HAL Id: jpa-00234023
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La notion de centre de gravité en mécanique ondulatoire
relativiste
Serge Slansky
To cite this version:
LA NOTION DE CENTRE DE
GRAVITÉ
ENMÉCANIQUE
ONDULATOIRE RELATIVISTEPar M. SERGE SLANSKY. Institut
Henri-Poincaré,
Paris.Sommaire. 2014 Le théorème de l’impulsion, qui peut servir à caractériser le centre de gravité en
méca-nique classique, reste vrai en mécanique ondulatoire, même si l’on ne suppose plus aucune relation entre les masses servant à définir le centre de gravité et les masses dynamiques des corpuscules. En mécanique ondulatoire non relativiste, il est possible d’identifier les deux sortes de masses grâce à une condition de séparation du mouvement du centre de gravité et du mouvement relatif. En mécanique ondulatoire
relativiste, cette condition ne s’applique plus, mais on peut en énoncer une autre en attribuant au
centre de gravité une coordonnée de temps.
La
considération du centre de gravité d’espace-temps d’unsystème de corpuscules de spin ½ permet de retrouver simplement l’ensemble des équations d’une
particule de spin supérieur, et d’expliquer certaines difficultés rencontrées dans la définition d’une densité de probabilité de présence pour des particules comme le photon.
1. Le centre de
gravité
et le théorème del’impulsion.
- Le centre degravité
d’unsystème
decorpuscules
decoordonnées x,,
yi, zi, et demasses m~
(i
==1, 2, ...,
.~,
a pour coordonnéesEn
mécanique
classique,
lapropriété
essentielle du centre degravité
résulte du théorème del’impul-sinon : Si on lui attribue une masse
égale à la
masse totale dusystème,
le centre degravité possède
une.
quantité
de mouvement
égale
à laquantité
de mouvement-
totale du
Il en résulte notam’Dent que dans le cas d’un
système
isolé,
c’est-à-dire en l’absence de forcesextérieures,
le centre degravité
a une accélération nulle.Cette
propriété
du centre degravité
se retrouveen
mécanique
ondulatoire. Si l’on considère unsystème
decorpuscules
et si au lieu descoordon-nées xi, yi, zi des différents
corpuscules,
onemploie
pour
représenter
lesystème
les coordonnéesX,
Y,
Z du centre degravité,
etles
coordonnées relativeson démontre facilement que l’on a les relations
opératorielles
L’opérateur correspondant
à laquantité
demouve-ment pi du
iieme corpuscule
ayant
pour compo-santes, ; r , -, ,
on est naturellement amené à
appeler quantité
de mouvement du centre degravité
l’opérateur
P decomposantes
Nous pouvons alors
écrire,
comme enmécanique
classique
P == ipi.
(’ )
Dans le cas d’unsystème
isolé,
les interactions nedépendant
que des coordonnées relatives commutent avecP,
par suite laquantité
de mouvement ducentre de
gravité
est uneintégrale
première,
donc a une valeur moyenne constante
(accéléra-tion
nulle.)
En
mécanique
classique,
le théorème del’impulsion
admet uneréciproque.
Considérons unsystème
decorpuscules
de masses mi, et cherchons à lui attacher unpoint
Gjouissant
des deuxpropriétés
suivantes : 10 G est un centre de moyennes distances despoints représentatifs
des différentscorpuscules,
obtenu en affectant cespoints
de certainscoeffi-cients ui;
20 En lui attribuant une masse
convenable,
il-a unequantité
de mouvementégale
à laquantité
de mouvement totale dusystème.
En
posant
il faut trouver un nombre K tel que
quelles
que soient les fonctionsxi(o,
cequi
n’est57
possible
que siDonc le
point
G ainsidéfini,
n’est autre que le centre degravité.
Enmécanique
ondulatoire,
il n’en estplus
de même. Eneffet,
la masse ducorpuscule
. ne
figure
pasexplicitement
dans
l’expression
del’opérateur quantité
de mouvement. Comme le calcul de laquantité
de mouvement du centre degravité
se faitsimplement
par la méthode duchan-gement
devariables,
sans faire intervenir la forme del’e quation
d’ondes,
la relation(4)
ne suppose pas que lesquantités
miqui
figurent
dansl’expres-sion
(1)
des coordonnées du centre degravité.
sont effectivement les massesdynamiques
des corpus-cules. La relation(4)
ne contenant pas les mi serait encore valable si on lesremplaçait
par des coef-ficients piquelconques.
’
Ceci montre que,
lorsqu’on
écritl’expression
des coordonnéesX, Y,
Z du centre degravité
en fonction de celles descorpuscules,
on n’est nullement certain apriori
que *puissent
représenter
laquantité
de mouvement d’uncorpuscule
qui
seraitplacé
en cépoint.
Par passage aux valeurs moyennes etapplication
du théorèmed’Ehrenfest,
onpeut
vérifier que cesopérateurs peuvent
effectivementreprésenter.
unequantité
de mouvement au sensclassique,
à condi-tion que les massesqui
servent à définir le centre degravité
soientprécisément
les masses(au
sensdynamique)
descorpuscules
dusystème.
Cettepropriété pourrait
fournir un moyen de caractériser le centre degravité
d’unsystème,
mais nous voulons chercher à le faireautrement,
en évitant autant quepossible
de faireappel
à lacorrespondance
avec lamécanique classique.
Pour établir une relation entre les
propriétés
du centre degravité
et les masses, nous devrons tenircompte
de la forme del’équation
d’ondes dusystème,
cequi
nous donne deux cas àconsidérer,
suivant que nous sommes enmécanique
ondula-toire non relativiste(hamiltonien
fonctionquadra-tique
despi)
ou relativiste(hamiltonien
linéairepar
rapport
auxpi).
2. Cas non relativiste. Condition de
sépara-tion. ~-- En
mécanique
ondulatoire nonrelativiste,
l’équation
d’ondes d’unsystème
decorpuscules
est(en
l’absence dechamp extérieur)
(ru
étant la distancedes
corpuscules i
etj.)
Si l’on
prend
comme nouvelles variables les coordonnéesX, Y,
Z du centre degravité
et lescoordonnées relatives 1,, vh, ~l. en
désignant
par mi’opérateur
quantité
de mouvement relative ducorpuscule,
défini par sescomposantes
on montre
(1) qu’on peut
écrire les relationsPar
suite,
l’hamiltonien H sedécompose
en deuxtermes,
dont lepremier
H G
== ’ P2
estl’hamil-tonien d’un
corpuscule
de masse M sitûé au centrede
gravité,
le second H,. ne2mi
contenant que les
opérateurs
attachés au mouvement relatif. Ce résultat suppose essentiellement que les miqui figurent
dansl’expression
(1)
des coor-donnéesX, Y,
Z sont effectivement les masses descorpuscules.
Si on lesremplace
par descoemcients pi
différentes,
il s’introduit dans H des termes en Pmi. Nous pouvons donc direqu’en mécanique
ondu-latoire nonrelativiste,
le centre degravité
d’unsystème
est caractérisé par la condition desépa-ration
(2) :
En l’absence dechamp
extérieur,
l’hamil-tonien dusystème
sedécompose
en une somme de deux termes dont l’un ne contient que lesopérateurs
attachés au centre degravité
et t’autre que ceux attachés au mouvementrelatif.
Lorsque
cette condition est réalisée(ce
qui
peut
aussi avoir lieu dans certains cas enprésence
d’unchamp
extérieur) l’équation
d’ondes dusystème
admet des solutions de la formeYr
étantrespectivement
des solutions deIl est donc
possible
deséparer
le mouvement du centre degravité
du mouvement relatif.3. Cas de la
mécanique
ondulatoire relati-viste. --~ Enmécanique
ondulatoirerelativiste,
on ne sait pas, en
général,
séparer
le mouvement du centre degravité
du mouvement relatif. Un corpus-cule estreprésenté
par une fonctiond’ondes ~
ayant
un certain nombre decomposantes § / (quatre
pour unélectron)
et l’hamiltonien est une fonction linéaire de p. Sapartie
«cinétique»
peut
se mettresous la forme v . p, les
composantes
de v étant des (1) J. L. DESTOUHES, J. de Physique, juillet 1934, 5, 7,p. 324.
opérateurs
agissant
sur lesindices i de ~
(pour
unélectron,
onpeut
lesreprésenter
par les matrices exde
Dirac).
Pour unsystème
de Ncorpuscules,
onaura une fonction d’ondes dont les
composantes
comportent
Nindices,
soit .... Lapartie
cinétique
de l’hamiltonien sera de laforme E vipl,
vi
agissant
seulement sur le indice de 1p’. On pourra bien mettre cetteexpression
sous la formemais V et les wiwiétant formés par des combinaisons des mêmes
opérateurs
V,,
on n’aura pas réalisé ladécomposition
de l’hamiltonien dusystème
en deuxparties indépendantes.
La condition parlaquelle
nous avons pu caractériser le centre degravité
enmécanique
ondulatoire non relativiste nes’applique
doncplus
dans le cas relativiste. La notion de centre degravité
n’aplus.
un sens aussi bien défini que dans le cas non relativiste.On
peut
cependant
convenird’appeler
quantité
de mouvement du centre degravité
laquantité
de mouvement totale dusystème.
4. Centre de
gravité
dansl’espace-temps.
Fusion d’unsystème. -
La définition habituelle du centre degravité
a l’inconvénient de ne pasêtre invariante pour les transformations de Lorentz. Pour conserver
l’invariance,
nous allons considérerun
point d’espace-temps qui
est invariant pour les transformations de Lorentz etqui
se réduit au centre degravité
au sens habituel dans le cas de la simul-tanéité.Considérons dans
l’espace-temps
unpoint
G de coordonnéesX,
Y, Z,
T,
défini comme le centre de moyennes distances despoints (x;,
yi, zi,ii)
représentant
les différentscorpuscules
affectés de certains coefficients pi, et cherchonssi,
endonnant
des valeurs convenables aux pi, il estpossible
de considérer dans certains cas que lesystème
estéquivalent,
globalement,
à une sorte decorpuscule
représenté
par lepoint
G.Nous nous contenterons de considérer un
système
formé decorpuscules
despin’-,,
mais ce cas estassez
général
si l’on admet que lescorpuscules
despin [
sont les seulsqui
soient descorpuscules
élémentaires,
ceux despin
supérieur
étant desparti-cules
complexes
(ceci
résulte de la thèse de M.Murard).
Considérons un
système
decorpuscules
despin .2
que, poursimplifier,
nous supposerons sansinter-action,
et écrivons leséquations
d’ondes avec untemps 1,
distinct pour chacun descorpuscules
et cherchons à déterminer les coefficients par la condition
suivante,
que nousappellerons
condition defusion.
Leséquations
d’ondes(10)
dusystème
admettent des solutions nedépendant
des coordonnéesd’espace-temps
descorpuscules
que par l’intermédiaire deX, Y, Z,
T.Des relations
(11~
nousdéduisons,
enposant
Comme doit être une solution de
(10),
nous devons avoirConsidérons deux des
équations
dusystème
(15),
parexemple
les deuxpremières.
Nous pouvons les mettre sous la formeEn dérivant la seconde
équation
parrapport
à T et en tenantcompte
de lapremière,
nous obtenonsNous n’avons donc de solutions
(non nulles)
que siEn
répétant
ce calcul pour toutes lespaires
decorpuscules,
nous voyons que lescoefficients pi
sont
proportionnels
aux mi, en valeur absolue. Onappelle
systétne fondu
(3)
unsystème
repré-sentable par un seulpoint,
et l’on admetgénéra-.
lement que cepoint
doit être le centre degravité
59
des constituants du
système,
mais pour éviterd’avoir
àpréciser
si les massesqui
interviennentdans la définition du centre de
gravité
sont bien les masses au repos descorpuscules,
on suppose souvent que les divers constituants dusystème
ont despositions
trèsvoisines,
cequi
permet
de confondrepratiquement
le centre degravité
avecn’importe quel
centre de moyennes distances.D’après
les résultats nous avons obtenus en nousplaçant
dansl’espace-temps,
nous voyons que, si l’on ne considére que des massespositives,
les massesqui
doivent intervenir dans ladéfinition
du centre degravité
sont les masses au repos descorpuscules.
Le double
signe qui
apparaît
dans la relation(18)
paraît
Iié à la forme deséquations
deDirac,
qui
pourraient
aussis’appliquer
à descorpuscules
demasse
négative.
Pour lemoment,
nous laisserons de côté le cas où l’on affecterait certainscorpuscules
de massesnégatives,
nous réservant de l’examiner ultérieurement dans une étudeplus approfondie
dessystèmes.
5. Les
équations
de laparticule
despin
1.----En faisant
les
équations (16) représentent
l’ensemble deséquations
d’ondes de laparticule
despin
total maximum i et de masse IVI =mi -~ m2, telles
qu’on
les obtient parexemple,
dans la théorie duphoton
(on
retrouve les notations de M. Louis deBroglie (4)
enremplaçant
par L~~ et parô3x.).
Ce résultat confirme l’idée bien connue selonlaquelle
lephoton
serait une
particule complexe représentée
par lecentre de
gravité
de ses constituants(5).
Notons que pour obtenir leséquations
de laparticule
despin ;
par la méthode habituelle de fusion de deuxcorpuscules
despin
T, onpart
habituellement de deuxcorpuscules
élémentaires de même masse,alors
qu’ici
nous n’avons nulbesoin
de faire une tellehypothèse,
leséquations
obtenues sous la forme(15)
ou(16)
nedépendant
que de la masse totale.Il est
possible
d’obtenir leséquations
de laparti-cule de
spin
I àpartir
du centre degravité
de deuxcorpuscules
despin ;
par d’autres méthodesqui
nefont intervenir au
départ
qu’un
seultemps
pour les deuxcorpuscules,
parexemple
celle de M. R. Murard(6).
Remarquons
toutefois que lepoint
considéré par M. Murard n’est pas exactement le centre de
gravité
dans le cas de massesdifférentes,
maispeut
êtrepratiquement
confondu avec lui(4) Une nouvelle théorie de la lumière, t.I. (Hermann); Théorie
générale des particules et spin (Gauthier-Villars, 1943). (~) J. L. DESTOUCHES, C. R. Acad. Sc., Ig34,199, p. 1694. (6) C. R. Acad. Sc., 1946, 222, p. io3o et i o75.
si l’on suppose les
corpuscules
très voisins. Enoutre,
leséquations
obtenues se divisent en une« équation
d’évolution »correspondant
à lapremière
deséquations
(16)
et une «équation
de condition »correspondant
à la seconde de ceséquations,
et s’obtiennentséparément,
lapremière
àpartir
del’équation
d’ondes(unique)
dusystème,
la seconde àpartir
de considérations d’invariance relativiste résultant d’une certainegénéralisation
de la trans-formation de Lorentz. Dans la méthodedéveloppée
ici,
nous obtenons l’ensemble deséquations
de laparticule
sous la formecomplètement
symétrique (15)
que nous pouvons ensuite ramener à la forme(16)
ou à une autre. Nous aurions pu, audépart,
remplacer
leséquations
(10)
dusystème
par des combinaisons linéaires de ces-équations
pour avoir directement leséquations (16),
mais dans tous les cas les deuxéquations
obtenues seprésentent
commejouant
un rôlesymétrique.
Dans le cas
général
où l’on a unsystème
de Ncor-puscules,
leséquations
(15)
du centre degravité
s’identifient avec leséquations
de laparticule
despin
total maximumN/2,
tellesqu’elles
s’obtiennentpar la
méthode ordinaire defusion,
la masse de laparticule
étant la somme des masses de ses consti-tuants, que ces masses soientégales
ou différentes.6.
Interprétation
physique
de la fusion.-Un
système
fondu est .souvent considéré commeformé de
corpuscules
rassemblés en mêmepoint.
Précisons un peu ce que l’onpeut
dire de l’état d’unsystème
decorpuscules
dont la fonction d’ondes nedépend
que du centre degravité.
Enexprimant
que la fonction d’ondes Y nedépend
des xi que par l’intermédiaire de X == ~ nous obtenons les relations
Nous avons des relations
analogues
enremplaçant
les x,
parles y;
et les zi, ce que nous pouvons résumer par’
Si nous calculons les valeurs moyennes des p;,,
nous trouvonsEn valeur moyenne, les
quantités
de mouvement des différentscorpuscules
sontproportionnelles
à leurs masses, cequi,
aupoint
de vueclassique,
.
correspond
au cas decorpuscules
de même vitesse. Commel’opérateur
correspondant
à la « vitesse » ~exact de dire
que la
valeur moyenne de la distance de deuxcorpuscules
varie très peu(ses
variations sont de l’ordre degrandeur
deslongueurs
d’onde associéesaux
corpuscules).
Il neparaît
pas nécessaire de supposer que lescorpuscules
sont confondus en un mêmepoint,
mais s’ils le sont à un instantdonné,
ils restenttoujours
très voisins.7. La
probabilité
deprésence
d’uneparti-cule
complexe. --
Enmécanique
ondulatoire nonrelativiste,
onpeut
aisément définir une densité deprobabilité
deprésence
pour le centre degravité
. d’un
système,
il suffit pour celad’appliquer
leprincipe
desprobabilités
totales à toutes lesconfi-gurations
dusystème correspondant
à une mêmeposition
du centre degravité.
Si nous passons à lamécanique
ondulatoire relativiste et si nous cherchonscette fois à définir une densité de
probabilité
deprésence
pour le centre degravité d’espace-temps,
les choses se
passent
différemment. Laprésence
du centre en unpoint (XYZ)
del’espace
à l’instant Tpeut
résulter de laprésence
descorpuscules
en despoints
(xi,
yi,z,)
au même instant T ou bien à des instants ti différents telsque 1 mi II
= T. Nous.avons à composer des événements non
simultanés,
qui peuvent
ne pas êtreincompatibles,
et leprincipe
desprobabilités
totales nes’applique
plus.
La déter-mination d’une densité deprobabilité
deprésence
pour le centre degravité d’espace-temps
apparaît
donc comme un
problème
trèscompliqué,
et il n’est pas certainqu’on
puisse
en trouver une solutionsimple.
Si l’on
considère,
comme nous l’avonsfait,
qu’une
particule complexe
formée de deux ouplusieurs
corpuscules
élémentaires estreprésentée,
non par leur centre degravité
au sens ordinaire(c’est-à-dire
d’espace),
mais leur centre degravité
d’espace-temps,
oncomprend d’après
ces considérations quede
grandes
difficultéspuissent
seprésenter
pourdéfinir une
grandeur
jouant
le rôle de densité deprobabilité
deprésence
pour desparticules
commele
photon.
Si l’on arrive à définir une tellegrandeur,
iln’y
a pas deraison, a
priari,
pourqu’elle
soit de la même forme que pour uncorpuscule
élémentaire. 8. Conclusion. - Dans cette étude de la notionde centre de
gravité,
nous avons cherché àpréciser
la liaisonqui
doit exister entre les masses définies comme des coefficients dont on affecte lescorpus-cules d’un
système
pour déterminer leur centre degravité
et les massesqui
interviennent dansl’équation
d’ondes. Le théorème del’impulsion,
avec sa démonstration
habituelle,
ne suppose aucune relation entre ces deux sortes de masses. Enméca-nique
ondulatoire nonrelativiste,.
onpeut
les identifier par la condition deséparation,
ou, cequi
revient au même, avec le théorème deKoenig
sur la force vive. La
séparation
n’étant pas réalisée >en
général
dans le casrelativiste,
nous avons cherché à la réaliser dans le casparticulier
où le mouvement relatif s’évanouit. Pour des raisons d’invariancerelativiste,
nous avonsajouté
au centre degravité
une coordonnée detemps,
et nous avons montréalors que les masses dont il fallait affecter les
corpuscules
étaient leurs masses au repos. Nous avons retrouvé le résultat selonlequel
le corpus-cule despin
i, ou despin
plus
élevé, peut
êtrereprésenté
par le centre degravité
de deux ouplusieurs corpuscules
despin
I,
mais la méthode que nous avonsemployée
donne directement l’en-semble des Néquations
de laparticule
despin
totalN,12,
alorsqu’en
considérant le centre degravité
comme unpoint
d’espace,
on n’obtient directementqu’une équation
d’ondes. Il semble doncplus
inté-ressant de considérer le centre degravité
comme unpoint
d’espace-temps.
Pour la commodité descalculs,
nous nous sommes servi des
équations
decorpuscules
de
spin §
supposés indépendants
pour trouver celles desparticules plus complexes.
Dans unprochain
travail,
nous examinerons comment onpourrait
tenir
