ce cas elles ne forment pas

véri-tablement un

_système.

Ceci

_n’empêche

_{que le}

mouve-ment du centre de

_gravité

se

_rapproche

_davantage

de

celui d’un

_point

matériel de la

_{mécanique classique}

_que le mouvement d’un

_corpuscule,

car ce

_{qui compte}

_pour mcsurer la validité de

_{l’appraximation classique}

est le

produit

des écarts

_quadratiques

_{moyens de la}

_position

et de _{la vitesse : Vx (¡L’j’.}

_Or,

on a :

et

_lorsque

tous les

_corpuscules

ont la même masse

Donc,

si le

_système

est constitué de

_particules

de même masse, alors que l’écart Cip

augmente

avec le nombre n de

_corpuscules

du

_système

suivant au

contraire,

l’écart

_quadratique

_moyeu de la vitesse

décroît

_lorsque

le de

_corpuscule

_aurn?ente

propoi-ttoîïîïelleiiieiii

à

On en _{déduit que :}

Toutes ces relations donnent une certaine réalité au

centre de

_gravité

d’un

_système

de

_corpuscules,

en

montrant

_qu’il

satisfait à des relations d’incertitude de même

_{qu’un corpuscule.}

Ensuite elles établissent que si le nombre de

_corpuscules

du

_systèrne

_augmente,

c’est-à-dire si la niasse du

_système

_aucrraente,

l’écart

quadra-tique

moyen sur les coordonnées et sur la vitesse tend vers

_zéro,

et le rnouvement du centre de

_gravité

G tend

vers un mouvernent

_classique.

D’une

façon

plus précise

nous _{dirons que le}

_point

G suit un mouvement

_classique

à

_si,7;.

_ci, ê. On

voit que la condition ne _{pourra être}

_remplie

_{que si la} masse totale mi est suffisamment

_grande.

5.

_{Opérateur quantité}

de mouvement du

centre

de

_{gravité. -}

_Puisque

nous venons de voir que le mouvement du centre de

_gravité

G d’un

_système

satisfait à des relations du genre de celles de

Heisenberg,

nous _{pouvons chercher à décrire} son mouvement au

moyen d’une

équation

d’ondes. Pour y

parvenir,

nous

allons

_partir

de

_{l’équation}

d’ondes du

_système.

dans

_laquelle

et

Ecrivons cette

_équation

d’ondes au _{moyen des}

va-riables A"

_{et 1,}

au lieu des ai. Pour cela calculons la

variation

_1§

==

2D

de la

fonction ,1

_

~. Nous avons :

et

En vertu des

_équations

de liaison entre

_~,

les

_’i,

_{les Xi}

on a :

d’où :

et

ce

_qui

donne

_{l’expression correspondant}

au ièrue

mo-ment avec les nouvelles

_variables,

en

_{posant :}

l’égalité

vectorielle :

Pour

_simplifier

l’écriture et l’énoncé des

théorèmes,

si ~

est

_{l’expression}

tl une

_{fonction tl., 1}

avec d’autre

variables,

et si A est

_{l’expression}

d’un

opérateur

B

avec les nouvelles variables tel que =

pour

tout ?

opérable

par A et

_opérable

_par B tel

que ? =

_ut

_{nous conviendrons d’écrire}

que nous énoncerons : « _A

_{correspOUdaJ1lnzellt é,qal}

ù B ».

Nous voyons alors que

l’expression précédente

peut

s’écrire :

Il faut tenir

compte

du fait que toutes les variables

Çi

ne sont pas

_{indépendantes,}

mais sont liées par la

Nous

pouvons n’avoir que des variables

indépen-dantes en

_{posant :}

Soit + la nouvelle fonction d’ondes

_exprimée

en

fonction des variables X

_{et Xi :}

nous avons :

et

_d’après

la définition de

_Xi

d’où :

nous en _{déduisons que :}

ce _que nous écrivons :

Donc le

_{terme 1 zui}

_{disparaît lorsqu’on}

réduit à des

variables

_{indépendantes,}

_{c’est-à-dire,}

avec notre

ter-minologie, qu’il

est

_{correspondamment}

nul.

_(Sa

valeur moyenne est évidemment

_nulle.)

On

_peut

donc se

dis-penser de

l’écrire ;

ceci

_ayant

_{lieu pour}

_chaque

compo-sante,

nous en tirons :

+

Nous voyons alors que

l’opérateur

P

correspond

à la

_quantité

de mouvement du centre de

_gravité.

En

effectuant une sommation sur l’indice

_i,

nous

retrou-vons

_l’analogue

d’un théorème de

_{mécanique classique :}

l’opérateur quantité

de mouvement du centre de

_gravité

est

_{correspondamment égal}

à la soni nie

_{géonlétrique}

des

opérateurs

quantité

de mouvement de chacun des

cor-puscules

du

_système.

Nous avons en effet en effectuant une sommation

sur l’indice i :

car _{par suite} d’une relation

_précédente

les termes en

ci

disparaissent.

Mais de

plus

nous _{allons établir que :}

La valeur d’une

_composante

de la

_quantité

nient

_Px

est

_{effectivement}

_égale

à la somrr2e des valeurg

des

_composantes

_Pxi.

Nous avions énoncé au début ce théorème sans en

donner de démonstration.

Il résulte d’un théorème sur _{les valeurs propres : si}

A et B sont deux

_opérateurs

intéressant des variables

distinctes, a,

et ~,

leurs valeurs _{propres, ?,} leurs fonctions propres.

l’opérateur

A

₊

B a _{pour valeurs propres ai}

_{+ 5j}

et

fonctions propres yi

Xjo

En effet

les i,,i

et

Zj

ayant

leurs

arguments

indépendants,

on a :

donc si A a la valeur propre ai, B _{la valeur propre}

_~i,

A

+

B aura _{pour valeur propre ai}

₊

_~3~.

Ceci s’étend

de suite au cas de n facteurs et si en

_particulier

A,

_B,...

sont les _Pxi notre théorème se trouve démontré.

6.

_Opérateur

force vive. - Pour obtenir la

nou-velle

_expression

de

_{l’opérateur}

H nous devons d’abord

- _{1 ->}

.

calculer

_puis

faire la

somme -

c’est-à-dire

ni;

calculer

_{l’opérateur}

force vive.

+

En élevant au carré

_{l’expression qui}

donne _Pi c’est-à-dire en calculant on a :

Nous obtenons

_{l’opérateur}

force vive 2 T au _moyen

d’une sommation :

+ +

car les termes en

_{disparaissent}

dans la

somma-+

tion

_{puisque 1}

est

_{correspondamment}

nul. Nous trouvons donc en

_mécanique

ondulatoire un théorème

qui correspond

à celui de

_Iiocnig

dans l’ancienne

mé-canique,

sur la force vive. Nous l’énoncerons :

«

L’opérateur

force

vive

_système

est

correspon-damment

_égal

à

_{l’opérateur force}

vive d’un

_carpuscule

situé au centre de

_gravité

et do2cé de la niasse

_totale,

augmenté

de

_{.r opérateur force}

vive du

_système

dans le

mouvement

_’relatif

à des axes de direction

fixe

nzenés par le centre de

_gravité.

De ce

_théorème,

on tire de suite le nouvel

opérateur

h01l1iltonien

H,

nous aurons :

Ayant

la nouvelle

_expression

H de

_{l’opérateur}

H,

nous obtenons de suite la nonvelle

_équation

d’ondes.

C’est :

Comme nous l’avons

déjà

dit, la

fonction y

contient

325

d’employer

la méthode que nous avons

_indiquée.

Ainsi sur un

_exemple

se trouve

_{complètement}

examiné le cas d’un mouvement avec

_paramètres

surabon-dants.

7.

_Opérateur

moment

_{cinétique. -}

Pour un

cor-puscule

Il l’opérateur

moment

_cinétique

_par

_rapport

»

’

à un

_point

0 est

_OMi.

_1B

_pi et par

rapport

à un axe

+ +

(-

_+j

ou dont ut est le vecteur

unitaire,

est u.

1B Pi

c’est-à-dire

_{l’opérateur projection}

du monent _par

rap-port

à 0 sur OM.

Nous définirons

_{l’opérateur}

moment

_cinétique

d’un

système

comme

_{l’opérateur}

vectoriel somme

géométri-que des moments

cinétiques

des divers

_corpuscules.

En

_appliquant

le théorème sur les

_spectres

d’opéra-teurs

_auquel

nous avons

_déjà

fait

_appel

_pour

l’opéra-teur

_P,

nous _{voyons que la valeur d’une}

_composante

du

moment

_cinétique

du

_système

est effectivement la

somme des valeurs de

_chaque

_composante

des moments

cinétiques

des divers

_corpuscules.

Ceci étant vrai pour

chaque composante,

il en résulte que la valeur du

momertt

_cinétique

d’un

_système

est

_{effectivernent}

la

som-me géométrique

des valeurs des moments

_cinétiques

des

divers

_{corpzcscules.}

Nous allons

_parvenir

_pour

_{l’opérateur}

moment

ciné-tique

à un théorème

_{correspondant,en}

_mécanique

clas-sique,

au théorème de

_Koenig.

En effet :

-- ->

Comme OM = OG -)- GM et que 2013

0. la somme dans

_{l’expression}

_précédente

se transforme en deux

sommes dont l’une est

_{correspondamment}

nulle,

ce

_qui

donne :

d’où cet énoncé :

1,,opérateur moment cinétique

duit

_système

de corpus-cules par à un

_point

0 est

_{corresporzdamme7ct}

égal

au montent

_cinétique

de son centre de

_gravité

doué de la niasse

_{totale, augmenté}

de

_{l’opérateur}

cinétique

du

_système

dans son mouvement

_rapporté

aux axes nieiiés _par le centre de

_gravité

_{parallèlenient}

aux axes

_primitifs.

8.

_Equation

du mouvement du centre de gra-vité. - Si l’on considère

X, Y, Z,

comme des bles

_{indépendantes,}

les

_Çi,

_-ri,

_~i

se trouvent chacun liés par une

_équation.

Soit A un

_{opérateur mécanique}

lié au

mouvement du centre de

_gravité.

Il ne

_dépendra

_que

de

_{X, Y,}

Z. Par

_conséquent,

_lorsqu’on

voudra connaître

les

_{probabilités}

des diverses valeurs

_possibles

de la

grantleur

A,

on devra au

_préalable,

suivant le

principe

de

_{décomposition}

_spectrale

sous sa forme

_générale,

intégrer

p sur l’ensemble des

_{variables Ei}

de

_façon

qu’il

ne reste

_qu’une

fonction de

_{X, Y,}

Z.

Considérons maintenant le cas

_particulier

où W est le

produit

d’une fonction 1>

_{(... ,}

_t)

et d’une fonc-tion W

_{(~I’, Y, Z, t)}

Si nous

_portons

dans

_{l’équation}

d’ondes du

_système,

nous obtenons

Si nous

_multiplions

à

_gauche

_par 4~

_puis

si nous

inté-grons sur l’ensemble des valeurs des variables ...

_~,

rz,

~i ...

la fonction 4J étant

supposée

normée pour que ?

le soit

_aussi,

nous obtenons

_après

cette

_intégration

l’équation

d’ondes du mouvement du centre

_âe

_gravité

qui

est :

en

_posant

et

d 11

étant l’élément d’étendue de la

_{multiplicité}

à 3

_(~2

-

1)

dimensions déterminées par les variables

~i,

1)i’

1;.

Nous devons faire remarquer que comme la fonction

~ est ici

égale

au

_produit

m. ~’ en

_{l’intégrant}

sur les

variables autres que

X, Y, Z,

nous obtenons la fonc-tion ~’

_puisque

On trouvera en utilisant

_{l’équation}

ci-dessus conte-nant _{seulement les mêmes valeurs pour les}

_grandeurs

mécaniques

attachées au

_point

G que si l’on

considé-rait

_{l’équation}

d’ondes du

_système

et la fonction 4$. C’est donc bien

_{l’équation}

_que nuus avons écrite

_qui

est

celle décrivant le mouvement du

_point

G dans le cas où la fonction d’ondes totale est

_égale

au

_produit

de deux fonctions

9.

_Equation

du mouvement relatif autour du

centre de

_gravité.

- Si

au contraire nous

_intégrons

obtenons la fonction 4) et si dans

_{’.’équation d’ondes,}

au lieu de

multiplier

à

_gauche

_{par (1)* nous}

_multiplions

par T

et _que nous

_intégrons

sur

X, Y, Z,

nous

obtenons,

pour des raisons

analogues

à celles données pour

l’équation

du mouvement du

_point

G,

l’équation

clu

mouvement relatif autour du centre de

_gravité.

Nous trouvons alors

en

_{posant :}

et

Nous obtenons bien ainsi

_{l’équation}

du mouvement relatif autour du centre de

_{gravité qui}

contient trois

paramètres

surabondants.

Maintenant que nous avons les

_équations

des deux mouvements

_(mouvement

de G et mouvement relatif

autour de

_G),

nous _{pouvons donncr d’autres}

_expressions

des

_potentiels

en ne _{faisant intervenir que des}

potentiels

et leurs valeurs moyennes. En effet on a :

d’où :

et de même :

clonc :

prenons les valeurs moyennes cle

V~

et nous

obte-nons : ,

Mais on voit que

_VG

et

_Vr

sont

_égaux

à la valeur

Inoyenne V

de V

_prise

dans tout

_l’espace

de

configura-tion :

d’où encore une autre

_expression

de

_VG

et

_V,

10. Théorème

_général

sur le

_mélange

des

mou-vements. - Nous avions

_supposé

_que

mais, en vertu des conditions

_imposées

aux

_opérateurs

et à

_l’espace

des fonctions

d’ondes,

il est

_toujours

possible

d’écrire p

sous la forme d’une somme de tels

produits

°

car si

_4)i

est la fonction d’un

_système

de base

ortho4’-normal

_complet

_{pour les} fonctions

_1>,

et W

_{la jeme}

fonc-tion d’un

système

de base orthonormal

_complet

_pour les fonctions

_1¡r,

le

_{système des (Pl}

_{W j}

est aussi

ortho-normal,

et il

_paramétrise

tout

_l’espace

des

_{fonctions ?}

car, pour tout

point

X~

Y,

Zt,

la fonction y est

dévelop-pable

dans le

_système

de base

_{des 4J; :}

et la

_{série )}

_Yo,

_Zo,

_t)

_{converge ; ceci} a lieu

pour tout

_point

Xo Yo Zo.

D’autre

_part,

le

_système

des

_Pi

_i étant

orthonormal,

on a : ,

Il _{s’ensuit que chacune des} fonctions

_{Y, Z,}

_t)

est de carré

_{sommable ;}

elle est donc

_{développable}

en

série dans le

_système

de base des

le

_{développement des ai}

est

_unique,

de même celui de

~,

donc ?

est bien

_{développable}

en série de la forme :

Mars si nous considérons un

_{point Elo,}

... la

fonction p

sera

_{développable}

en série dans le

système

de base des

_{4J . :}

y étant

normé, bi

sera de carré

sommable,

donc

déve-loppable

dans le

_système

de base des

_{4J; ;}

ceci conduit à

un

_{développement}

on a

_{bien aii}

=

bji et

le

_{développement}

est

_unique

car:

Nous parvenons alors au résultat suivant :

1-’oul r7zouvemertt

_peut

être coitsidéi-é

un

_mélange

de produits

d’ult mouventent autour

du centre de

_,gravité

_pa1’ un rnouvernent du centre de

gravité.

Ces théorèmes sur le mouvement du centre de

_gravité,

sur le mouvement relatif et sur le

_mélange,

conduisent

à

_définir

une méthode

_{d’approximations}

successives

pour

le mouvement du

_{systèlne :}

-. on

_partira

d’une

valeur

_{approchée VGo}

du

_{potentiel VG,}

d’où une valeur

327

seconde valeur

_{VGt, puis}

et 1 ainsi de suite. Nous

nous bornons ici à en

_indiquer

le

_principe

sans en dis-cuter les conditions

_{d’applications}

et _{la convergence,}

ce

_qui

nous ferait sortir du cadre de ce travail. Nous

y reviendrons par ailleurs.

11. Moravement d’un

_système

_{de deux} corpus-cules. - Comme

_application

de ce

_qui

_précède,

nous

allons considérer le cas où le

_système

est formé de deux

corpuscules

seulement. On aura :

on a :

et :

Posons :

nous trouvons comme

_{opérateur énergie cinétique}

du

mouvement :

1

En calculant

_~,~

en

_employant

les diverses

variables,

nous trouvons :

Donc :

Nous parvenons à un résultat

_analogue

à celui de la

mécanique

classiclue,

en

_désignant

_{par [1. la} masse

réduite :

car nous obtenons :

D’où nous _{déduisons que le} raozcverraertt d’un

_systèîîte

de deux

_corpuscules

autour de leur centre de

_gravité

G

est

_{équivalent au}

mouvement d’un

_{corpuscule unique,}

de

masse

_égale

à la masse

_réduite,

tournant autour du

point

G.

12. Définition

_précise

d’un corps solide et de l’état

macroscopique

d’un

_{système. -}

Soit un

système

de

_rorpuscules

dont la masse totale est ec. Considérons-le comme formant deux

_systèmes

de masse

totale de même ordre de

_grandeur,

c’est-à-dire

_égale

1>1 étant

petit

devant Jl1 et cette

décomposition

étant faite de toutes les manières pos-sibles. Nous dirons

_qu’il

constititue uîz _{corps solide}

parfait

près

si : Il Les

_positions

_{moyennes des}

di-vers centres de

_gravité

de chacune des deux

_parties

du

système

dans toutes les

_{décompositions}

faites sont à

des distances invariables au cours du

_temps.

2° _Le pro-duit de l’écart

_quadratique

_{moyen de la}

_position

de l’un

quelconque

des centres de

_gravité

ainsi obtenus autour de sa _{valeur moyenne est et demeure inférieur à} ~.

Or,

comme en vertu des relations d’incertitude :

un

_système

ne _{pourra être} un _{corps solide à e}

_près

_que

si sa masse est suffisamment

_grande

De

_même,

un

_système

satisfaisant à la condition

_2°)

sans satisfaire à la condition

1"),

mais pour

lequel les

positions

moyennes des centres de

gravité partiels

se

comportent

comme un _corps

_{élastique classique,}

sera

dit un _corps

_élastique

à F-

_près;

si les

_positions

_moyennes

se

_comportent

comme des

_pointa

d’un fluide de la

méca-nique

classique,

le

_système

sera dit un

_{fluide à E près.}

Ainsi, grâce

à cette

_{décomposition}

en deux

_systèmes

de masses à peu

_{près égales}

et aux

_propriétés

du centre

due

_gravité,

on

_peut

définir d’une

_façon

_précise

les

pro-priétés mécaniques macroscopiques

d’un

_système

d’un nombre suffisamment

_grand

de

_corpuscules.

Mais,

si nous avons

_indiqué

_{les conditions que} nous

imposerons

à un

_système

de

_corpuscules

_pour

_qu’il

soit

un solide

_parfait

àF-

_près

ou un solide

_élastique

à

_près,

nous n’avons pas

_{prouvé qu’il pût}

en exister et à

_priori

rien ne nous

_permet

de faire une telle

_supposition.

Il a

été

démontré,

en

_effet,

voilà fort

_longtemps,

_qu’en

mé-canique

classique

il n’est pas

possible

de constituer un

corps solide au _{moyen de}

_particules

entre

_lesquelles

s’exercent des forces centrales monotones.

Aussi un

_problème

fondamental se _{pose : Est-il}

pos-sible

_{qu’un système}

de

_corpuscules

soumis aux lois de la

_Mécanique

ondulatoire constitue un solide

_parfait

à

e

_près

ou un solide

_élastique

à s près #

)1. Francis Perrin croit à cette

_possibilité

_{par suite}

des résultats

_auxquels

conduit la théorie de la valence

chimique :

le fait ae

_{pouvoir justifier}

la notion de

va-lence

_dirigée

et d’introduire la notion

_d’angle

dans un

édifice

_{corpusculaire}

est

_déjà

un

_grand

_pas vers la

no-tion de corps solide.

Comme nous le montrerons dans un

_prochain

_travail,

et la

_Mécanique

Ondulatoire, non seulement au

_point

de vue

_physique

mais surtout au

_point

de vue

axioma-tique

et

_{philosophique.}

_{Mais ilne faut pas} se dissimu-ler que sa résolution

_présente

de très

_grandes

diffi-cultés.

13. Conclusion. - Nous parvenons donc aux

ré-sultats suivants :

1° Le centre de

_gravité

d’un

_système

de

_corpuscules

se

_comporte

comme un

_corpuscule

lourd.

2° Il existe de nombreux théorèmes sur le

mouve-ment d’un

_système

_qui

font intervenir le centre _de

gra-vité. Ils

_{correspondent}

à des théorèmes de la

_Mécanique

classique.

3° Son mouvement est

_régi

_par une

_équation

d’ondes dont nous avons donné

_{l’expression.}

4° Le mouvement relatif du

_système

autour de son

centre de

_gravité

_par

_{rapport à}

des axes fixes

_parallèles

aux axes

_primitifs

est aussi

_régi

_{par les lois de la}

Méca-nique

Ondulatoire.

51 Tout mouvement du

_{système peut}

être

_regardé

comme un

_mélange

de

_produitg

d’un mouvement du

centre de

_gravité

par un mouvement relatif autour du centre de

_gravité.

6° En

_décomposant

de toutes les

_façons

un

_système

en deux

_systèmes

de masse _{à peu}

_près

_égales

et en

considérant les

_positions

moyennes des divers centres de

_gravité

obtenus et leurs écarts

_quadratiques

_moyens,

on

_peut

définir les

propriétés mécaniques

macrosco-piques

du

_système.

Ainsi les théorèmes sur le centre de

_gravité

appa-raissent en

_mécanique

ondulatoire comme encore beau- .

coup

plus

importants qu’en mécanique classique,

car

outre leur rôle de

_simplifier

_{l’étude de certains} pro-blèmes et _{d’être par suite}

_susceptibles

de nombreuses

applications,

ils

_permettent

de relier la

_Mécanique

On-dulatoire à l’ancienne

_Mécanique.

Enfin,

au

_point

de vue de

_{l’axiomatique}

et des

prin-cipes

de la

_Mécanique

Ondulatoire et des théories

ato-miques,

ils

_permettent

_{de poser clairement le}

_problème

de l’existence de corps solides constitués de

corpuscules

qui

est d’un intérêt fondamental. Nous le

_préciserons

d’ailleurs dans un

_prochain

travail.

En terminant nous

_exprimons

à NI.

Louis de

_Broglie

nos bien chaleureux remerciements pour l’intérêt si

bienveillant

_{qu il}

a

_{toujours témoigné}

à nos travaux et sommes reconnaissant à M. Francis Perrin de ses

remarques si

judicieuses qui

nous ont été

_grandement

utiles.