Paris 7 PH042
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CHAMPS CLASSIQUES
Exercices, feuille 10
1
La formule de FeynmanR.P. Feynman (le Livre, I.28 et II.21, dont on ne conseillera jamais trop la lecture) a propos´e la formule suivante,
E(r, t) = q 4π
("
Rb R2
#
+ [R] ∂
∂t
"
Rb R2
# + ∂2
∂t2 hRbi)
,
donnant le champ ´electrique cr´ee enr, tpar une charge ponctuelle q, de trajectoirerq(t), o`u [f(r, t)]df=f(r, t0),
avect0(r, t) tel que
t0=t−[R]
et
R(r, t)df=r−rq(t).
Arm´ee de patience et munie d’une bonne r´eserve de papier, v´erifiez que cette expression implique bien
E(r, t) = q 4π
"
1 (1−Rb ·vq)3
((1−v2q)(Rb −vq)
R2 +Rb ∧¡(bR−vq)∧aq
¢ R
)#
.
2
Le pont aux ˆanes de l’´electrodynamiqueUne charge ponctuelleq >0 d´ecrit la trajectoire ci-contre avec une vitesse de module constantvq= 3/5. Elle passe au point (a,0,0) `a l’instantt= 0.
1. Calculer le champ ´electrique au point P, coordonn´ees (a, a,0), `a l’instant t = 0. (Commencer par d´eterminer soigneusement l’´ev´enement source S.) Calculer le champ magn´etique au mˆeme point, mˆeme instant.
2. Repr´esenter la zone de l’espace o`u, `a l’instantt= 0, il peut y avoir une contribution au champ ´electromagn´etique du type rayonnement.
3. Repr´esenter l’allure des lignes de champ ´electrique dans le plan ( ˆx,y), `ˆ a l’instantt= 0.
4. Estimer direction et sens du champ magn´etique en les points du plan (ˆx,ˆy), `a l’instantt= 0.
3
Antennes d’´emission et de r´eceptionDes ´electrons sont agit´es d’un mouvement de va-et-vient “non relativiste” dans un bout de fil conducteur rectiligne. Comment vaut-il mieux disposer un autre bout de fil rectiligne, `a distance du premier, pour y recueillir l’effet le plus grand ?
4
Effondrement de l’atome d’hydrog`ene classiqueL’´electrodynamique classique pr´edit qu’un ´electron acc´el´er´e rayonne, et on tient `a croire par ailleurs `a la conservation de l’´energie. On se propose donc d’estimer la perte d’´energie d’un ´electron en orbite autour d’un proton, et la dur´ee de vie de cet atome (la th´eorie quantique a ´et´e invent´ee pour empˆecher ¸ca).
Pour faire simple, on suppose le proton relativement infiniment lourd et, pour commencer, l’´electron
“non relativiste” (v¿1).
1. Pour un ´electron en orbite circulaire, ´etablir la relation entre vitesse angulaire ω et rayon d’orbiter. (Si le♥vous en dit, vous pouvez l’exprimer en fonction du “rayon classique de l’´electron”
re
df=e2/4πme.)
2. En d´eduire, pour cet ´electron sur orbite circul-r :
i) d’une part, l’expression de l’´energie totale (cin´etique plus potentielle)E(r),
2 Champs classiques, PH042 Paris 7
ii) d’autre part, l’expression de la puissance rayonn´ee, ou taux de Larmor, R.
3. Croyons `a la conservation de l’´energie, et admettons (¸ca peut mˆeme se justifier en m´ecanique analytique) que la puissance rayonn´ee ´etant faible, la trajectoire de l’´electron est peu perturb´ee et donc que l’expression de son ´energie au rayonr reste valide.
i) Quelle relation le principe de conservation de l’´energie implique-t-il entre la puissance rayonn´eeR et la variationdE de l’´energie de l’´electron durant un laps de tempsdt?
ii) En d´eduire une ´equation diff´erentielle r´egissant l’´evolution de r(t), puis la dur´e´e tf −ti ´ecoul´ee pour tomber du rayonri au rayonrf.
iii) Quelle estimation en d´eduisez-vous pour la dur´ee de vie, en secondes, d’un atome d’hydrog`ene ordinaire ?
4. Cela fait, on peut l´egitimement s’interroger sur les conditions de validit´e de cette estimation. . . i) Dans quelle mesure l’´electron est-il “non relativiste” : calculer la vitesse de l’´electron sur orbiter? Conclusion ?
ii) Dans quelle mesure la trajectoire reste-t-elle sensiblement circulaire : calculer l’´energie rayonn´ee durant un tour au rayonr, en d´eduire la variationdEd’´energie de l’´electron et, finalement, la variation relative dr/rdu rayon ? Conclusion ?
5
Atome de Thomson et effet Zeeman normalLe mod`ele de Thomson de l’atome le plus simple assimile celui-ci `a un ´electron (massem, chargeq=
−|e|) rappel´e vers un centre fixe par une force d’oscillateur dont la pulsation est, en l’occurence,ω0. Cet “atome” est plac´e dans un champ magn´etique uniforme et constantB.
1. Ecrire les ´equations du mouvement des coordonn´ees x(t), y(t), z(t) de l’´electron. (On peut choisir, pourquoi pas, l’origine du rep`ere au centre fixe et l’axe ˆz selon le champ B, et poser γ df=
|e|B/2mω0.)
2. D´eterminer les modes normaux du mouvement de l’´electron. Envisager le cas o`u le champ magn´etique est faible (par rapport `a quoi ?).
3. Etudier le spectre et la polarisation du rayonnement ´emis par un ensemble d’atomes, selon que le spectrographe est dispos´e : dans la direction du champ magn´etique, dans une direction perpendiculaire au champ, ou dans la direction oppos´ee au champ. Comparer avec le spectre en absence de champ magn´etique.
6
Un exercice de calculMontrer que la distribution angulaire de puissance rayonn´ee par une charge (´ev´enement sourceSpris comme origine)
d3P0
dtSd2ˆr =³ q 4π
´2 ¯¯ˆr∧¡
(ˆr−v)∧a¢¯¯2 (1−ˆr·v)5 , peut aussi s’´ecrire
d3P0
dtSd2ˆr =³ q 4π
´2µ
2(ˆr·a)(v·a)
(1−ˆr·v)4 + a2
(1−ˆr·v)3 −(1−v2)(ˆr·a)2 (1−ˆr·v)5
¶ ,
et s’int´egrer, pour donner la puissance totale rayonn´ee : dP0
dtS = 2 3
q2 4πγ6¡
a2−(v∧a)2¢ .
