Energie

ENERGIE

I Petits mouvements autour d’une position d'équilibre.

Un point matériel M de masse m est solidaire d'une rigole circulaire de centre O et de rayon a sur laquelle il peut glisser sans frottement. MBA est un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide Lo.

1) Déterminer la position d'équilibre q₀ de M.

2) Donner la période des petits mouvements autour de cette position d'équilibre.

Réponse : 𝑡𝑎𝑛𝜃_!=^"#_$% ; 𝑚𝑎^&𝜃̈ = 𝑚𝑔𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑘𝑎^&𝑠𝑖𝑛𝜃 ; pulsation /^#_%01 +_"^$!_!^%_#^!_!3^'/).

II On assimile à un point matériel M de masse m un petit anneau susceptible de coulisser sans frottement le long d'un cercle fixe de centre C et de rayon a contenu dans le plan vertical. Porteur d'une charge q, M subit l'action d'une charge Q fixée au point A du cercle de cote maximum.

Il subit donc entre autres une force électrique s’écrivant 𝐹⃗ =_),-^*+

"

./000000⃗

./^#, qui dérive de l’énergie potentielle électrique 𝐸23=_),-^*+

"./.

On se propose d’étudier les mouvements possibles de M en utilisant la méthode énergétique.

1) Effectuer le bilan des forces s’exerçant sur le point M.

2) Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur E_pp du point M

a) en fonction de m, g (accélération de la pesanteur) et z cote du point M). L’axe Oz est pris vertical, ascendant, avec origine en O (point du cercle de cote minimum). La référence de cette énergie potentielle sera prise en O.

b) en fonction de m, g, a et q.

3) Exprimer l’énergie potentielle électrique E_pe en fonction de l’angle q, où plutôt en fonction de q/2. On pourra pour cela utiliser avantageusement la figure, et en particulier le point I, projection orthogonale du centre C du cercle sur le segment AM.

4) Déduire des questions précédentes l’énergie potentielle réduite

totale du point M, quantité sans dimension, définie par la relation suivante : 𝑢 =_"#%^4$ =^4$$_"#%^54$%. Montrer qu’elle se met sous la forme 𝑢(𝜃) = −^)6#

789^&_!+ 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃, en précisant l’expression de l³.

Justifier rapidement le fait que la constante l soit sans dimension à partir de son expression.

5) Montrer que 𝑢′(𝜃) =^:;(=)_:= = 2𝑠𝑖𝑛⁼_&<𝑐𝑜𝑠⁼_&− ^6#

789^!&_!=.

rapport à la verticale OA, on se limitera au domaine [0, p[ pour q) :

(a) : l < 0 ; (b) : 0 < l < 1 ; (g) : l > 1.

7) A l’aide de l’étude précédente, on trace la fonction u(q) dans les trois cas précédents :

(a) : l < 0 (b) : 0 < l < 1 (g) : l > 1

Reproduire l’allure de ces courbes. Indiquer dans chaque cas sur le graphe les positions d’équilibre, en précisant leur nature (stable ou instable).

Indiquer qualitativement la nature du mouvement du point M quand il est lancé du point O avec une vitesse initiale.

8) Dans le cas où q = 0 est une position d'équilibre stable, on cherche à déterminer la période T des petites oscillations au voisinage de cette position.

a) Exprimer l’énergie cinétique E_c de M en fonction de m, a et 𝜃̇ =^:=_:?. b) Effectuer un développement limité de u à l’ordre 2 en q.

On pourra utiliser certaines des formules suivantes : 𝑐𝑜𝑠𝜀 ≈ 1 −^-_&^! et (1 + 𝜀)^@≈ 1 + 𝛽𝜀 pour e << 1;

formule de Taylor 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥!) + (𝑥 − 𝑥_!)[𝑓′(𝑥)]_A"+^(ABA_&^")![𝑓"(𝑥)]_A"+ ⋯.

c) En déduire l’expression de l’intégrale première de l’énergie. Justifier rapidement le fait que l’énergie mécanique du système soit constante au cours du mouvement.

d) En déduire l’équation différentielle du mouvement au voisinage de q = 0.

e) En déduire la période T des petites oscillations, d’abord en fonction de a, g et l, puis en fonction de l et To (période propre du pendule simple de longueur a).

Réponse : 𝜆^C= −_C&,-^*+

""#%^! ; 𝑇 = ^D"

E'B6^#.

III Mouvement d’un palet sur une piste

Un palet M de masse m = 5,0 kg, assimilé à un point matériel, est lancé sur une piste composée d’une portion rectiligne AB et inclinée d’un angle a = 30° par rapport à l’horizontale, et d’une portion circulaire BC, de rayon R = 2,0 m et d’angle BOC = p/2 + a (cf. figure ci-contre). Le palet, initialement lancé depuis A avec la vitesse V_A glisse sans frottement sur la piste. On désigne par g = 10 m.s^-2 l’intensité du champ de pesanteur.

1) Déterminer l’expression de la vitesse VB au point B en supposant que ce point est atteint.

2) Afin que B soit effectivement atteint par le palet, il est nécessaire que V_A > V_A,l. Évaluer la valeur numérique de V_A,l. Pour les questions suivantes, on suppose la condition précédente vérifiée.

3) Déterminer l’expression de la durée t de parcours de la portion AB

4) Déterminer l’expression de la réaction normale R_N du support sur M lors de la phase du mouvement sur l’arc BC en fonction de q qui est l’angle entre OM et la verticale, 𝜃̇, m, g et R.

5) A quelle condition sur V_A n’y aura-t-il pas de décollage avant le sommet ? 6) Déterminer l’expression de qd, valeur de q pour laquelle le palet quitte la piste.

Réponse : 𝑉_F= K𝑉_.^&− 2𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑉_.,H= 5,9𝑚. 𝑠^B' ; 𝜏 =^I'BJI'

!B&#K789L

#9MNL ; 𝑅_O= 𝑚S𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑅𝜃̇^&T ; 𝑉_.< K3𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝜃:= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠_C#K^I'!.

IV Pendule de Holweck et Lejay

On considère une barre homogène de masse négligeable et de longueur l, susceptible de tourner sans frottements autour de l’axe horizontal et soumise en O à l’action d’un ressort spiral. L’énergie potentielle de ce ressort, qui ne dépend que de l’angle q est de ^'_&𝐶𝜃^&. On place un objet de masse m, considéré comme ponctuel, à l’extrémité de cette tige. On étudie l’évolution de ce dispositif dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. On notera g l'accélération de la pesanteur supposée uniforme.

1) Dans le cas d'un problème unidimensionnel, où une force ne dépend que d’un seul paramètre de position que l’on appellera x, quelle est la relation liant la force 𝐹⃗ à l’énergie potentielle Ep dont elle dérive ? À quelle(s) condition(s) a-t-on une position d’équilibre stable ?

2) Exprimer l’énergie potentielle du système Ep en fonction de l’angle q (on prendra la référence d'énergie potentielle de pesanteur pour q = 0).

3) On se place maintenant dans le cas des petits angles au voisinage de q = 0. Effectuer un développement limité de l'expression précédente de l'énergie potentielle à l'ordre 2. Représenter E_p(q) en distinguant deux cas.

4) La position q = 0 est-elle une position d’équilibre ? Discuter la stabilité éventuelle de cet équilibre.

5) Montrer que le mouvement peut être périodique au voisinage de q = 0. À quelle condition portant sur C est-ce possible ? Que deviendrait l’équation différentielle régissant de q(t) si l’on tient compte de frottements proportionnels à la vitesse angulaire ? 6) Exprimer la période T0 des petites oscillations en fonction de C, m, l et g.

7) Exprimer la période T’₀ des oscillations si on retourne ce dispositif (le ressort est au repos lorsque la masse est en bas).

8) En déduire une expression de g en fonction des périodes T₀ et T’₀.

Réponse : 𝐸₂(𝜃) =^'_&𝐶𝜃^&+ 𝑚𝑔𝑙(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1) ≈ (𝐶 − 𝑚𝑔𝑙)⁼_&^! ; Équilibre stable en q = 0 si C > mgl ; 𝑇_!= 2𝜋/_QB"#P^"P! ; 𝑇′!= 2𝜋/_Q5"#P^"P! ; 𝑔 = 2𝜋^&𝑙 0_DR^'

"

!−_D^'

"!3.

V Rembobinage d'un fil sur un tambour

Un fil inextensible et sans masse de longueur L est raccordé tangentiellement à une bobine circulaire plate de rayon R centrée en O ; à son extrémité libre est accroché un point matériel M de masse m.

On tend le fil et on lance M dans le plan de la bobine, perpendiculairement au fil, avec une vitesse de norme v0 et dans le sens correspondant à l'enroulement.

On note I₀ le point d'attache du fil sur la bobine.

On négligera le champ de pesanteur dans tout le problème.

q = (I_o O I).

Expliciter le vecteur position 𝑂𝑀]]]]]]⃗ dans la base polaire liée à I (voir figure).

On introduira l'angle a tel que L = R a.

En déduire la vitesse : 𝑣⃗(𝑀) = −𝑅(𝛼 − 𝜃)𝜃̇𝑒⃗_S puis l'accélération du point M.

2) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, montrer que la vitesse de M durant le mouvement, jusqu'à ce qu'il arrive au contact avec la bobine, reste de norme constante, de valeur v_o.

3) Retrouver ce résultat par application du théorème de l'énergie cinétique.

4) Déterminer la durée t du rembobinage complet.

5) Exprimer la tension du fil à chaque instant en fonction de m, v_o, L, la durée t du rembobinage complet et l'instant t considéré. Vérifier que la tension du fil ne s'annule pas au cours du mouvement.

6) Étudier l'évolution de la vitesse angulaire du point M.

Réponse : 𝑂𝑀]]]]]]⃗ = 𝑅𝑒⃗_S+ 𝑅(𝛼 − 𝜃)𝑒⃗₌ ; 𝛾⃗ = −𝑅_:?^:a𝜃̇(𝛼 − 𝜃)b𝑒⃗_S− 𝑅𝜃̇^&(𝛼 − 𝜃)𝑒⃗₌ ; 𝜏 =_&KU^T!

( ; 𝑇 =_TE'B?/V^"U(! ; 𝜃̇ =_KV^T _E'B?/V^' → ∞.

VI Étude d’un lance-pierres

1) Définir l’énergie potentielle d’une force ; est-ce toujours possible ? Établir l’expression de l’énergie potentielle correspondant à l’allongement (à définir) d’un ressort ou d’un élastique de raideur k.

2) On fabrique un lance-pierres avec deux élastiques identiques. Ceux-ci se comportent comme des ressorts de longueur à vide L₀ et de raideur k, à condition que leur allongement soit positif. Pour lancer un projectile P de masse m, on le serre dans un petit morceau de cuir fixé entre les deux élastiques qu’on allonge symétriquement jusqu’à ce qu’ils aient une longueur L = 2L₀, puis on lâche (voir figures ci-contre : perspective et vue de dessus).

On précise que AB = L0 et on néglige l’épaisseur de P.

a) On envisage un tir horizontal : quelle est la longueur des élastiques quand ils cessent de pousser le projectile P ? En déduire la vitesse à laquelle celui-ci est lancé ; faire l’application numérique.

b) Déterminer en fonction de k et L₀ la force (quasi horizontale) à exercer pour tendre les élastiques selon la description ; faire l’application numérique.

c) Un individu tire horizontalement depuis le bord d’une falaise avec la vitesse initiale v₀ ; son projectile subit une force de frottement fluide : 𝐹⃗ = −𝛼𝑣⃗.

Déterminer et interpréter la loi d’évolution du vecteur vitesse.

En déduire la distance horizontale atteinte en supposant la falaise suffisamment élevée.

Pour les applications numériques (A.N.), on prendra : L0 = 10 cm ; m = 10 g ; k = 200 N/m.

Réponse : 𝑣_!= 𝐿_!/^&$_" ; F = 2kL₀cosq ; 𝑣⃗ = (𝑣⃗_!− 𝑣⃗_W)𝑒^B?/V+ 𝑣⃗_W avec t = m/a et 𝑣⃗_W= 𝜏𝑔⃗ =^"#0⃗_L ; portée 𝑥_W= 𝜏𝑣_!=^"U_L^".

VII Collisions de deux pendules

A. Pendule seul

On considère un point matériel M de masse m accroché à un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible de longueur L et de masse nulle.

L’ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre 𝑔⃗ = 𝑔𝑢]]]]⃗ avec g = 9, 8 m.s_X ⁻². Le mouvement a lieu dans le plan Oxz. On utilise les coordonnées polaires et la base polaire avec 𝜃 = (𝑢]]]]⃗, 𝑢X ]]]]⃗) et 𝑂𝑀S ]]]]]]⃗ = 𝐿𝑢]]]]⃗. S

Le plan du mouvement est orienté de telle sorte que le sens positif corresponde au sens antihoraire sur le schéma.

1) Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par l’angle polaire θ(t).

2) Donner la forme simplifiée de cette équation, notée (ε), pour des angles θ petits. En déduire l’expression de la pulsation propre ωo et de la période propre To du mouvement. Calculer numériquement ωo et To. On donne L = 0,25 m.

3) Résoudre (ε) en considérant que θ(0) = θo et 𝜃̇(0) = 0.

4)

4.a) En considérant les mêmes conditions initiales, calculer la vitesse du point matériel M quand il passe par sa position d’équilibre. A.N. : g = 9,8 m.s^-2 ; L = 0,25 m ; θ_o = 10°.

4.b) Retrouver ce résultat à partir de considérations énergétiques. On rappelle le D.L. pour θ faible : cos θ ≈ 1 – θ

²

B. Système de deux pendules.

On considère deux pendules P₁ et P₂ constitués respectivement de deux points matériels M₁ et M₂ de masse m₁ et m₂, accrochés au même point fixe O à l’aide de deux fils identiques, inextensibles, de masse nulle et de longueur L (figure ci-contre).

On repère la position de P1 par l’angle orienté 𝜃'= S𝑂𝑧, 𝑂𝑀]]]]]]]]⃗T et '

celle de de P₂ par l’angle orienté 𝜃_&= S𝑂𝑧, 𝑂𝑀]]]]]]]]]⃗T. _&

Donc dans le cas représenté sur la figure on a des valeurs θ₁ > 0 et θ₂ < 0.

Les mouvements des deux pendules ont lieu dans le plan (Oxz). On se placera dans le cadre de l’approximation des angles θ₁ et θ₂ petits.

On suppose qu’à l’instant t = 0 on lâche les deux pendules sans vitesse initiale, avec des positions initiales θ₁(0) = θ_1o et θ₂ (0) = θ_2o

= - θ1o.

5) A quel instant t1 a lieu le premier choc entre les deux points matériels M1 et M2 et en quel point ? Justifier les réponses.

6) On note 𝑣]]]]⃗ = 𝑣' '𝑢]]]]⃗ et 𝑣A ]]]]⃗ = 𝑣& &𝑢]]]]⃗ les vitesses de MA 1 et M2 juste avant le choc. De même, on note 𝑣]]]]⃗′ = 𝑣' '′𝑢]]]]]⃗ et 𝑣A ]]]]⃗′ = 𝑣_& &R𝑢]]]]⃗ A

les vitesses de M₁ et M₂ juste après le choc.

Les quantités v1, v2, v2’ et v1’ sont algébriques.

6.a) Donner l’expression de v₁ et v₂ en fonction des conditions initiales.

6.b) On admet que lors d’un choc, la quantité de mouvement totale du système de deux points matériels est conservée. En déduire une relation (1) entre v₁, v₂, v₁’ et v₂’.

6.c) De plus le choc est supposé élastique, c’est-à-dire que l’énergie cinétique totale du système de deux points matériels est elle aussi conservée : elle a même valeur juste avant et juste après le choc. En déduire, en utilisant la relation (1), que :

v₁ + v₁’ = v₂ + v₂’ (2)

6.d) A partir des relations (1) et (2), déduire les expressions de v₁’ et v₂’ en fonction de v₁ et v₂, puis en fonction de θ_1o et des constantes du problème (L, g, m1, m2).

On rappelle le D.L. pour θ faible : cosθ ≈ 1 – θ

²

Que se passe-t-il dans le cas particulier où m₂ >> m₁ ? Que dire du cas où m₁ = m₂ ?

6.e) On se replace dans le cas général de masses m₁ et m₂ quelconques. En déduire finalement les élongations angulaires maximales θ1o’ et θ2o’ des deux pendules après ce choc.

7. A quel instant t₂ a lieu le deuxième choc, et en quel point ?

8. On note 𝑤]]⃗ = 𝑤_'𝑢]]]]⃗ et 𝑤_A ]]]]]⃗ = 𝑤_{& &}𝑢]]]]⃗ les vitesses des points matériels M_{A 1} et M₂ juste avant le second choc, et 𝑤]]]]⃗′ = 𝑤′𝑢_' ]]]]]⃗_A et 𝑤]]]]]⃗′ =_&

𝑤&R𝑢]]]]⃗ leurs vitesses juste après le choc. A

8.a) Donner l’expression de w₁ et w₂ en fonction de v₁’ et v₂’ (Justifier la réponse).

On suppose de nouveau que le choc est élastique. En utilisant une démarche similaire à celle de la question 6., on peut déterminer w₁’ et w₂’ en fonction de w₁ et w₂.

En explicitant alors w₁’ et w₂’ en fonction de v₁’ et v₂’, puis de v₁ et v₂, on aboutit finalement à : w₁’ = -v₁ et w₂’ = -v₂.

8.b) En déduire que les élongations maximales après le second choc sont θ_1o’’ = θ_1o et θ_2o’’= θ_2o. 9. Décrire qualitativement l’évolution ultérieure du système.

10. Tracer sur le même graphique les évolutions de θ1(t) et θ2(t) en fonction du temps pour 0 < t < 3s, dans le cas où : L = 25 cm = 0,25 m, θ_1o = 10°, θ_2o =-10°, m₁ = 1,0 kg et m₂ = 3,0 kg.

Réponse : 𝜃̈ +^#_T𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 ; 𝑇_!= 2𝜋/^T_# ; 𝜃(𝑡) = 𝜃_!𝑐𝑜𝑠𝜔_!𝑡 ; 𝑣(0) = 𝜃_!K𝑔𝐿 ; t1 = T0/4 ; 𝑣_'= −𝑣_&= −𝜃_'!K𝑔𝐿 ; m₁ v₁ + m₂ v₂ = m₁ v’₁ + m₂ v’₂ (1) ; 𝑣′_'=^C"_"^!B")

)5"_! 𝜃_'!K𝑔𝐿 et 𝑣′_&=^"_"^!BC")

)5"_! 𝜃_'!K𝑔𝐿 ; 𝜃′_'!=^C"_"^!B")

)5"_! 𝜃_'! et 𝜃′_&!=^"_"^!BC")

)5"_! 𝜃_'! ; t₂ = 3T₀/4 ; w₁ = - v’₁ et w₂ = - v’₂.

VIII Supports : adhérence ou pas ?

Le sujet s’intéresse à différents cas de frottements solides qui induisent des types de mouvement relatif possible dans certaines conditions pour un couple solide1-solide2. Ces propriétés viennent du choix du support pour un mobile donné. La partie I est une question de cours à propos des lois de Coulomb dont les réponses attendues permettront aux candidats de mieux exploiter les parties II, III IV et V qui peuvent néanmoins être traitées de manière indépendante. La partie II consiste en une résolution de problème. Les parties III et IV présentent des exemples de mesures de coefficients de frottement solide. La partie V développe une modélisation simple du phénomène de « slip-stick » (glisser – coller).

Partie I-Lois de Coulomb relatives au glissement

On rappelle ci-dessous les lois de Coulomb, en notant f_set f les coefficients statiques et dynamiques du frottement et 𝑇]⃗ et 𝑁]]⃗ les composantes tangentielle et normale de la réaction.

- En mode statique (absence de glissement donc adhérence), la norme T de la composante tangentielle 𝑇]⃗ est inférieure à la quantité f_s.N dans laquelle N représente la norme de la composante normale 𝑁]]⃗ de la réaction : T ≤ f_s.N.

- En mode dynamique (présence de glissement), on a alors l’égalité T = f.N avec une composante tangentielle toujours opposée à la vitesse de glissement 𝑣]]]]⃗ : 𝑇]⃗ • 𝑣_# ]]]]⃗ < 0 et 𝑇]⃗ ⋀ 𝑣_# ]]]]]⃗ = 0 , c’est-à-dire que ces deux vecteurs sont colinéaires et de sens opposés. _# La différence entre adhérence et frottement est liée au fait que les interactions entre les surfaces solides en contact sont modifiées en cas de mouvement relatif. En particulier, cette différence apparaît plus marquée en cas de surfaces relativement rugueuses ou pour certains matériaux qui vont changer d'état en cas de frottement (caoutchouc...). La mise en mouvement relatif des deux surfaces amène à diminuer les interactions entre les microreliefs présents sur ces surfaces. Le coefficient d'adhérence sera toujours plus élevé que le coefficient de frottement de glissement.

Q1.

a) Définir ce qu’on appelle la vitesse de glissement 𝑣]]]]⃗ d’un solide par rapport à un autre en un point de contact. _#

O

z b) Doit-on préciser dans quel référentiel elle est exprimée ?

Q2. Expliquer à quelle condition on passe de l’adhérence au glissement.

Q3. Expliquer à quelle condition on passe du glissement à l’adhérence.

Partie II-Résolution de problème : tourne-disque.

Q4. Toute démarche construite, même inaboutie, amènera l’attribution de points.

Un objet en acier, de masse m est posé sur un plateau tournant d’axe vertical (Oz), recouvert d’une nappe de caoutchouc.

Le plateau est entraîné en rotation au moyen d’un moteur de vitesse angulaire 33 tours par minute (plateau de tourne-disque pour disques vinyles).

La réaction du plateau sur l’objet se décompose en un terme vertical et un terme horizontal. Ce dernier correspond au frottement solide de l’objet sur le plateau.

g est l’intensité du champ de pesanteur (on prendra g = 10 m.s^-2).

A partir de quelle valeur du coefficient de frottement statique f_s l’objet va-t-il glisser du plateau ? Quelle information manque-t-il pour répondre à cette question ?

Proposer une application numérique vraisemblable.

Le coefficient de frottement statique de l’acier sur le caoutchouc est de l’ordre de f_s = 0,8 ; conclusion ? Partie III-Mesure du coefficient de frottement dynamique.

On utilise le dispositif représenté sur la figure 1.

Un solide 1 (S1) de masse M est lié, par un fil inextensible et supposé sans masse, à un solide 2 (S2) de masse αM (α > 1 > f_s). Le fil sans masse de longueur L passe sur la gorge d’une poulie idéale.

On rappelle qu’une poulie idéale conserve la norme de la tension du fil mais en modifie la direction

Le solide 1 se déplace sur un support fixe S horizontal. On appelle H l’altitude du centre de masse du solide 2 (S2) au-dessus d’un support horizontal S’.

À l’état initial, les solides sont tous immobiles, le solide 1 est à l’abscisse X(t = 0) =X0 et le solide 2 est à l’altitude H(t = 0) = H0.

On veut dans cette expérience déterminer la valeur du coefficient f de frottement relatif au glissement entre le matériau constitutif de S et celui du solide 1. On mesure la distance D parcourue par le solide 1 sur le support S, sachant que le solide 2 touche S’avant que le solide 1 ne s’arrête.

Consignes : on note g l’accélération de la pesanteur. On notera systématiquement T et N les normes des composantes tangentielle et normale de la réaction du support S sur le solide 1 (figure 1), avec f le coefficient de frottement dynamique. On supposera l’appui du

Q5. Décrire qualitativement les deux phases successives du mouvement de l’ensemble en précisant pour chacune d’elles si le fil est tendu ou non tendu.

Q6. La nature « idéale » de la poulie et du fil permet de considérer que la norme F de la tension du fil est conservée tout le long du fil.

En appliquant le théorème de la résultante cinétique (ou deuxième loi de Newton) au solide 1 et au solide 2, écrire les 3 relations qui lient N, T, F, g, α, M, l’accélération horizontale 𝑋̈ du solide 1 et l’accélération verticale 𝑍̈ du solide 2. N.B. : On prendra garde au fait que la tension du fil n’est pas égale au poids de la masse suspendue !

Q7. Traduire la loi de Coulomb pour exprimer la composante tangentielle T.

Q8. On s’intéresse à la première phase du mouvement.

a) Exprimer le lien entre 𝑋̈ et 𝑍̈ en le justifiant dans cette première phase.

b) Établir dans cette phase la vitesse 𝑋̇(𝑡) en fonction de α, f et g.

c) Quelle est la durée t1 de cette première phase ? d) Quelle est la vitesse correspondante atteinte V₁ ?

Q9. On s’intéresse à la deuxième phase du mouvement, qui est déclenchée à partir de l’instant t₁. On prendra garde aux conditions initiales…

a) Exprimer X (t) dans cette phase en fonction de t, t₁, V₁, X₀, H₀, g et f.

b) Exprimer f en fonction de α, H₀ et D.

Q10. Retrouver ces résultats en appliquant le théorème de l’énergie cinétique à chacune des deux phases du mouvement.

a) Déterminer la vitesse V₁ atteinte en fin de la première phase, en fonction de H₀, α, f et g. On pourra déterminer préalablement le travail de la force de tension du fil en appliquant le théorème de l’énergie cinétique au solide (S2).

b) Exprimer le coefficient de frottement dynamique f en fonction de α, H₀ et D en étudiant la seconde phase.

Q11. On réalise l’expérience plusieurs fois de suite, en partant toujours de la valeur de H₀ = 40,0 cm. La masse du solide 1 vaut M = 50 g et celle du solide 2 vaut αM = 60 g. Calculer la valeur du coefficient de frottement dynamique f sachant qu’on a trouvé une valeur moyenne de la distance D égale à D = 1,50 m.

Partie IV -Mesure du coefficient de frottement statique

Q12. On pose maintenant le solide 1 sur le support S qui fait un angle 𝜃 avec le plan horizontal. Le dispositif est représenté sur la figure2. On fait augmenter, à partir d’une valeur faible l’angle 𝜃 en déplaçant lentement un coin et on mesure pour quelle valeur θ = θ_lim le solide 1 se met à glisser. Montrer que cette expérience permet de mesurer le coefficient de frottement statique f_s.

Q13. On réalise plusieurs essais successifs de décrochement et la valeur moyenne de θ_lim est de l’ordre de 29,5°.

En déduire l’ordre de grandeur du coefficient de frottement mesuré.

Partie V-Phénomène de « slip-stick »

Données : accélération de la pesanteur g = 10 ms⁻².

Le domaine des ondes sonores, perceptibles par l’oreille humaine, va d’une fréquence de 20 Hz à une fréquence de 20 kHz. Une grande fréquence correspond à un son aigu.

Consignes : on notera systématiquement N et T les normes des composantes normale et tangentielle de la réaction d’un support. On supposera l’appui du solide 1 uniformément réparti avec une même valeur du coefficient de frottement en tout point de la surface de contact.

Le phénomène « slip-stick » (littéralement glisser-coller) intervient quand les coefficients de frottement statique fs et dynamique f ont des valeurs très différentes. Il s’agit d’un mouvement saccadé qui contient des phases de glissement et d’adhérence successives dont on décrit ci-dessous une modélisation.

Le solide 1 de masse M = 50 kg est relié par un ressort de raideur k à un point fixe A.

Il se déplace sur un tapis roulant horizontal caractérisé par un coefficient de frottement dynamique nul et par un coefficient statique f_s = 0,6. La situation est représentée figure 3. On note X(t) l’allongement instantané du ressort.

Dans la situation initiale, X (t = 0) = X0 > 0 et le solide 1 est abandonné sans vitesse initiale relativement au tapis. Celui-ci se déplace à la vitesse uniforme 𝑉]⃗ = 𝑉 𝑒]]]⃗. A

Q14. Écrire la condition de début de glissement. Établir alors les expressions : a) de l’allongement X1 atteint au début de glissement

b) de la date t₁ associés au début de glissement du solide 1 par rapport au tapis.

Q15.

a) Quelle est la nature du mouvement après la date t1 ?

b) Déterminer par une méthode énergétique l’allongement maximal X_M atteint par la masse en fonction de X₁, V et la pulsation propre de l’oscillateur ω₀.

Q16.

a) Déterminer les fonctions allongement X(t’) et vitesse 𝑋̇(𝑡′) pendant la phase de glissement, avec le changement d’origine des temps t’ = t – t₁ ( l’origine des t’ est prise au début de la deuxième phase).

b) Pour quelle valeur de 𝑋̇(𝑡′ = 𝑡′_&) cette phase s’arrête-t-elle ? c) Représenter l’allure de X(t) et de 𝑋̇(𝑡) entre t = 0 et t = t₁ + t’₂.

Q17. À quelle condition d’inégalité entre la période propre T₀ et le rapport X₁/V peut-on considérer que l’abscisse maximale X_M est très voisine de X₁ ? On suppose cette condition vérifiée dans toute la suite de cette partie.

Q18. Montrer qu’alors la fréquence approchée du mouvement est donnée par : 𝜐 =_&#.\

*. Évaluer numériquement cette fréquence en supposant que la raideur vaut k = 4 kN.m^-1et que la vitesse du tapis roulant vaut V = 6 cms^-1.

Q19. Représenter l’allure de X(t)sur au moins une période.

Q20. Ce phénomène se retrouve dans beaucoup de situations quotidiennes : craie qui crisse sur un tableau, porte qui grince, pneu qui crisse et archet de violon.

a) Dans quel domaine de fréquences sont donc ces mouvements de « slip-stick » ?

b) Pourquoi en cassant la craie supprime-t-on ce crissement, sachant que la raideur k d’un bâton est inversement proportionnelle au cube de sa longueur ?

Q21. Évaluer le travail des forces de frottement sur une période dans ce modèle. Commenter.

Réponse : glissement pour 𝑓₉≤^SY_#^! ; 𝑀𝑋̈ = 𝐹 − 𝑇 ; N = Mg ; 𝛼𝑀𝑍̈ = 𝛼𝑀𝑔 − 𝐹 ; 𝑋̈ = 𝑍̈ ; 𝑋̈ =^LB\_'5L𝑔 ;𝑋(𝑡) =^LB\_'5L𝑔^?_&^!+ 𝑋_! ; 𝑡'= /^{&^}_#^"'5L_LB\ ; 𝑉'= /^LB\_'5LK2𝑔𝐻! ; 𝑋̈ = −𝑓𝑔 ; 𝑋(𝑡) = 𝑋!+ 𝐻!+ 𝑉'(𝑡 − 𝑡_') − 𝑓𝑔^(?B?))!

& ; 𝑓 =_{('5L)_BL^}^{L^"}

" ; fs = tan qlim ; 𝑋_'=^\+/#_$ ; 𝑡_'= 0^\+/#_$ − 𝑋_!3^'_I ; 𝑋_/ = /𝑋_'^&+_Y^I!

"

! ; 𝑋(𝑡^R) = 𝑋_'𝑐𝑜𝑠𝜔_!𝑡^R+_Y^I

"𝑠𝑖𝑛𝜔_!𝑡′ ; ^`_I⁾≫_&,^V" ; 𝑊 ≈^&_$(𝑓₉𝑀𝑔)^&.