Programme de colles, semaine 2
(du 21/09/2020 au 25/09/2020)1 Éléments de logique, modes de raisonnement, calculs algébriques
Tout le programme précédent sur les chapitres 0 et 1. Lesquestion de coursau programme sont les suivantes :
Théorème de récurrence simple(Théorème 15, Chap 0).Factorisation dean`1´bn`1(Proposition 9, Chap 1).Formule du binôme dans C(Proposition 28, Chap 1).
2 Nombres complexes et trigonométrie.
• Parties réelles et imaginaires. Opérations sur les nombres complexes. Conjugaison et module, compatibilité avec les opérations. Représentation graphique (affixe d’un point, d’un vecteur).
Question de cours :Inégalité triangulaire (avec cas d’égalité) |z`z1| ď |z| ` |z1|(Proposition 17, Chap 2).
• Fonctions circulaires, fonction tangente, formules trigonométriques : cospa˘bq, sinpa˘bq, cosp2aq, sinp2aq, cosacosb,sinasinb,cosasinb,tanpa˘bq. Résolution d’équations et inéquations de type cospxq “ cospyq etc.
Paramétrage du cercle trigonométrique. Transformation d’une expression acosx`bsinx.
Question de cours :Paramétrage du cercle trigonométrique (Théorème 25, Chap 2).
• Nombres complexes de module 1 (notation U). Forme exponentielle. Formule de Moivre. Formules d’Euler.
Linéarisation de produits de sinus et cosinus. Transformation de sommes en produits. Expression de cosnθ et sinnθ en fonction decosθetsinθ. Calcul de
ÿn
k“0
cospkθqet ÿn
k“0
sinpkθq.
• Forme trigonométrique, arguments. Argument d’un produit, d’un quotient, du conjugué, de l’opposé. Factori- sation de 1˘eit.
• Description des racines n-ièmes de l’unité, d’un nombre complexe non nul donné sous forme trigonométrique.
Représentation géométrique.
Question de cours :Ensemble des racines n-ièmes de l’unité (Théorème 56, Chap 2).
• Résolution des équations du second degré dansC. Somme et produit des racines. Calcul des racines carré d’un nombre complexe donné sous forme algébrique.
Question de cours :Résolution d’une équation du second degré dansC(Théorème 62 et Corollaire 63, Chap 2).
• Exponentielle complexe (notation exppzqouez). Exponentielle d’une somme. Résolution de l’équationexppzq “ a.
3 La semaine prochaine :
Complexes. Ensembles, applications, relations binaires.
MPSI Lycée Pierre d’Ailly 2020-2021 Page 1
