ECE2 Du 21/01/19 au 01/02/19
PROGRAMME DE COLLES n ◦ 7
ETUDE DE FONCTION ´
• Comparaison des fonctions au voisinage d’un point
— Fonctions ´equivalentes au voisinage d’un point.
— Fonction n´egligeable devant une autre fonction au voisinage d’un point.
• D´eveloppements limit´es
— D´eveloppements limit´es `a l’ordre 1 et 2.
— Unicit´e du d´eveloppement limit´e.
— Formule de Taylor-Young.
— D´eveloppements limit´es usuels au voisinage de 0.
• Utilisation des d´eveloppements limit´es
— Recherche d’´equivalents et de limites.
— Position d’une courbe par rapport `a sa tangente au voisinage d’un point.
— Recherche d’asymptotes obliques.
INT´ EGRALES IMPROPRES
• Convergence des int´egrales Z +∞
a
f(t) dt:
— D´efinition, propri´et´es et m´ethode de calcul de l’int´egrale Z +∞
a
f(t) dt, o`uf est continue sur [a,+∞[.
— Int´egrales de Riemann Z +∞
1
1
tα dt. Int´egrales de fonctions exponentielles Z +∞
0
e−λtdt.
— Crit`eres de comparaison par ´equivalence, par n´egligeabilit´e, par in´egalit´e pour les int´egrales de fonctions posi- tives.
• Extension aux cas Z a
−∞
f(t) dt et Z +∞
−∞
f(t) dt :
— D´efinition de la convergence des int´egrales Z a
−∞
f(t) dt puis Z +∞
−∞
f(t) dt.
• Extension au cas Z b
a
f(t) dto`uf n’est pas d´efinie enaou enb:
— D´efinition de la convergence de l’int´egrale Z b
a
f(t) dt, o`uf est continue sur [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[.
— Cas des fonctions prolongeables par continuit´e sur [a, b].
— Int´egrales de Riemann Z 1
0
1
tα dt. Int´egrale de fonction logarithmique Z 1
0
ln(t) dt.
— Crit`eres de comparaison par ´equivalence, par n´egligeabilit´e, par in´egalit´e pour les int´egrales de fonctions posi- tives.
• M´ethodes de calcul : utilisation de la d´efinition, int´egration par parties, changement de variable.
Les techniques de calcul seront pratiqu´ees sur des int´egrales sur un segment, `a l’exception du changement de variable affine, qui peut ˆetre utilis´e directement dans des int´egrales impropres.
• Propri´et´es des int´egrales impropres : relation de Chasles, lin´earit´e, positivit´e.
• Convergence absolue. In´egalit´e triangulaire.
