Programme de colles, semaine 7
(du 09/11/2019 au 13/11/2019)1 Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles
Tout le programme des deux semaines précédentes sur les chapitres 4 et 5. Lesquestions de coursau programme sont les suivantes :
Croissances comparées limxÑ`8lnx
x et limxÑ0`xlnx (Théorème 21, Chap 5). Croissances comparées limxÑ`8plnxqβ
xα et limxÑ0`xα|lnx|β pour pα, βq P pR˚`q2 (Théorème 22, Chap 5). Dérivabilité des fonc- tionsarcsin et arccos et détermination de arcsin1 et arccos1 sur s ´1 ; 1r(Proposition 28, Chap 5).
2 Équations différentielles linéaires (Cours et exercices)
• Notion d’équation différentielle linéaire d’ordre 1. Notation y1 `apxqy “ bpxq, où a et b continues sur un intervalle I à valeurs dans K“Rou C. Résolution d’une équation homogène.
Question de cours : Résolution de l’équation homogène pHq:y1`apxqy“0 (Théorème 2, Chap 6).
• Théorème de structure de l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y1`apxqy “ bpxq. Principe de superposition. Méthode de variation de la constante. Problème de Cauchy.
Question de cours :Théorème de structure de l’ensemble des solutions de l’équation différentielley1`apxqy“ bpxq (Théorème 5, Chap 6).
• Notion d’équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants. Notation ay2 `by1 `cy “ dpxq, où a‰0,b,cdes constantes réelles ou complexes etdune fonction continuesur un intervalle I à valeurs dansR ouC. Équation homogène associée. Structure de l’ensemble des solutions. Cas de l’équation homogène : stabilité de l’ensemble des solutions par combinaison linéaire. Principe de superposition.
• Résolution de l’équation homogène dans le cas complexe et le cas réel.
• Les étudiants doivent savoir déterminer une solution particulière dans le cas d’un second membre de la forme xÞÑAeλx avec pA, λq PC2,xÞÑBcospωxq etxÞÑBsinpωxq avec pB, ωq PR2.
• Problème de Cauchy.
3 Arithmétique dans Z (Questions de cours uniquement)
Théorème de la division euclidienne(Théorème 8, Chap 7).Caractérisation du PGCD : l’ensemble des diviseurs communs à a et b (entiers naturels dont un au moins non nul) est égal à l’ensemble des diviseurs de a^b(Proposition 13, Chap 7). Relation de Bézout(Théorème 16, Chap 7).
4 La semaine suivante :
Équations différentielles. Arithmétique dansZ.
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