Energie

1 ÉNERGIE I) Point matériel.

1.Énergie cinétique: dans le référentiel (R) où le point a la vitesse v : E_c= 1 2mv². 2.Théorème.

La puissance de la force f appliquée sur le point est P= f⋅v . Si (R) est galiléen: f =dp

dt d 'où P= v⋅dp

dt =mv⋅dv dt = 1

2

dmv² dt = dE_c

dt .

Pendant la durée dt ,f effectue le travail δW : dE_c=P dt= f⋅v dt= f⋅dl=δW.

Si pendant la durée t₂−t₁ le point se déplace de A à B: ∆E_c=E_c2−E_c1=

∫

ABf⋅dl=W.

II) Système matériel .

1. Énergie cinétique: E_c=Σ

i E_ci= 1

2Σ

i m_iv_i².

Système matériel en translation : v_i= v  E_c= 1

2Mv² où M est la masse totale du système.

Solide en rotation autour d ' un axe fixe∆: v_i=ω r_i  E_c= 1

2ω²Σm_ir_i²=1 2J_∆ω² où J_∆ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation.

2 .Théorème de König.

Dans le référentiel propre R^*, E_c^*= 1

2Σm_iv_i^*2 avec v_i= v_i^*v_G. E_c= 1

2Σm_iv_i^* v_G²= 1

2Σm_iv_i^*21

2Σm_iv_G²Σm_iv^*_i⋅v_G. E_c=E_c^*1

2Mv_G² P^*⋅v_G avec P^*= 0 ⇒ E_c=E_c^*1 2Mv_G². 3 .Théorème de l ' énergie cinétique.

Pour le point M_i: f_i= f_{i, int}f_{i ,ext}.

dE_ci= f_{i, int}⋅v_idtf_i,ext⋅v_idt=δW_{i, int}δW_{i ,ext}.

∆E_ci=

∫

_t^t₁^2δWi, int

∫

_t^t₁^2δWi ,ext ⇒ ∆E_c=Σ ∆E_ci=ΣW_{i, int}ΣWi ,ext=W_intW_ext. 4 .Expression de W_int.

Pour le couple M_i, M_j:f_ij= − f_ji. f_ij r_ij f_ji δW f_ij = f_ij⋅dr_i

δW f_ji = f _ji⋅dr_j

]

^{⇒ δWij= fji⋅drj−dri = fji⋅drj−ri}

δW_ij= f_ji⋅dM_iM_j = f_ji⋅dr_ij

Soit e_ij le vecteur unitaire sur M_iM_j: M_iM_j=r_ije_ij et f_ij=f_ije_ij:

f_ji0 si les forces sont répulsives et f_ji0 si elles sont attractives;δW_ij=f_ijdr_ij car e_ij⋅de_ij=0.

En sommant pour tous les couplesM_i, M_j: δW_int= 1 2Σ

i Σ

j , j≠i

f_ijdr_ij.

Pour un système quelconque W_int≠0, mais pour un solide r_ij=constante ,dr_ij=0 ⇒ W_int=0.

M_i M_j

O

r_j r_i

2 A

B

5 .Énergie potentielle d ' interaction . a. Rappel .

Une force d'interaction f entre deux points matériels A et B est conservative si son travail pendant la durée t₂– t₁ ne dépend que de la distance initiale rt₁ et de la distance finale rt₂ séparant les points A et B.

Alors il existe une fonction de r, E_prtelle quef⋅dl=−dE_p ou bien f = −grad E_p. Wf =

∫

_t^t₁^{2f⋅dl= −}

∫

_t^t₁^{2dEp= −Ep2Ep1= −∆Ep.}

b.Pour un système matériel, si chaque force d'interaction f_ij dérive d'une énergie potentielle E_{p ,ij}, c'est-à-dire si f_ij= −grad E_p,ij, alorsδW_ij= −dE_{p ,ij}.

δW_int=1 2Σ

i Σ

j δW_ij= −Σ ΣdE_{p ,ij}= −dE_p ; W_int=−∆E_p avec E_p= 1

2Σ Σ E_{p ,ij}.

L'énergie potentielle du système E_p ne dépend que des distances r_ij entre les points du système.

6 .Énergie mécanique totale .

E=E_cE_p ⇒ ∆E=∆E_c∆E_p=W_intW_ext∆E_p.

Si toutes les forces intérieures dérivent d'une énergie potentielle: ∆E_p=−W_int. D 'où ∆E=W_ext.Si le système est isolé : W_ext=0=∆E ; E=constante.

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Exercices



Un cerceau homogène, de masse m et de rayon R, roule sans glisser sur un plan horizontal, son centre ayant un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v₀.

Calculer l'énergie cinétique du cerceau.

v₀



Une chenille homogène, de masse m, entraînée par deux roues de rayon R, avance sans glisser sur un sol horizontal. Les centres des deux roues ont un mouvement rectiligne uniforme de vitesse v₀.

Calculer l'énergie cinétique de la chenille.

v₀ v₀

C

I