Soient A etB les ´ev´enements respectifs “le cadet est une fille” et “l’aˆın´e est une fille”

MASTER 1 GSI- Mentions ACCIE et RIM La Citadelle - ULCO Mesures et analyses statistiques de donn´ees - Probabilit´es

Janvier 2014 - Contrˆole Terminal, Semestre 1, Session 1

Dur´ee de l’´epreuve : 1h10 Documents interdits. Calculatrice autoris´ee.

(Les 3 exercices sont ind´ependants. Un soin tout particulier sera apport´e `a la r´edaction des r´eponses)

Exercice 1Correction: 7pts

1. SoientF etGles ´ev´enements respectifs “l’enfant qui naˆıt est une fille” et “l’enfant qui naˆıt est un gar¸con”. On consid`ere l’univers Ω ={(a, b), a, b∈ {F, G}}, constitu´e des couples d’enfants dont le premier ´el´ement d´esignera - par convention - l’aˆın´e. On a donc par ´equiprobabilit´e Card(Ω) = 2² = 4.

Soient A etB les ´ev´enements respectifs “le cadet est une fille” et “l’aˆın´e est une fille”. On a alors P(A) =P(F, F) +P(G, F) = 1

4 +1 4 = 1

2 etP(B) =P(F, G) +P(F, F) = 1 2. (a) 1pt La probabilit´e recherch´ee estP(B/A). On a

P(B/A) = P(A∩B)

P(A) = P(F, F) P(A) =

1 4 1 2

= 1

2(=P(B)).

On retrouve bien le fait queA etB sont ind´ependants en probabilit´e.

(b) 1pt La probabilit´e recherch´ee estP((A∩B)/(A∪B)). On a P((A∩B)/(A∪B)) = P((A∩B)∪(A∪B))

P(A∪B) = P(A∩B)

P(A) +P(B)−P(A∩B) =

1 4 1

2 +¹₂− ¹₄ =

1 4 3 4

= 1 3. 2. 1pt Comme (A∩B)⊂C, on a d’apr`es le coursP(A∩B)≤P(C). Or

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)≤1⇔P(A∩B)≥P(A) +P(B)−1, on en d´eduit donc que P(A) +P(B)−1≤P(A∩B)≤P(C)⇔P(A) +P(B)≤P(C) + 1.

3. • 1pt La probabilit´e d’obtenir au moins un 6 en 4 lancers d’un d´e (`a 6 faces) est ´egale `a : 1−

(5 6

)₄

= 0,518 `a 10<sup>−3</sup> pr`es par d´efaut (il suffit de consid´erer l’´ev´enement compl´ementaire).

• 1pt La probabilit´e d’obtenir au moins un double 6 en 24 lancers de deux d´es (toujours `a 6 faces) est ´egale `a :

1− (35

36 )24

= 0,491 `a 10<sup>−3</sup> pr`es par exc`es.

L’´ev´enement le plus probable est donc l’obtention d’au moins un 6 en lan¸cant 4 fois un d´e.

4. 1pt On cherche `a d´eterminer l’entier ntel que 1−

(35 36

)n

> 1

2 ⇔n >− ln(2) ln(

1−₃₆¹) = 24,605 `a 10<sup>−3</sup> pr`es par d´efaut.

On prendra doncn≥25.

5. 1pt Les ´ev´enements A etB sont disjoints donc P(A∩B) =P(∅) = 0. Dans ce cas, P(A∩B) =P(A)P(B)⇔P(A) = 0 ouP(B) = 0.

Attention, cela ne veut pas dire n´ecessairement que A (ouB) est vide.

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Exercice 2Correction: 7pts

1. 1,5pt Soit X la variable al´eatoire d´esignant le nombre d’accidents recens´es par jour ; les valeurs possibles deX sont enti`eres (variable discr`ete) et varient de 0 `a 5. `A chacune de ces valeursx_i, on associe sa probabilit´e de r´ealisation p_i = xi

200 :

Nombre x_i d’accidents 0 1 2 3 4 5

Probabilit´esp_i 0,43 0,41 0,11 0,035 0,01 0,005 Le nombre moyen d’accidents par jours correspond `a l’esp´erance math´ematique deX :

E(X) =∑

i

p_ix_i = 0×86 + 1×82 + 2×22 + 3×7 + 4×2 + 5×1

200 = 4

5. On peut donc affirmer qu’il y a 4 accidents en moyenne tous les 5 jours.

2. 1,5pt La loi de Poisson est la loi des “anomalies” ind´ependantes et de faible probabilit´e. On peut l’appliquer ici `a priori directement, faute d’autres informations sur la survenue des accidents.

Afin de mieux s’en convaincre, en notant que les accidents sont consid´er´es comme des ´ev´enements ind´ependants, on peut interpr´eterX comme une variable binomiale de param`etren= 200 (nombre d’´epreuves), de moyenne np = 0,8. Par suite, p = 0,004. On est tout `a fait dans le champ d’ap- proximation de la loi de Poisson :

n >50,p≤0,1 etnp= 0,8≤10.

Le param`etre de cette loi seraλ=np= 0,8 et

P(X=k) =e^−0,8(0,8)k k! . 2pts Donnons le tableau comparatif :

Nombre x_i d’accidents 0 1 2 3 4 5

Nombre de jours 86 82 22 7 2 1

p_i 0,43 0,41 0,11 0,035 0,01 0,005

pi th´eoriques selon Poisson 0,449 0,359 0,144 0,038 0,008 0,001 pi th´eorique selon loi binomiale 0,448 0,360 0,144 0,038 0,0075 0,001

1pt La derni`ere ligne indique les probabilit´es obtenues par la loi binomiale, tr`es peu pratique ici eu ´egard au grand nombre d’observations (manipulation de combinaisons et puissances) :

P(X=k) =C_n^kp^kq^n−k. Par exemple :

P(X= 2) =C₂₀₀² (0,004)²(0,996)¹⁹⁸= 200×199

2 ×0,000016×0,452219. . .≃0,144.

3. 1pt La probabilit´e de voir survenir moins de 3 accidents est th´eoriquement ´egale `a P(X ≤3) = 0,449 + 0,359 + 0,144 = 0,952.

Le nombre th´eorique de jours o`u il se produit moins de 3 accidents est donc 0,952×200 = 190,4.

Le nombre fourni par la r´ealit´e (statistique) est :

86 + 82 + 22 = 190.

On remarque un bon ajustement par la loi de Poisson. Le cas k= 5 est moins convaincant mais il est marginal.

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Exercice 3Correction: 6pts

1. 1,5pt On compl`ete le tableau de l’´enonc´e de la mani`ere suivante :

LongueurL(cm) Centrel_i Effectif n_i n_il_i n_il²_i [24,0; 24,5[ 24,25 5 121,25 2940,3125 [24,5; 25,0[ 24,75 13 321,75 7963,3125

[25,0; 25,5[ 25,25 24 606 15301,5

[25,5; 26,0[ 25,75 8 206 5304,5

TOTAL – 50 1255 31509,375

On obtient donc L= 1255

50 = 25,1 et σ=

(31509,375

50 −(25,1)² )¹

2

= 0,4 `a 10<sup>−1</sup> pr`es par d´efaut.

2. (a) 0,5pt P(L <25,6) =P(T <1,25) = 0,8944.

(b) 1pt P(24,6 < L <25,4) = P(−1,25 < T < 0,75) = P(T < 0,75)−(1−P(T < 1,25)) = 0,7734−(1−0,8944) = 0,6678.

(c) 1pt ´Etant donn´e queL−σ= 25,1−0,4 = 24,7 etL+σ= 25,1 + 0,4 = 25,5, on obtient P(L−σ < LL+σ) =P(24,7< L <25,5) =P(−1< L <1) = 2P(T <1)−1 =

2×0,8413−1 = 0,6826.

(d) 1pt ´Etant donn´e queL−2σ= 25,1−2×0,4 = 24,3 et L+ 2σ = 25,1 + 2×0,4 = 25,9, on obtient

P(L−σ < LL+σ) =P(24,3< L <25,9) =P(−2< L <2) = 2P(T <2)−1 = 2×0,9772−1 = 0,9544.

(e) 1pt ´Etant donn´e queL−3σ= 25,1−0,4 = 23,9 et L+ 3σ = 25,1 + 0,4 = 26,4, on obtient P(L−σ < LL+σ) =P(23,9< L <26,4) =P(−3< L <3) = 2P(T <3)−1 =

2×0,9987−1 = 0,9974.

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