MPSI – Programme de colles – Semaine 28
(du 07/06/2021 au 11/06/2021)1 Espaces préhilbertiens réels. Isométries et matrices orthogonales.
Tout le programme précédent sur les chapitres31et32. Lesquestions de coursau programme sont les suivantes :
• Caractérisation des isométries vectorielles par la conservation du produit scalaire (Théorème 3, Chap 32).
• Caractérisation des isométries vectorielles par l’image d’une base orthonormée (Théorème 4, Chap 32).
• Caractérisation des isométries par leur matrice dans une base orthonormée(Théorème 15, Chap 32).
• Description des matrices orthogonales de taille 2 (Théorème 24, Chap 32).
2 Ensembles finis et dénombrement.
• Cardinal d’un ensemble fini, d’une partie d’un ensemble fini, cas d’égalité. Cardinal d’un produit fini d’ensembles finis. Cardinal de la réunion de deux ensembles finis. Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un autre. Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
• Nombre dep-listes (oup-uplets) d’éléments distincts d’un ensemble de cardinal n, nombre d’applications injec- tives d’un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n, nombre de permutations d’un ensemble de cardinal n. Nombre de parties àpéléments (ou p-combinaisons) d’un ensemble de cardinaln.
3 Probabilités sur un univers fini.
• Vocabulaire des événements dans un univers fini. Système complet d’événements.
• Probabilité sur un univers fini. Détermination d’une probabilité par l’image des singletons. Probabilité uniforme.
Probabilité d’une réunion de deux événements, de l’événement contraire, croissance.
QC : Propriétés d’une probabilité : contraire, union, croissance (Propositions 11 et 12, Chap 34).
QC : Détermination d’une probabilité par l’image des singletons. (Théorème 15, Chap 34).
• Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités composées. Formule des probabilités totales. Formules de Bayes.
QC : Formule des probabilités composées. (Théorème 19, Chap 34).
QC : Formule de Bayes. (Théorème 23, Chap 34).
• Événements indépendants. Famille finie d’événements mutuellement indépendants.
4 La semaine suivante.
Ensembles finis. Probabilités. Variables aléatoires. Révisions de MPSI.
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