Contribution à la mécanique ondulatoire

HAL Id: jpa-00233409

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233409

Submitted on 1 Jan 1936

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Contribution à la mécanique ondulatoire

J. Céhéniau

To cite this version:

CONTRIBUTION A LA

_MÉCANIQUE

ONDULATOIRE

Par J.

CÉHÉNIAU

(’).

(Bruxelles).

Sommaire. 2014 On ne peut, d’après le _principe de la Relativité générale, supposer en toute _{généralité}

que l’espace métrique dans _lequel se _passent les _{phénomènes physiques} soit

_identique

à _l’espace pseudo-euclidien de Minkowski. Il est donc utile de _développer le _{plus possible} la théorie de la Mécanique

ondulatoire sous une forme complètement invariante. C’est ce _que nous avons fait dans le _présent travail. _Signalons la démonstration très _simple des théorèmes de conservation de l’électricité et de

l’impulsion et de l’énergie, ainsi que le théorème d’équivalence entre le _principe variationnel 2014

qui

fournit les _équations fondamentales de la _Mécanique ondulatoire 2014 et le _principe des opérateurs.

Nous exposons enfin une théorie relativiste de l’électron 2014

ou _positon 2014

magnétique qui e présente

comme une _{généralisation} naturelle de la théorie de l’électron sans _spin.

i.

_Mécanique

relativiste des

_{points massiques}

électrisés. - Définissons

l’espace-temps

par l’en-semble des

_quatre

variables

_xi,

_{X2, x3,}

_{et par la} forme

_quadratique

_{fondamentale,}

ou sa

_métrique

spa-tio-temporelle

(’)

sont dix fonctions

_(réelles)

des

_{X1,.. xl;}

ces fonctions sont les

_{potentiels gravifiques}

d’Einstein.

Les

_quatre

_composantes

covariantes du

_potentiel

électromagnétique

seront

_{représentées}

(x 1, ...

x4-):

les six

_composantes

covariantes de la

fpree

électromagnétique

seront alors

D’autre

_part,

nous

_désignerons

_par e la

_charge,

_prise

avec son

_signe,

de la

_particule

_{considérée,}

et _{par fllo,}

sa masse au _repos.

Posons

où A et B sont les extrémités de la

_ligne

le

_long

de

laquelle

s’effectue

_{l’intégration.}

De

_plus,

où c est la vitesse de la lumière dans e vide de Min-kowski.

(1) Aspirant du F. N. R. S.

(2) Nous emploierons toujours les notations et le langage du

calcul tensoriel.

On sait que lés

trajectoires

de toute

_particule

maté-rielle

_{électrisée,}

_{ainsi que leur} mode de _parcours, s’ob-tiennent en extrémant

(’) .

ô I = 0.

₍₅₎

Dans

₍₅₎

on _{varie par}

_rapport

aux

_xl,

et en

sup-posant

fixes les extrémités de la

_ligne

le

_long

de

_laquelle

se fait

_{l’intégration.}

Les

_potentiels

et sont ceux

relatifs au

_champ

extérieuï- : la

_particule

électrisée est

un _corps

_{d’épreuve.}

Rappelons

que la fonction halmitonienne relative

aux extrémales de

₍₅₎

est

avec la condition nécessaire

L’équation

de Jacobi

_{correspondante}

est

avec la condition nécessaire

as-- .

(9)

ès

(9)

Dans le

_{système d’équations}

aux dérivées

_partielles

,

(8), (9),

par

rapport

aux

_cinq

variables

_{indépendantes}

.ri,...

x4- et s,

remplaçons

l’équation

(8)

par

l’équation

homogène

1 ₍₁₎ TH. DE DONDER. _Graiififiue Gauthier-Villars, éq. 3.B1.

182

Le

_{système(8), (9)}

est

_équivalent

au

_système

_{(10), (9).}

Pour

_éviter,

dans les

_équations

_{(9), (10),}

toute confu-sion entre ~s

_qui

_y

_figure,

et le 1 s _{défini par}

_(1),

nous

remplacerons

ici la variable

_{indépendante s}

_{par la} variRble

_{indépendante}

a,

Le

_{système (10), (9)}

s’écrira donc :

Par

_définition,

_{l’équation}

des ondes t2 = 0 associée

à la

_particule

matérielle électrisée sera

_{l’équation}

_(11),

dans

_laquelle

on

remplacera S par

Q, c’est-à-dire

D’autre

_part,

nous

_{justifierons,}

dans le

_chapitre

sui-vant,

cette

_appellation

« ondes Q = 0 associées à la

particule

massique

électrisée ».

2.

_Principe

variationnel de la

_mécanique

ondulatoire. - En

_reprenant

le

_premier

membre de

(13),

posons : 1

a)

est t une fonction réelle des variables

spatio-temporelles

x’...,

x~ et du

_paramètre

6 introduit

précédemment

par

(11)

et

_(2~).

En suivant Th. De Donder

_(2),

nous déduirons de cette

forme,

l’équation

fondamentale de la

mécanique

ondulatoire du

_point

matériel

électrisé,

au _{moyen du}

_principe

variationnel

suivant : 1

ux- 0 u

(l) TH. DE DoNDER. Bull. Acad. _Roy. de _{Belgique, 5} février 1927.

(2) Ta. DE DONDER. Bull. Acad. _Roy. de _Belgique, 5 février 192~.

En

_{explicitant (16),}

nous obtiendrons

_{l’équation}

réelle :

Nous dirons que

(17)

est

_{l’équation}

fondamentale-relativiste de la

_mécanique

ondulatoire en

_{xl, ...}

xl et (7.

Remarquons

que cette

_{équation (17)}

est linéaire _par

rapport

aux dérivées secondes et

_premières

de la fonc-tion ~.

b)

Les surfares

_{caractéristiques}

de

_Cauchy

ou ondes

Q

_{(xl,... XI, T)}

# 0

_(tg)

compatibles

avec

_{l’équation}

₍₄₀₎

doivent satisfaire à

l’équation

C’est

_{précisément}

_{l’équation ( 13).}

Soient "BV’ et W" deux fonclions réelles

_assujetties

cha-cune à satisfaire à

_{l’équationfondamentale (réelle) (Z ~ );}

on aura donc :

’

Ces deux

_équations

étant comme nous l’avons

re-marqué, linéaires,

pourraient

être

_remplacées

parl’équa-tion

_{unique équivalente}

d’où

_{l’équation’}

fondamentale

_complexe

et relativiste de la

_mécanique

ondulatoire à

_cinq

variables

_{(x ’ , , ..}

x ,

(7).

-n - fi

Remarquons

que si w~ est la

conjuguée

de

W,

on

3.

_Equation

fondamentale dans

_{espace temps.}

- Posons

S est _{donnée par}

_(12);

h est la constante de Planck. En vertu de

_(12),

on aura :

où

Il résulte de

₍₂₃₎

_que

Considérons maintenant

_{l’équation}

_(Z1’)

et

rempla-ô2 qr _

çons-y _ô

par leur valeur

(25).

Nous verrons

cr a û""

ainsi que la fonction ’

_{(xi,... X4)}

doit satisfaire à

l’équation

C’est

_{l’équation}

relativiste de la

_mécanique

ondula-toire

_(1).

Remarquons

que le

paramètre

6 a été éliminé

_grâce

à

_{l’hypothèse}

_{(22) ;}

celle-ci introduit la constante h de Planck. De

_plus,

les coefficients de

_{l’équation}

₍₂₆₎

ne

sont

_plus

tous

réels,

comme c’était le cas dans

_(2l’).

Si,

au lieu de

_(22),

on avait

_posé

CB! J Ch

; ,o,

puis

on aurait obtenu au lieu de

_(~26),

_{l’équation}

en _cp,

On déduit

_{(~6‘ j}

de

₍₂₆₎

en

_changeant

dans cette der-nière

_{équation i}

en - i et W

_{en ?,}

ou bien encore, en

y

changeant

e en - e et IF en _?.

4. Autres formes du

_principe

variationnel.

-a)

Dans

_l’espace

_(.1:1,...

- Au lieu de

prendre

la forme réelle J

_(/)

comme forme servant de base au

principe

variationnel

_{in 6),}

_{prenons dans}

_l’espace

à

cinq

dimensions la fonction réelle

où le

_symbole

T*

_indique

la fonction

_conjuguée

de la fonction

_complexe

introduite au

_paragraphe

2.

(1) TH. DE DONDER. Loc. cit.

On _{vérifiera immédiatement que}

Il en _{résulte que}

_{l’équation}

est

_équivalente

à

_(2l).

On aura de même

b)

Dans

_{l’espace-temps}

_{(x~ .., ,}

_x4).

- En tenant

compte

de

₍₂₅₎

et

_{(Z3), (18) donne,}

dans

l’espace-temps,

et calculons la dérivée variationnelle de cette fonction

L,

par

rapport

à On aura

Il en résulte que les

équations

sont

_{respectivement identiques}

à

₍₂₆₎

et

_(~6’).

De-184

Donder

_(’)

consiste essentiellement à affirmer que tout

problème posé

par la

Mécanique

ondulatoire est

iden-tique

à un

_problème

_{correspondant}

de la théorie des

champs gravifiques.

Considérons ici le cas où la fonction

_lagrangienne

de la

_Mécanique

_{ondulatoire est donnée par}

_(29).

En vertu du

_principe

de

_{correspondance,}

le courant

élec-trique correspondant

sera _{donné par}

et le tenseur

_{massique symétrique}

sera

Plus

_{explicitement,}

on aura

6. Théorèmes de la conservation de l’élec-tricité et théorème de

_{l’impulsion}

et de

l’éner-gie.

-

a)

Considérons les

_{quatre’ composantes}

du

cou-rant

_électrique

_{données par les seconds membres de}

(34),

et démontrons

_qu’on

a, en vertu des

_équations

(31),

Pour

cela,

nous calculerons

Nous obtiendrons d’abord

(1) Bull. Acad. _Roy. de

_Belgique,

2 août 1927,

Mais on verra _que

_(3~),

Grâce à

₍₃₈₎

et

_(39),

De

₍₄₀₎

et

_(37),

il résulte immédiatement

_qu’on

aura

_(a6),

en vertu de

₍₃

_1).

b)

Posons maintenant

1 - .

appliquons

les identités de D. Hilbert

_{généralisées (’)}

au

_{multiplicateur}

L. Nous obtiendrons ainsi

où

_(.

_a)

_désigne

encore une _{dérivée covariante par}

rap-port

à xa. En tenant

_compte

de

_(31),

_(56’)

et

_(72),

nous

.1 aurons alors

Ces

_quatre

_équations

constituent le théorème de

l’impulsion

et de

_{l’énergie.}

Elles sont _{satisfaites par}

toute solution U’+ des

_équations

_(31).

La

_réciproque

n’est _{pas vraie. Mais} on

_accepte

comme solution de

₍₄₃₎

que les fonctions

T,

T+

_qui

satisfont à

_(3i).

Posons

ce sont les

_composantes

covariantes de l’accélération

du

_point

matériel considéré. En tenant

_compte

de

_(33),

(43)

s’écrit

On

_{reconnaîtra,}

dans

_(~3’),

_{l’expression}

du théorème de

_{l’impulsion}

et de

_l’énergie

de la théorie des

_champs

gravifiques.

Remarquons

enfin

_qu’on

a

C’estla condition

_{d’orthogonalité dansl’espace-temps,}

condition écrite dans le

_langage

de la

_Mécanique

ondu-latoire.

7. Théorème

_{d’équivalence}

entre le

_principe

variationnel et le

_principe

des

_opérateurs.

-Dans le

_paragraphe

2,

nous sommes

_passés

de la

Méca-nique

relativiste

_classique

du

_point

matériel électrisé

aux

équations

de la

Mécanique

ondulatoire

(31), grâce

à un

_principe

variationnel.

On

_peut

obtenir ces

_{équations (31)}

_{par le}

_procédé

sytîibolique

suivant. La

_{f onction}

hamiltonienne de la

Mécanique

relativiste du

_point

_{(mo, e)}

a été définie _par la formule

_(6).

On avait la condition

_(7~,

Introduisons dans

_(~~),

des

_opérateurs

en _y

rempla-çant

L

où le

_{symbole ( ), « désigne}

la dérivée

covariante,

par

rapport

à xa, de la fonction

_qui

sera mise dans la

parenthèse.

Nous obtiendrons ainsi

_{l’opérateur,}

La relation

₍₄₄₎

sera

_remplacée

_par

_{l’équation}

sym-bolique.

La

_première

équation

(31)

peut

alors s’écrire

C’est ce

_qu’on

vérifie

_aisément,

_compte

tenu de

- 1 - -...

Remarquons

que,

grâce

à

(49),

on

_peut

intervertir

dans

₍₄₆₎

l’ordre des facteurs.

8.

_{Application. -}

Une

_application

particulière-ment

_simple

des formules relativistes est celle du rota-teur

_{gravifique plan.}

Le rotateur

_{gravifique plan}

est un

point

matériel de masse au _repos nio

qui

se meut

libre-ment dans un

_champ

de

Schwarzschild,

dans le cas où l’orbite _{donnée par la}

_mécanique

einsteinienne est une

circonférence _{de rayon R. Le carré de l’intervalle est} alors

_(’)

(l) TH. Do DONDER. _Applications de la Gravifique einsteinienne,

Mém. des sciences

_{mathérnattques,}

fasc. XLIII.

avec r _-_ 1 -

a/R.

La constante

positive

a est donnée par

où

_f

est la constante de Gauss et M la masse de la

sphère

homogène

produisant

le

_champ

de Schwarzs-child considéré.

Les raisonnements se font comme dans le cas du

rotateur

_classique.

C’est

_pourquoi

nous nous bornerons à donner les résultats suivants. Les fonctions propres sont

Grâce au

_principe

de

_{correspondance}

on trouve

_alors,

en

_désignant

_par 6 le facteur de densité

_électrique

et

par 1) la

quantité

de mouvement du rotateur.

Remarques. - a)

Au lieu de

_(52),

nous _{aurions pu}

prendre

la fonction d’onde

_conjuguée

La formule

₍₅₄₎

_{n’aurait pas}

_changé,

_{tandis que}

₍₅₃₎

serait

_remplacée

_par

Ceci

_correspond

au _{fait que}

_l’exposé

fait dans les

paragraphes précédents

donne aussi bien la théorie du

point

matériel

_(mû,

+

e)

que celle du

point

matériel

(m9 - e).

b)

Si dans

_(35),

on

_{remplace ~}

_par sa valeur

_(52),

on

obtient

9. Cas d’une

particule massique

électrisée

avec

_{spin. -}

En 1928

_déjà

_(’),

J. M. Whittaker

_publia

un travail

_qui

avait pour but de

formuler,

à l’aide de

grandeurs

tensorielles

_uniquement,

une théorie de la

Mécanique

ondulatoire de l’électron

_magnétique

dans

un

_champ

_gravifique

_quelconque.

Cette étude fut

re-prise

peu

après

par Th. De Donder

(2),

et

_précisée,

grâce

au

_principe

de

_{correspondance.}

Les calculs que

nécessite le

_{développement}

de cette théorie sont très ardus.

(1) Proc _Roy. Soc., London, 1928, p. 543.

(2) Applications de la _{Gravique einsteinienne,} loc. _{cit., chap. IV.}

186

Nous allons montrer comment une

_{généralisation}

des

considérations

_{exposées plus}

haut conduit à la théorie de J. M. Whittaker-Th. De

Donder,

très

_simplifiée.

Soient

_Pü

et

_Q,

_(p.

=

1,.,.

4),

les

_composantes

cova-riantes des deux

_potentiels

de Whittaker. Ce sont des fonctions

_complexes.

En nous

_inspirant

directement de la fonction

lagran-gienne

(~9),

nous _{poserons d’abord}

La

_partie

de cette fonction

_lagrangienne

renfer-mant les et

_P

est due à Th. De Donder et Y.

Du-pont (’).

La fonction

_lagrangienne

totale sera

_posée

ici

_égale

à

la fonction

_{(57) augmentée}

d’un terme ¡;

_qui

tiendra

compte

clu «

_spin

de l’électron.

Dans ce

_but,

nous _posons

où À est une constante

_imaginaire

_{pure que} nous

lais-serons ici

_arbitraire;

N,n est tel que yv

u,v

forme une

permutation paire

des nombres

1, 2, 3,

4.

_Remarquons

+

que l’ est

une fonction réelle.

L’expression (58)

a bien la variance d’un

multipli-cateur.

Considérons donc la fonction

_lagrangienne

Par un calcul

_analogue

à celui effectué

_plus

_haut,

en

_partant

de

₍₂₉₎

nous obtiendrons d’abord

(1) Bull. Acad. Roy., Belgique, 1933, 12, 593.

on aura une

_{expression identique}

au second membre de

(68),

où l’on devra

_remplacer

_P,

_par

_{QA .}

Ensuite

’

Introduisons le

_symbole

D

_désignant

un

_opérateur,

par l’identité

o

Les

_équations

fondamentales relativistes de la

Méca-nique

ondulatoire de l’électron

_magnétique

seront

alors

Whittaker a _{montré que, dans} un

_champ

de

Min-kowski,

ses

_équations

sont

_{équivalentes}

à celles du second ordre de Dirac.

b)

Il suffit de

_{reprendre l’exposé}

des

_{paragraphes (5)}

et

₍₆₎

et de

_{l’appliquer}

au cas où la fonction

lagran-gienne

est _{donnée par}

₍₅₈₎

_{pour obtenir}

_{l’expression}

du courant-densité

_électrique

et du tenseur

_symétrique