CHAMPS CLASSIQUES

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Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 5

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^R´^eciproque

Deux repères affectent à tout événement des coordonnées reliées par x⁰^α = Λ^α_βx^β +a^α, où les coefficients Λ^α_β et a^α sont indépendants de l’événement, et Λ^α_µΛ^β_νη_αβ = η_µν. Montrez que les différences de coordonnées de deux événements quelconques satisfontη_αβdx⁰^αdx⁰^β=η_µνdx^µdx^ν.

2

Oh temps ! Oh mœurs ! 1. Dans un rep`ere inertiel. . .

i) Soit T^α les composantes d’un quadrivecteur du genre temps. Montrer, en la construisant, qu’il existe toujours une transformation de Lorentz permettant de trouver un rep`ere o`u les composantes spatiales du quadrivecteur sont nulles.

ii) SoitE^αles composantes d’un quadrivecteur du genre espace. Montrez qu’il existe un rep`ere o`u sa composante temporelle est nulle.

2. Montrez qu’un vecteur V

e orthogonal. . . i) `a un vecteurT

e du genre temps est n´ecessairement du genre espace ; ii) `a unL

e du genre lumi`ere est du genre espace ou lumi`ere.

3. Montrez que. . . i) la somme deT

e ett

˜, de genres temps, isochrones (T⁰ett⁰ont mˆeme signe), ou deT e etL

e, isochrones, est de genre temps et isochrone ;

ii) la somme deL e et l

˜, de genres lumière, isochrones, est du genre temps ou lumière, isochrone ; iii) la différence deL

e etl

˜est de genre espace ou lumi`ere.

4. Montrez que. . . i) tout vecteur T

e du genre temps peut se d´ecomposer en somme de L e et l

˜, de genres lumi`ere, isochrones ;

ii) tout vecteur E

e du genre espace peut se d´ecomposer en diff´erence de L e et l

˜, de genres lumi`ere, isochrones.

5. Montrer que le produit scalaire. . . i) deT

e et t

˜(genres temps, isochrones) est positif ; ii) deT

e et L

e (genres temps et lumi`ere respectivement, isochrones) est positif ; iii) deL

e et l

˜(genres lumi`ere, isochrones) est positif ou nul.

3

^Sym´etrie et antisym´etrie

1. Les composantes d’un tenseur dans un repère sont dites symétriques si T^µν =T^νµ. Montrez qu’il en va alors de même dans tous les repères, et que c’est donc une propriété du tenseur lui-même.

2. Un tenseur à deux indices a ses composantes mixtes dans un repère qui vérifient la relation T^α_β=T_β^α. Montrez que ce tenseur est symétrique.

3. Soient les tenseursSαβ,Aαβ etTαβ, respectivement sym´etrique, antisym´etrique et quelconque.

i) Montrez queSαβA^αβ= 0.

ii) Que pouvez-vous dire deSαβT^αβ et AαβT^αβ?

4

^Empˆechements dirimants

1. Montrez que si une composante particuli`ere d’un quadrivecteur est nulle danstous les rep`eres, alors ce quadrivecteur est nul.

2. Montrez que si un tenseur à deux indices a sa composante (2,2), par exemple, nulle dans tous les repères, alors ce tenseur est antisymétrique (ou nul bien sûr). Est-ce encore vrai si c’est une composante hors diagonale, (0,1) par exemple, qui est nulle dans tous les repères ?

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2 Champs classiques, PH042 Paris 7

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Quadrivitesse et quadri-acc´el´eration 1. SoitU

eÔ la quadrivitesse d’une observatrice inertielle. Une particule, à un instant donné, a une quadri-accélération A

e qui v´erifie la relation U e^O·A

e = 0. Que peut dire l’observatrice concernant la vitesse et l’accélération de la particule en cet événement ?

2. Utilisez le fait que¡

γ(v), γ(v)~v¢

est un quadrivecteur pour retrouver la loi de composition des vitesses.

3. Un tenseur à deux indices a, dans le repère d’ Éléonore, toutes ses composantes nulles sauf T⁰⁰=k. Trouvez l’expression des composantesT⁰^αβde ce tenseur dans un repère quelconque à l’aide des composantes de la quadrivitesse d’ Éléonore.

6

La particule et l’observatrice

Dans un certain rep`ere inertiel, une particule libre de massem a la vitesse~u.

1. Quelles sont les composantes de sa quadri-impulsionp

˜

?

2. Dans ce repère, Ada (libérée, mais de masse non précisée) a une vitesse ~uA. Quelles sont les composantes de sa quadri-vitesse U

e^A? 3. Dans le rep`ere d’Ada. . .

i) Quelle est la signification physique des composantes dep

˜

? ii) Que valent les composantes deU

e^A?

iii) En déduire une expression universelle pour l’énergie de la particule dans le repère d’Ada ? 4. SoitU

e^L la quadri-vitesse de Lolita. Quelle est l’expression de l’´energie de la particule dans le rep`ere de Lolita ?

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Contraction et crit`ere de tensorialit´e

1. Le tenseur T^µν et le quadrivecteurV^µ ´etant donn´es, montrer que T^µνVν est un tenseur. Et qu’en est-il deT^µνVµ?

2. On dispose, dans chaque repère, d’un hexadécuplet de quantités notées T^µ_ν,T⁰^µ_ν, T⁰⁰^µ_ν,etc.

Montrez que si les quadrupletsU^µ =T^µ_νV^ν sont composantes de quadrivecteurquels que soientles quadrivecteurs V^µ, alors lesT^µ_ν sont composantes d’un tenseur.

8

Interaction relativiste

On tente de construire une théorie relativiste d’interaction à distance qui permette de faire varier continument l’impulsion d’une particule élémentaire de massem. Autrement dit, on veut une expression dedp

˜

/dτ. Pour cela, l’idée la plus simple consiste à imaginer un potentiel scalaire φdont dérive l’interaction :

dp_α

dτ =k ∂_αφ ,

où k est une constante de couplage caractéristique de la particule. Cette théorie est-elle compatible avec le maintien de l’identité de la particule, entre autre sa masse ?

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