Postulats de la Mécanique Quantique

Chapitre III-

Description des Phénomènes Physique et

Postulats de la Mécanique Quantique

III.1. Introduction

1- En physique classique

La donnée des variables dynamiques q_i(t), p_i(t) (coordonnées généralisées) définit, à l'instant t, l’état dynamique du système considéré. Les q_i(t) et p_i(t) peuvent être déterminés simultanément et exactement. L’évolution de l’état dynamique du système est régi par des équations canoniques de Hamilton-Jacobi (ou de Lagrange) vérifiées par les coordonnées généralisées q_i(t) et p_i(t):

dq_i dt = ∂H

∂p_i , dp_i

dt = - ∂H

∂q_i où H est l'Hamiltonien du système représentant son énergie totale

2- En physique quantique

La relation entre état dynamique et variables dynamiques est beaucoup moins directe.

Lorsqu’on mesure une variable dynamique donnée, l’état dynamique du système est globalement modifié par l’appareil de mesure. Cette modification constitue une perturbation imprévisible et incontrôlable de ce système et impose une limite à la précision avec laquelle les variables dynamiques peuvent être mesurées toutes simultanément.

Dans le cas de systèmes quantiques on ne peut que déterminer une distribution statistique de valeurs pour chaque variable dynamique donnant une loi de probabilité des résultats de mesure.

III.2. Postulats de la mécanique quantique

1- Postulat 1 : Etat du système physique

L’état dynamique d’un système physique à un instant t donné est défini par un ket |(t)

>

de l'espace des états

E

(espace vectoriel: espace de Hilbert).

2- Postulat 2 : Grandeurs physiques mesurables

A chaque variable dynamique ou grandeur physique mesurable A est attaché un opérateur A qui est une observable de l'espace des états

E

Exemples:

Grandeur physique ---> Opérateur position x ---> X = X⁺ position r(x,y,z) ---> R = R⁺ impulsion px ---> Px = Px+

impulsion P(px, py, pz) ---> P(Px, Py, Pz) = P⁺ Energie E = ^P2

2m + V(x) ---> H = ^P2

2m+ V(X) 3- Postulat 3 : mesure de A

Le résultat de mesure d’une grandeur physique A ne peut être qu’une des valeurs propres de l’observable A correspondante.

4- Postulat 4 : Principe de décomposition spectrale: Distribution statistique des résultats de mesure

a. Postulat 4 : cas de spectre discret :

La probabilité pour que la grandeur physique A mesurée sur un système dans l’état

|(t)

>

prenne l’une des valeurs propres a_n , de dégénérescence g_n de l’observable A correspondante est :

n

i 2

g n

n i 1

P(a ) C







  ^{avec Cin =}

^<

^Uin|

^>

n i i

g n n

n i 1

U U

P(a )



 





 

gn

i i

n n

i 1

U U



 

  



 Pn 

  

Pn =



i=1

gn |Uⁱn

><

Uⁱn| est le projecteur sur

E

_n

{|Uⁱn

>

}: l'ensemble des vecteurs propres associés à a_n est une base orthonormée de

E

_n

b. Postulat. 4: cas de spectre continue

La probabilité pour que la grandeur physique A mesurée sur un système dans l’état

|(t)

>

prenne une valeur du spectre continue comprise entre a() et a( + d) est :

n

i 2 g

i 1

C ( )

dP( ) d



   



  ^{avec Ci ()=}

^<

^{i()|}

^>

|Cⁱ ()|² = |

<

^i()|

>

|² est la densité de probabilité,

{|ⁱ()

>

} est l'ensemble des vecteurs propres de A associés à a() c) Remarques

• La probabilité totale: n n

P(a ) dP( ) 1 

 

. On divise par

<

^|

>

si |

>

n'est pas normée

• |

>

et e^i|

>

décrivent le même système physique.

d) Conséquences

i- Valeur moyenne d’une observable A

Définition : La valeur moyenne de la grandeur physique A, notée

<

A

>

, où A est une observable, est la moyenne des résultats d’un grand nombre de mesures de A sur différents systèmes tous dans l’état |

>

A  A 

  

<

A

>

donne un ordre de grandeur (valeur moyenne) de A mais ne donne aucune idée sur la distribution statistique des résultats de mesures autours de

<

A

>

.

ii- Ecart quadratique moyen. Mesure de fluctuation de la dispersion des résultats

Définition: la quantité (A)² s’appelle écart quadratique moyen. Elle est définie par:

 

^{A 2 }



^{A A}



^{2  A2  A 2}

(A)² mesure les fluctuations des résultats de mesure autours de la valeur moyenne

<A>

iii- Les relations d’incertitude de Heisenberg

Soient deux observables quelconque A et B tel que : [A,B]=i alors le produit de leurs écarts quadratique est supérieur ou égale à. (AB ≥

2

)

Démonstration: (A) = (<A2> - <A>2)1/2 (B) = (<B2> - <B>2)^1/2 soit A = A -<A>, B = B -<B> observables, il est évident que [A ,B ] = i

A = (<A 2> - <A >2)1/2

= [<(A -<A>)(A -<A>)> - <A -<A>><A -<A>>]^1/2 = [<(A -<A>)(A -<A>)> - 0 ]1/2

= [<A2> - <A>2 ]^1/2 = A donc A = A = <A 2>^1/2

B = B = <B 2>^1/2

L'inégalité de Schwartz est définie tel que:

 |

>,

|

>



E

: ===>

|<

|

>|

≤    

Soit |U

>

le ket normalisé représentant l'état dynamique du système. L'inégalité de Schwartz appliqué aux kets A |U

>

et B |U

>

donne:

(A²) (B²) = (A )² (B )² =

<

U|A ₂|U

><

U|B ₂|U

>

≥

|<

U|AB  |U

>|

²

Remarque: A et ^B sont hermétiques mais le produit AB  n'est pas nécessairement hermétique.

AB = 1

2 [AB +BA  ] + 1

2 [A ,B ] Hérmitique antihérmitique

===> Généralisation :

<

U|AB  |U

>

=

<

^{AB BA}

2

   

>

+ i 2



===> (A²) (B²)

≥ <

^{AB BA}

2

    

>

² + ² 4



et donc la fonction A B

   2

Cette relation appliquée aux différents composantes des observables de position R et d’impulsion P donne les relations d’incertitude Position -Impulsion de Heisenberg:

x

y

z

X P 2

Y P 2

Z P 2

  

  

  







x p 2

   

montre que le paquet d’onde « occupe une surface  h dans l’espace des phase.

Figure. III.1. istribution de probabilité (x)² et (p)² pour le paquet d’onde. La relation

i4- Compatibilité des observables

Soient deux observables A et B qui commutent ( [A,B] = 0 ), il existe donc un ensemble de vecteurs propres commun à A et B {|Uⁱn,p

>

} qui constitue une base orthonormée de

E

. Physiquement, ceci veut dire que les variables dynamiques représentées par ces deux observables peuvent être définies de façon précises simultanément: Ce sont des variables compatibles. Dans le cas contraire elles sont incompatibles.

Remarque : si le couple {A, B} est un ECOC, alors l’état du système est déterminé de façon unique par le résultat de la mesure obtenue |an, bp

>

. On dit alors que le système est préparé dans un état quantique déterminé (analogie avec le problème d’une polarisation de l’optique dans une direction par un polariseur).

i5- Etat du système juste après une mesure.

Soit n n

n

 



C U tel que la mesure de A donne la valeur propre an. L'état du système juste après la mesure, |

>,

est donné par la relation suivante:

n n

n

P

  P

  Avec _n ⁱ_n ⁱ_n

i

P 



U U le projecteur sur

E

_n

5- Postulat 5: Evolution du système dans le temps.

Postulat 5: L’équation de Schrödinger régit l’évolution dans le temps du ket d’état

|(t)> :

| ( )  ( ) | ( ) 

d

i t H t t

dt

H(t) est l'observable associée à l’énergie totale du système. On l’appelle opérateur Hamiltonien du système.

Conséquences

a- Opérateur d’évolution. U(t;to)

Soit |(to)>, le vecteur état du système à un instant to donné. Connaissant |(to)>, l'opérateur U(t,to) permet de donner |(t)>  t tel que: |(t)> = U(t,to)

|(to)>

Exercice : Soit un système physique décrit à t0 par (t ) pour déduire (t)₀   à partir de ( )t0 

 on introduit U t t( , )₀ : opérateur d'évolution ( )t U t t( , ) ₀ Question °1:Montrons les relations suivantes

i) U t t( , ) 1₀ 

0 0

( )t U t t( , ) ( )t 

 

à t = t0 ( )t₀ U t t( , ) ( ) _{0 0}  t₀   ( , ) 1U t t_{0 0}  ii) ( )t₀ ^{U t t( , )1 0} ( )t₁

0

1 ( , )

0

( , )

( ) ( )



^{U t t}

U t t

t t

 

on a ( )t U t t( , ) ( )0  t0 

1 1

= ( , ) ( )U t t  t  D’autre part: ( )t1 U t t( , ) ( )1 0  t0 

0 1 1 0

( , ) ( , ) ( , ) U t t U t t U t t

iii) U t t U t t( , ') ( ', ) = ( , )₀ U t t₀

si t= t0 U t t U t t( , ') ( ', ) = ( , )U t t U t t( , ) 1_{0 0} 

1

0 0

4) ^( , ) = ^ ( , ) i U t t U t t

( , )0

0 1 1 0 0

( )t  ^{U t t} ( )t U t t( , ) ( )t 

  

Soient deux états normés:( ) ( )t0  t0 1 et  ( ) ( )t t 1

0 0

( ) ( ) ^( , )

 t  t U t t

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ^( , ) ( , ) ( )

 t t  t U t t U t t  t 

=( ) ( )t₀  t₀ 1

0 0

^( , ) ( , ) 1

 U t t U t t  donc U t t^( , )₀ U^1( , )t t₀ ( , )0

U t t est unitaire

Règle une matrice A est unitaire si A⁺=A^-1

2) ^{( )} ( ) ( )

 

d t

i H t t

dt

 

0 0

( )t U t t( , ) ( )t 

 

0 0 0 0

( ( , )) ( ) ) ( ) ( , )) ( )

  d   

i U t t t H t U t t t

dt  

0 0 0

( ( , )) ( ) ( , )) ( ) 0

 

 d   

i U t t H t U t t t

dt 

0 0

( ( , )) ( ) ( , ))

  d 

i U t t H t U t t dt

3) Intégration: H(t) dépend de t.

0 0

( ( ', )) ( ') ( ', ))

  d' 

i U t t H t U t t dt

0 0

( ( ', )) ( ') ( ', )) ' i d U t t H t U t t dt

0 0

'

0 0

( ', ) ( ) ( ', ) '

 

 ^{t t}

t t

i dU t t H t U t t dt

 

₀

0

'

0 0

( ', ) 



( ) ( ', ) '

 ^t_t ^t

i U t t t H t U t t dt

0

'

0 0

( , ) 1 _



t^t ( ) ( ', ) ' U t t i H t U t t dt

si H ne dépend pas de t on a alors : i d U t t ( ( ', ))0 HU t t dt( ', )) '0

 ⁰

0

( ( ', )) ( ', )  '

 d U t t H U t t i dt

0 0

[ln ( ', )]0 '

 ^tt   _



t^t

U t t iH dt

0 0

ln ( , ) ( )

   



U t t iH t t

( , ) e

0 ^{( 0)} iH t t

U t t

^{ }

 

^

Remarque : ^( , ) e0  ^(0) ( , )0 iHt t

U t t U t t

Développons ( )t0  dans la base des vecteurs propres de H à savoir n ^ tels que :

 

n n n

H E 

avec

1

 



  





n m nm

n n

  

 

on a : H .....

H 3 H 2

1 e

2 2

H   2  



2 3

2 3

(1 ...)

2 3

     

H

n n n n n

e^   E  E  E 

e^H _n e^En _n 

0 0

( ) ( )

 



^{n n} 

n

t C t

 

or ( )t U t t( , ) ( )0  t0 

= ^(o) ( )0 

iH t t

e  t

=



ⁿ( )₀ ^{iH(t to) n} 

n

C t e 

=



ⁿ( )0 ^{iEn(t to) n} 

n

C t e 

b- Equation d’évolution des valeurs moyennes et relation d’incertitude temps- énergie.

Soit |>, le vecteur état du système normé, Calculons l'évolution de la valeur moyenne,

<A>, dans le temps:

d

dt <A> = d

dt<|A|> avec <|> = 1 Écrivons l'équation de Schrödinger

iħ d

dt|(t)> = H(t) |(t)> ===> -iħ d

dt <(t)| = <(t)| H(t) d

dt<A> =  ( |)

t A|> + <|A  (| )

t + <|  ( )

 A

t |>

=



i <|HA|> + -



i <|AH|> + <|  ( )

 A

t |>

[ , ] 

     



d A

A A H

dt t

i) cas particulier: constante du mouvement

Définition : si l’observable A représente une variable dynamique ne dépendant pas explicitement du temps (

 A

t = 0 ) et si A commute avec l’Hamiltonien H du système ([A;H]=0) alors A est dite constante du mouvement c’est à dire: d

dt<A> = 0.

Remarque: si [A;H] = 0 alors il existe un ensemble {|Un,p>} de E formé de vecteurs propres communs à H et A:

A|Un,p> = ap |Un,p>

H|Un,p> = En |Un,p>

si H ne dépend pas explicitement du temps alors |Un,p> est stationnaire => En est indépendante du temps. Donc si à l'instant t initial le système se trouve dans un état

|Un,p> de H il y restera indéfiniment.

ii) Exemple d'application: Théorème d'Ehrenfest, cas des observables R et P.

Pour une particule soumise au potentiel V(^r) l'Hamiltonien est:

H = P2

2m + V(R);

1 ( )

     



      





d R P

dt m

d P V R

dt

Théorème d'Ehrenfest

Ces équations ont une forme semblable aux équations classiques de Hamilton Jacob.

Théorème d'Ehrenfest: Les équations de la mécanique classique sont valables en valeur moyenne en mécanique quantique.

iii) Relation d'incertitude Temps-Energie

Soit un système conservatif d'Hamiltonien H ne dépendant pas du temps. Soit |> un ket décrivant à l'instant t; l'état de ce système. Soit A une observable ne dépendant pas explicitement du temps.

(A) = (A   A )² ; (E) = (H H  )² ; l'inégalité de Schwartz donne 1| [ , ] |

   A E 2 A H 