CHAMPS CLASSIQUES

Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 8

1

^Acad´emique

Trouver les (ou plutˆot des) potentiels d’une chargeq, ponctuelle, immobile, en jauge de radiation.

2

Transformation des sources

On dispose, dans notre rep`ere, de ρ(x, y, z, t) = a e<sup>−(x2+y2+z2)/2σ2</sup>, et j(x, y, z, t) = 0. Sont-ce des sources possibles pour le champ ´electromagn´etique ? D´eterminer les expressions ρ<sup>0</sup>(x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>, z<sup>0</sup>, t<sup>0</sup>) et j<sub>x</sub><sup>0</sup>(x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>, z<sup>0</sup>, t<sup>0</sup>),j<sub>y</sub><sup>0</sup>... de ces sources dans un rep`ere qui se d´eplace `a la vitesse−βx.ˆ

3

^Densit´es d’une charge ponctuelle inerte

Associons `a une charge ponctuelle q, immobile `a l’origine, la densit´e de charge ρ(~r, t) = q δ³(~r), et supposons que les valeurs des densit´es de charge et de courant en tout ´ev´enement ont un comportement de quadrivecteur par transformation de Lorentz. D´eterminer alors les densit´es de charge et de courant d’une charge ponctuelle qui se meut `a vitesse constante.

4

Perception extra-tensorielle

Au simple vu des ´equations de Maxwell (ingr´edients : ρ,~j, −→E, −→B, et ∂µ pour ∂t et −→

∇), et mue par le d´esir de les ´ecrire sous forme tensorielle, imaginez les arguments qui peuvent, sans aucun calcul, conduire directement `a ´eliminer les candidatures de th´eories de champ scalaire ou (quadri)vectoriel au profit d’une th´eorie de champ tensoriel antisym´etrique.

5

Equations de Maxwell tensorielles

Il est bien entendu rigoureusement interdit de ne pas savoir montrer que les ´equations de Maxwell inhomog`enes,−→

∇ ·−→E =ρet −→

∇ ∧−→B −∂−→E /∂t=~j, sont ´equivalentes `a∂µF<sup>µν</sup> =j<sup>ν</sup>. Mais qu’en est-il des ´equations de Maxwell homog`enes−→

∇ ·−→B = 0 et−→

∇ ∧−→E+∂−→B /∂t= 0 ? Montrez que celles-ci sont

´

equivalentes `a∂αFβγ+∂βFγα+∂γFαβ= 0.

6

Charge dans un champ ´electrique uniforme et constant

Une particule (ai-je bien dit qu’elle ´etait d’´epreuve) est mue par un champ ´electrique uniforme et constant −→E. On peut ´evidemment prendre pour origine l’´ev´enement (s’il existe) o`u la quantit´e de mouvement~p₀ de la charge est orthogonale au champ et, pas maso, les axes ˆx et ˆy selon −→E et~p₀ respectivement.

1. Ecrire les ´equations du mouvement des composantespⁱ(t) de l’impulsion.

i) En d´eduire les solutionspⁱ(t).

ii) D´eterminer l’´energiee(t).

iii) En d´eduire les composantesvi(t) de la vitesse.

iv) En d´eduire la trajectoire param´etrique x(t),y(t).

2. Que devient cette trajectoire dans le casp0= 0 ?

3. D´eterminer et tracer la trajectoirex(y). Comparer avec le cas non relativiste ?

2 Champs classiques, PH042 Paris 7

7

Charge dans un champ magn´etique uniforme et constant

Une particule (d’´epreuve) se meut dans un champ magn´etique uniforme et constant −→B. Disons qu’`a l’instantt= 0 son ´energie est e0 et sa vitesse longitudinale v0k.

1. Ecrire les ´equations du mouvement de l’´energiee(t) et de l’impulsion~p(t).

i) En d´eduire l’´equation du mouvement de la vitesse~v(t).

ii) En d´eduire la vitesse longitudinalevz(t) et la vitesse transversale complexe vx(t) +i vy(t).

iii) En d´eduire la trajectoire param´etriquex(t),y(t),z(t).

2. Etudier le cas “non relativiste”.

3. Etudier le cas v0k = 0. Calculer le champ magn´etique n´ecessaire pour maintenir un ´electron de 90 GeV sur une trajectoire de circonf´erence 27 km.