CHAMPS CLASSIQUES

Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 6

1

Le tenseur de Levi-Civita en espace-temps de Minkowski

Les coefficients ε^{µν ρλ} sont antisym´etriques par rapport `a toute transposition d’indices et ε^{0123 df}= 1.

Ce sont les composantes d’un tenseur invariant.

1. Quel est le comportement deε^µνρλ par rapport `a une permutationcirculaire de ses indices ? 2. D´eterminer les valeurs des composantes covariantesε_{µν ρλ}.

3. A tout tenseur antisym´etriqueAµν on associe sondual:^∗A^µν =^{df 1}₂ε^µνρλAρλ.

i) Calculer explicitement chacune des composantes^∗A^µνen fonction desAµν, puis en fonction desA^µν. ii) Peut-on faire une construction analogue `a partir d’un tenseur sym´etrique ? d’un tenseur quel- conque ?

4. Quels sont les r´esultats des contractionsε^αβγδεαβµν et ε^αβγδεαβγν?

2

C’est tant de r´eflexion (en euclidien 3D)

On appellevecteur polairetout tripletviqui se transforme comme les intervalles de coordonn´ees entre deux points au cours des rotations et/ou des r´eflexions des axes.

1. En d´eduire les expressions des composantes v⁰_i en fonction desviapr`es une r´eflexion.

2. A deux vecteurs polairesvet w on associe le triplet d´efini par la prescription :

a1

df=v2w3−v3w2 ,

a₂^df=v₃w₁−v₁w₃ , a3

df=v1w2−v2w1 .

i) Montrer (g´eom´etriquement et/ou alg`ebriquement) que c’est un vecteur par rapport aux rotations.

(On le note, selon la coutume,a=v∧w, et on l’appelle produit vectoriel, ou ext´erieur.)

ii) Comment se transforment les ai au cours d’une r´eflexion ? On dit d’un tel triplet qu’il a un comportement devecteur axial.

3. Repr´esenter sch´ematiquement un vecteur polairev et un vecteur axiala: i) dans un rep`ere (ˆe1,ˆe2,ˆe3),

ii) dans le rep`ere r´efl´echi (ˆe⁰₁,ˆe⁰₂,ˆe⁰₃)

4. Donner des exemples de vecteurs polaires et de vecteurs axiaux utilis´es en physique.

3

Tenseur de Levi-Civita en euclidien `a 3 dimensions

Soient les symboles de Levi-Civitaεijk d´efinis par leur antisym´etrie par rapport `a toute transposition d’indices et parε123

df= 1.

1. Quel est l’effet d’une permutation circulaire des indices deεijk? 2. Quel est le r´esultat de la contractionεijkεklm?

3. Montrez que les composantes du produit vectorielP=A∧Bpeuvent s’exprimer `a l’aide des symboles de Levi-Civita.

4. A l’aide des notations de la g´eom´etrie diff´erentielle,δij,εijk,∂i

df=∂/∂xi, calculer∇∇∇ ·(∇∇ ∧∇ A),

∇∇∇ ∧(∇∇∇φ),∇∇∇ ·(∇∇∇φ),A∧(B∧C) et∇∇ ∧∇ (∇∇∇ ∧A).

4

Le truc de Feynman

LireLivre II, chap. 27, vers. 3, et calculer :∇∇∇(f g),∇∇∇ ·(fV),∇∇∇ ∧(fV),∇∇∇ ·(V∧W).