CHAMPS CLASSIQUES

Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 7

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1. Evaluer le champ magn´etique au centre d’une extr´emit´e d’un long sol´eno¨ıde. Estimer la direction d’une ligne de champ magn´etique partant du bord de l’extr´emit´e du sol´eno¨ıde.

2. Attention !

i) D´eterminer le champ ´electrique−E→1(~r) cr´e´e par une sph`ere conductrice de rayona, charge totaleq, dont le centre est situ´e en~r1.

ii) Quel est le champ ´electrique−E→2(~r) cr´e´e par une sph`ere conductrice de rayon a, charge totale −q, dont le centre est situ´e en~r2.

iii) Que pouvez-vous dire du champ ´electrique−→E(~r) cr´e´e par l’ensemble de ces deux sources ?

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Stephen, rep´erant les ´ev´enements pae les coordonn´ees (t, x, y, z) a amplement confirm´e la th´eorie de l’´electrodynamique (´equations de Maxwell et ´equation de Lorentz). Anne, de son cˆot´e, rep`ere les mˆemes

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ev´enements par les cooronn´ees transform´eest⁰=^dft,x⁰=^df−x,y^{0 df}=−y etz^0df=−z(transformation dite de r´eflexion spatiale). La question est de savoir si Anne peut, de son point de vue, trouver que la mˆeme th´eorie (les mˆemes ´equations) est valide (auquel cas on dira que la th´eorie est invariante par r´eflexion), alors que bien des valeurs de grandeurs (`a commencer par les coordonn´ees) doivent ˆetre transform´ees d’un point de vue `a l’autre, mais comment, justement ?

Une m´ethode, douce et convaincante, consiste d’abord `a d´efinir les mˆemes valeurs en (nou- velles) fonctions des nouvelles coordonn´ees : f(x⁰, y⁰, z⁰, t⁰)=^dfρ(x=−x⁰, y=−y⁰, z=−z⁰, t=t⁰), g1(. . .)^df=jx(. . .), g2. . .,u1(. . .)^df=Ex(. . .), u2. . .,v1(. . .)^df=Bx(. . .),v2. . ., tandis que pour la trajec- toire d’une chargeq d’´epreuve, on a n´ecessairementx⁰_q0(t⁰)^df=−xq(t),y_q⁰0. . .En d´eduire les ´equations diff´erentielles reliant f, g1, . . ., u1, . . ., v3, x⁰_q0, y_q⁰0, z_q⁰0, cons´equences de la th´eorie de Stephen (et aussi, un peu, de Maxwell et Lorentz).

Existe-t-il alors des transformationsρ⁰(x⁰, y⁰, z⁰, t⁰)^df=. . .,. . .,Bz0(x⁰, y⁰, z⁰, t⁰)=^df . . ., etq^0df=. . ., telles que Anne ait de son point de vue, la mˆeme th´eorie que Stephen ?

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Chlo´e, rep´erant les ´ev´enements par des coordonn´ees (t, x, y, z) a amplement test´e et confirm´e la th´eorie de l’´electrodynamique (´equations de Maxwell et ´equation de Lorentz). Colin utilise de son cˆot´e, pour rep´erer les mˆemes ´ev´enements, les coordonn´ees obtenues par la transformation : t⁰=^df−t,x^0df=x,y^{0 df}=y et z^{0 df}=z(transformation dite de renversement du temps).

L’´electrodynamique de Chlo´e, Maxwell et Lorentz est-elle une th´eorie invariante par renversement du temps ? (Si oui, explicitez soigneusement les lois de transformations des sources, des champs et des charges.)

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Chlo´e, rep´erant les ´ev´enements par les coordonn´ees (x, y, z, t), dispose, dans une r´egion de l’espace, du champ vectoriel :

Ex(x, y, z, t) =k y , E_y(x, y, z, t) =k x , Ez(x, y, z, t) = 0.

1. Ce champ peut-il ˆetre un champ ´electrique et, si oui, correspondant `a quelles sources ? 2. Colin rep`ere les mˆemes ´ev´enements par les coordonn´ees :

x⁰= cosϑ x+ sinϑ y , y⁰=−sinϑ x+ cosϑ y , z⁰=z .

D´eterminer les composantesEx⁰(x⁰, y⁰, z⁰, t),Ey⁰(x⁰, y⁰, z⁰, t) etEz⁰(x⁰, y⁰, z⁰, t) qu’il attribue au champ

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electrique r´egnant ?

2 Champs classiques, PH042 Paris 7

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1. Soit un pav´e (∆x,∆y,∆z) d’un milieu de polarisationP. Calculer les charges de polarisation~ (les charges ´electriques qui cr´eeraient le mˆeme champ ´electrique) sur les faces du cube.

2. La polarisation P~(~r) du milieu d´epend de la position. En consid´erant les couples de pav´es adjacents, montrerr que la densit´e de charge ´equivalente estρpol(~r) =−−→

∇ ·P(~ ~r).

3. La polarisation P(~ ~r, t) d´epend aussi du temps. Montrer que la densit´e de courant ´equivalente est~jpol=∂ ~P /∂t.

4. Calculer les courants ´equivalents circulant sur les faces d’un pav´e (∆x,∆y,∆z) dont l’aiman- tation est−M→.

5. L’aimantation−M→(~r, t) du milieu d´epend de la position et du temps. Montrer que la densit´e de courant ´equivalente vaut~jmag=−→

∇ ∧−M→.

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On peut se demander s’il existe une jauge permettant d’avoir−→A(~r, t) = 0. Plutˆot que de chercher une

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eventuelle transformation de jauge conduisant `a ce potentiel, reprendre les ´equations de Maxwell et d´eterminer les types de champs et de sources correspondant `a ce type de potentiel.

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1. On consid`ere un syst`eme compos´e de deux charges ponctuellesq1 et q2, positions~r1 et~r2. i) Calculer le champ ´electrique−E→(~r) cr´e´e par cet ensemble de sources.

ii) En d´eduire la force ´electrique exerc´ee sur la charge 2.

2. On consid`ere une source constitu´ee d’une charge totalequniform´ement r´epartie dans une boule de rayona.

i) Calculer le champ ´electrique−E→(~r) cr´e´e par cette source.

ii) En d´eduire la force ´electrique exerc´ee sur un ´el´ement de volumedV de la distribution de charge source.

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Ecrire les ´equations de Maxwell des champs−→E et−B→, et les ´equations des potentielsφet−→Aau sein d’un milieu lin´eaire homog`ene isotrope (−→D =ε0εr−E→, −B→=µ0µr−H→) dans le syst`eme d’unit´es de Heaviside et Lorentz relativiste. (Une vieille coutume : posern^df=√εrµr.)

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A une charge ponctuelleq de trajectoire donn´ee~rq(t), on associe les “densit´es” :

ρ(~r, t)^df=q δ³¡

~r−~rq(t)¢ ,

~j(~r, t)^df=q~r˙q(t)δ³¡

~r−~rq(t)¢ . Montrer qu’elles satisfont bien la relation :∂ρ/∂t+−→

∇ ·~j= 0.