ECE2 Du 25/03/19 au 05/04/19
PROGRAMME DE COLLES n ◦ 10
CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS
• In´egalit´e de Markov et cons´equences :
— In´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.
— Loi faible des grands nombres.
• Convergence en loi :
— D´efinition.
— Convergence en loi des variables al´eatoires discr`etes.
— Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson.
• Th´eor`eme limite central.
• Approximation de la loi binomiale par la loi normale. Approximation de la loi de Poisson par la loi normale.
ESTIMATION
• Estimation ponctuelle :
— D´efinitions : n-´echantillon, ´echantillon observ´e.
— Estimateur : d´efinition, biais, risque quadratique.
— Estimateur sans biais et asymptotiquement sans biais.
On retiendra un exemple important : la moyenne empirique est un estimateur sans biais de l’esp´erance.
— D´ecomposition biais-variance du risque quadratique. Calcul du risque quadratique d’un estimateur sans biais.
— Estimateur convergent. Condition suffisante de convergence.
— Comparaison de deux estimateurs.
• Estimation par intervalle de confiance :
— D´efinitions : intervalle de confiance, niveau de confiance, intervalle de confiance asymptotique.
— Utilisation de l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev pour d´eterminer un intervalle de confiance.
Dans le cas d’une loi de Bernoulli, il faudra savoir utiliser et d´emontrer que t(1−t)≤14 pourt∈[0,1].
— Utilisation de l’approximation de la loi binomiale par la loi normale pour d´eterminer un intervalle de confiance.
Il existe un unique r´eeltαtel que 2Φ(tα)−1 = 1−α. Pour α≈0.05,tα≈1.96.
— Utilisation du th´eor`eme limite central pour d´eterminer un intervalle de confiance asymptotique.
ET AUSSI, L’ENSEMBLE DU PROGRAMME DES DEUX ANNEES
• N’importe quelle notion peut ˆetre d´evelopp´ee en colle.
