Paris 7 PH042
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CHAMPS CLASSIQUES
Exercices, feuille 1
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Comme des “pros”Apr`es une s´erie de mesures et une longue analyse, quelqu’un vous annonce une acc´el´eration de 1 ann´ee−1. Ce r´esultat peut-il avoir un sens ? Si oui, r´etablissez la valeur de cette acc´el´eration en unit´es l´egales.
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Invariant1. Rappelez l’expression de l’invariant associ´e `a deux ´ev´ene- ments.
2. Quelle est la nature de chacun des intervalles entre les trois ´ev´enements O, A et B repr´esent´es ci-contre. Quels sont les couples d’´ev´enements entre lesquels il ne peut y avoir de lien de causalit´e ?
3. Une fus´ee se meut `a vitesse constante de l’´ev´enement O
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a l’´ev´enement A. Ces ´ev´enements se produisent donc au mˆeme lieu dans le rep`ere de la fus´ee. Quelle est la dur´ee mesur´ee par l’horloge de la fus´ee entre ces deux ´ev´enements ?
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Voir et observer, effet Doppler longitudinalJuliette et Rom´eo ont une vitesse relative v constante. Leur co¨ıncidence est prise, par tous deux, comme ´ev´enement origine O. Juliette choisit son axe ˆxselon la vitesse de Rom´eo qui, lui, choisit son axe ˆx0 oppos´e `a la vitesse de Juliette. A intervalles r´eguliers `a sa montre, Rom´eo ´emet (´ev´enements O, E1, E2, E3. . .) des ´eclats lumineux que Juliette re¸coit (´ev´enements O, R1, R2, R3 . . .).
1. Repr´esenter ce sc´enario (lignes d’univers de Juliette, de Rom´eo, de la lumi`ere, et ´ev´enements saillants) sur un graphe d’espace-temps (x, t) dans le rep`ere de Juliette, et sur un graphe d’espace- temps (x0, t0) dans le rep`ere de Rom´eo.
2. Indiquez sur le graphe de Juliette les intervalles de coordonn´ees ∆x et ∆t entre les deux
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ev´enements O et E1 observ´espar Juliette.
3. Calculer, sans transformation de Lorentz, ∆t en fonction de v et de l’intervalle ∆τ entre les deux ´emisions O et E1 `a la montre de Rom´eo.
4. Calculer l’intervalle de temps ∆tRentre deux r´eceptions O et R1de ces ´eclatsvuspar Juliette.
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La transformation de Lorentz graphiquementLæticia et Johnny, ´equivalents, usent respectivement de coordonn´ees (x, t) et (x0, t0) pour rep´erer les
´
ev´enements. La relation entre ces coordonn´ees est
½t0=γ(β)(t−βx) x0 =γ(β)(x−βt) .
1. Repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements de la vie (ouligne d’univers) de Læticia et l’ensemble des ´ev´enements de la vie de Johnny...
i) sur le graphe d’espace-temps (x, t) de Læticia ; ii) sur le graphe d’espace-temps (x0, t0) de Johnny.
2. Sur le graphe (x, t) de Læticia :
i) repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements{x0 = 0}; ii) repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements{t0= 0}; iii) appr´ecier la sym´etrie !
2 Champs classiques, PH042 Paris 7
3. Soit un ´ev´enementA quelconque. Toujours sur le mˆeme graphe...
i) repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements{t=tA}, et l’ensemble des ´ev´enements{t0=t0A}; ii) repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements{x=xA}, et l’ensemble des ´ev´enements{x0=x0A}; iii) en d´eduire une construction graphique de la transformation de Lorentz.
4. Reste `a trouver, toujours graphiquement, un moyen de graduer les axest0et x0 repr´esent´es sur le graphe (x, t).
i) Repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements {t2−x2 = 1 s2}. Calculer la valeur t0P de la coordonn´ee de temps de l’´ev´enement P (il y en a d’ailleurs deux) qui est `a l’intersection de cet ensemble et de l’axe t0.
ii) Repr´esenter les graduations unit´e, soit 1 s, sur les axest,t0,xetx0. iii) Comparer les valeurs det0P et tP.
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“Contraction des longueurs”Johnny avance, bras tendu devant lui, `a vitesseβ constante par rapport `a Læticia.
1. Repr´esenter les lignes d’univers de Læticia, de Johnny et de sa main sur un graphe d’espace- temps dans le rep`ere de Læticia.
2. Quelle d´efinition Læticia pourrait-elle bien adopter pour une grandeur qu’elle appellerait
“longueur du bras de Johnny” ?
3. Quel est le rapport des longueurs du bras de Johnny pour Læticia et Johnny respectivement ? Et qu’en est-il de la longueur du bras de Læticia tel que chacun l’admire de son point de vue ?
6
Dilatation des longueurs... ou perspective ?1. Repr´esenter, sur un graphe (x, y), un foss´e de largeur constante ∆l0, parall`ele `a l’axe ˆy.
2. Les personnages qui utilisent un rep`ere (ˆx0,yˆ0), tourn´e deϑpar rapport au pr´ec´edent, adoptent une d´efinition analogue pour ce qu’ils vont appeler largeur du foss´e, `a savoir la diff´erence de coordonn´eesx0entre un point d’une rive et un point de l’autre rive. Mais comment doivent-ils compl´eter cette d´efinition pour ˆetre tous d’accord sur la largeur ∆l0 du foss´e ?
3. Comparer ∆l0 et ∆l0.
4. Et qu’en est-il, dans l’autre sens, pour un foss´e parall`ele `a ˆy0, de largeur ∆l00 dans le rep`ere (ˆx0,yˆ0) ?
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Signification op´erationnelle de la rapidit´eClaudie, dans sa fus´ee en mouvement rectiligne (facile `a v´erifier) mais pas uniforme a, en un ´ev´ene- menti, une vitesse V par rapport `a Albert inerte, et une vitesse nulle par rapport `a Isaac tout aussi inerte. Un peu plus tard, apr`es un tempsdt0 pour Isaac, la vitesse de Claudie, en l’´ev´enementi+ 1, est pass´ee `aV +dV pour Albert, et `a dv0 pour Isaac.
1. Calculerdv0 en fonction deV etdV.
2. Quelle est, `a ce moment et en fonction de ces grandeurs, la quantit´eaique Claudie peut mesurer sur la balance de la salle de bain de la fus´ee, et qu’elle appelle son acc´el´eration (propre ´evidemment) ? 3. Quel intervalle de tempsdτ (propre ´evidemment) Claudie a-t-elle mesur´e, entre les deux ´ev´e- nements, `a l’aide de son horloge parfaite (c’est-`a-dire insensible aux acc´el´erations, ce qui n’est d’ailleurs pas trop difficile `a r´ealiser, en principe tout au moins, selon la pr´ecision d´esir´ee) ?
4. Claudie n’a cess´e d’additionner la suite des produitsaidτ des valeurs d’acc´el´eration propre et d’intervalle de temps qu’elle a mesur´ees depuis sa s´eparation d’avec Albert. Soitϕle r´esultat de cette somme. Exprimez ϕen fonction de la vitesseV attribu´ee par Albert `a Claudie (sachant qu’avant de quitter Albert sa vitesse ´etait nulle, ´evidemment).
