Annales PSI de concours - PCSI-PSI AUX ULIS

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Durée Coefficient % Coeff Format Thème(s) E3A Sujet 1 4h 4 (3) (Polytech) 19% 3 à 5 exercices Tout le programme

1 ou 2 chapitre(s) par exercice E3A

Sujet 2 3h

4 (0)

(Polytech) 19% 1 (ou 2) probl`eme(s) Tout le programme CCP 4h 9 15% 1 (ou 2) probl`eme(s) Tout le programme Mines

Sujet 1 3h 4 13% 1 problème à thème Analyse-Probabilités ou Algèbre-Probabilités Mines

Sujet 2 3h 3 10% 1 problème à thème Algèbre-Probabilités ou Analyse-Probabilités Centrale

Sujet 1 4h 12 12% 1 problème à thème Algèbre-Probabilités ou Analyse-Probabilités Centrale

Sujet 2 4h 12 12% 1 problème à thème Analyse-Probabilités ou Algèbre-Probabilités X-ENS 4h 5 (9)

(Ulm)

18%

(23%) 1 problème à thème Tout le programme D’autres informations sur les épreuves :

E3A Sujet 1 :

L’épreuve comporte trois à cinq exercices indépendants portant sur des parties diverses du programme de mathématiques et éventuellement sur le programme « informatique pour tous ». Certains exercices peuvent s’intéresser à une démarche de résolution mathématique d’une situation issue d’une autre discipline. Cette épreuve teste plus particulièrement la capacité des candidats à « s’engager dans une recherche et mettre en œuvre des stratégies », à « modéliser » et traduire en langage mathématique des problèmes pouvant relever de toutes les disciplines du concours.

E3A Sujet 2 :

L’épreuve porte sur tout le programme. Elle comporte un ou deux problèmes impliquant un travail développé dont les parties sont liées entre elles. Cette épreuve évalue plus particulièrement les capacités du candidat à « représenter », et « raisonner et argumenter les réponses aux questions sous la forme de démonstrations ».

Il est essentiel d’aller consulter les rapports de jury apr`

es avoir trait´

e un sujet ! ! !

Rapports de jury CCINP : http://www.concours-commun-inp.fr/fr/epreuves/annales/annales-epreuves-communes.html Rapports de jury Mines-Ponts https://www.concoursminesponts.fr/page-3/

Rapports de jury Centrale https://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec Rapports de jury X-ENS https://www.ens.psl.eu/rapports-et-sujets-2019-psi

(2)

(3)

2019

PSI

PC

E3A Sujet 1

Ex 1 Réduction d’endomorphismes, étude de fonction Ex 2 Variables aléatoires

Ex 3 Algèbre linéaire de PCSI + stabilité + Endomorphismes nilpotents

Ex 4 Suites et s´eries num´eriques, D.L.

Ex 1 Suites et séries numériques Ex 2 Réduction, polynômes

Ex 3 Suites numériques, réduction, espaces préhilbertiens Ex 4 Séries entières, Réduction

E3A Sujet 2

Système linéaire, Déterminant, algèbre linéaire de PCSI, EQDF, séries entières, réduction d’endomorphismes, espaces pr´ ehilber-tiens.

D´eterminant de Vandermonde

Intégrales impropres, Intégrales à paramètre, EQDF, séries num´ e-riques,

Int´egrale de Gauss

CCP

Pb 1 Intégrales impropres, Séries entières, séries de fonctions, cal-cul de dérivées,

Fonction Gamma Th´eor`eme de Borel

Pb 2 Réduction de matrices, matrices symétriques, suites linéaires récurrentes d’ordre 2, matrices par blocs, Système d’EQDF Disques de Gershgorin

Ex 1 Intégrales impropres, espaces préhilbertiens, Réduction d’en-domorphisme,

Famille de polynˆomes orthogonaux (polynomes de Laguerre), D´ e-terminant de Vandermonde)

Ex 2 EQDF, S´eries enti`eres,

Ex 3 Variables al´eatoires, matrices, probabilit´es

MINES Sujet 1

Séries entières, variables aléatoires, polynômes, étude de fonctions et inégalités, EQDF

Comportement asymptotique de somme de s´eries enti`eres

Idem sujet PSI

MINES Sujet 2

Intégrales impropres, Coefficients binomiaux, suites de fonctions, intégrales à paramètre. Le problème des moments

Fonctions de densité, Gaussienne, polynômes de Bernstein, Trans-formée de Fourier

Intégrales impropres, intégrales à paramètre, Série de fonctions, Séries entières, D.L.

´

Etude d’une s´erie de fonctions Formule sommatoire de Poisson

CENTRALE Sujet 1

Matrices par blocs, réduction d’endomorphisme, algèbre linéaire de PCSI, partition d’un ensemble fini.

Endomorphismes nilpotents, racines carr´ees de matrices

Algèbre linéaire de PCSI, Réduction, espaces euclidiens, matrices par blocs

Réduction de sous-algèbre de LpEq Théorème de Burnside

CENTRALE Sujet 2

EQDF, Séries entières, séries génératrices, variables aléatoires, cal-cul différentiel, permutations derr1, nss

Analyse combinatoire de différents modèles d’urne Urne de Polya, méthode de Flajolet, Urne de Friedman

Calcul de dérivées, Séries entières, séries de fonctions, Variables aléatoires

Permutations d’un ensemble fini

X-ENS

Espaces euclidiens, endomorphismes symétriques, Espaces vecto-riels normés, Polynômes d’endomorphismes, Suite de polynômes Minimiseur d’une application

Espace vectoriel normé, polynômes, Réduction, Variables al´ ea-toires

(4)

2018

PSI

PC

E3A

Sujet 1 Ex 1 Espaces euclidiens, endomorphismes sym´_{Ex 2 Probabilit´}_{es, d´}_enombrement etriques Ex 3 Algèbre linéaire, réduction , e.v.normés

Ex 4 Algorithmique Suite de Robinson

Ex 1 Algèbre linéaire, Réduction Ex 2 Séries entières, Intégrabilité Ex 3 Probabilités, variables aléatoires

E3A

Sujet 2 Equations diff´´ erentielles, intégrales généralisées, Algèbre linéaire, réduction, Séries de fonctions

´

Etude de fonctions, polynômes, séries numériques

CCP

Pb 1 Algèbre linéaire, Réduction, EQDF, Séries entières Pb 2 Probabilités, Variables aléatoires, fonctions génératrices Loi faible et forte des grands nombres

Polynômes, algèbre linéaire, espaces euclidiens, endomorphismes symétriques, distance à un s.e.v., séries entières, calcul d’intégrale Polynômes de Legendre, Polynôme de Lagrange, interpolation pour calcul approché d’intégrale

MINES Sujet 1

Probabilité, Variables aléatoire, dénombrement, algèbre linéaire, espaces euclidiens

Théorème de Komlós

Idem sujet PSI

MINES Sujet 2

Intégrales généralisées, intégrales à paramètre, e.v. normés, Va-riables aléatoires

Th´eor`eme Centrale Limite

Transformation d’Ornstein-Uhlenbeck

Intégrales, séries numériques, calcul différentiel, e.v.normés, séries entières

Preuve du th´eor`eme de D’Alembert-Gauss

CENTRALE Sujet 1

Algèbre linéaire, réduction, suites récurrentes linéaires, espaces eu-clidiens

Matrices de Toeplitz

Intégrales généralisées, intégrales à paramètre, Calcul différentiel, algèbre linéaire, variables aléatoires

Transform´ee de Fourier Variables de Rademacher

CENTRALE Sujet 2

Variables aléatoire, fonctions génératrices, séries numériques, s´ e-ries entières, polynômes, Intégrales généralisées

Séries numériques, séries de fonctions, intégrales généralisées, arithmétique, probabilités, variables aléatoires

Fonction ζ de Riemann Loi Zeta

X-ENS EQDF, algèbre linéaire, réduction, e.v.normés, variables aléatoires

Algèbre linéaire, espaces euclidiens, probabilités, variables al´ ea-toires, intégrales généralisées

(5)

2017

PSI

PC

E3A Sujet 1

Ex 1 Algèbre linéaire de PCSI, réduction Polynômes d’interpolation de Lagrange

Ex 2 Intégrales généralisées, espaces préhilbertiens Ex 3 Variables aléatoires.

Ex 4 Programmation Python Dichotomie et tri par dichotomie

Ex 1 S´eries de fonctions (fonction ζ)

Ex 2 Réduction d’endomorphismes (matrice de rang 1) Ex 3 Probabilités, variables aléatoires

S´eries num´eriques

Ex 4 Programmation Python (Th´eor`eme des nombres premiers)

E3A Sujet 2

Algèbre linéaire et réduction d’endomorphismes Un peu de topologie et de séries entières. matrices nilpotentes, de rang 1

Intégrales à paramètre, Séries entières, intégrales généralisées Réduction d’endomorphismes, Équations différentielles

CCP

Pb 1 Matrices orthogonales (et antisym´etriques)

Pb 2 Intégrales, intégrales généralisées, intégrales à paramètre ´

Equations différentielles, séries numériques, séries de fonctions Lemme de Riemann-Lebesgue, Intégrale de Dirichlet, Phénomène de Gibbs

Probabilités, variables aléatoires, Séries génératrices Séries entières, réduction d’endomorphismes

´

Etude d’un automate générant une suite aléatoire de lettres

MINES Sujet 1

Probabilités, Espaces vectoriels normés, algèbre linéaire, réduction d’endomorphismes matrices stochastiques

Idem sujet PSI

MINES Sujet 2

Algèbre linéaire, réduction d’endomorphismes Sujet sur les endomorphismes échangeurs

´

Etude des noyaux it´er´es

Intégrales généralisées, analyse asymptotique Intégrales à paramètres, suites numériques Probabilités, variables aléatoires

Formule de Stirling, Int´egrale de Gauss, Formule de Bernstein

CENTRALE Sujet 1

Probabilités, Variables aléatoires Suites numériques

´

Etude des « Grandes d´eviations »

Dénombrement, Programmation Python Séries entières, équations différentielles Polynômes, algèbre linéaire

Probabilités, variables aléatoires, Fonctions génératrices

CENTRALE Sujet 2

Suites numériques récurrentes, Espaces vectoriels normés Algèbre linéaire, réduction d’endomorphismes

Syst`emes diff´erentiels

Matrices de Floquet, multiplicateurs de Floquet

Algèbre linéaire, suites numériques Intégrales généralisées, séries numériques Probabilités, variables aléatoires

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

X-ENS

Endomorphismes sym´etriques, Espaces euclidiens Int´egrales

´

Etude des paires caract´erisantes

Algèbre linéaire, réduction d’endomorphismes Espaces vectoriels normés, Suites de matrices Rayon spectral

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2016

PSI

PC

E3A Sujet 1

Ex 1 Séries numériques et entières

Ex 2 R´eduction d’endomorphismes, S´eries de fonctions Ex 3 Programmation Python

Ex 4 R´eduction d’endomorphismes, Espaces euclidiens

Ex 5 Int´egrales, Variables al´eatoires

Ex 1 Espace euclidien, Int´egrales impropres Matrices de Gramm

Ex 2 Analyse : Étude de fonctions, Algèbre linéaire Programmation Python, Interpolation de Lagrange

Ex 3 Suite récurrente d’ordre 2, Calcul matriciel, Diagonalisation Probabilités (ensemble dénombrable)

E3A Sujet 2

Ex 1 Polynˆomes, Nombres complexes, trigonom´etrie

Ex 2 Intégrales impropres, Intégrales à paramètre, séries de fonc-tions

Séries entières, Suites et séries numériques Intégrales sur un segment

Diff´erentes expressions de ln 2

CCP

Calcul matriciel, R´eduction d’endomorphisme

Probabilités de 1ère année, Espaces vectoriels normés

Matrice stochastiques, matrices `a diagonales dominantes et rayon spectral

Espaces vectoriels normées, Algèbre linéaire Réduction d’endomorphismes, Probabilités Intégrales généralisées, intégrales à paramètre Séries de fonctions

Polynˆomes de Bernstein MINES

Sujet 1

Séries entières, Intégrales impropres, Suites Probabilités et variables aléatoires

Identité de Karamata, Théorème Taubérien, Marche aléatoire

Idem sujet PSI

MINES Sujet 2

Calcul matriciel, R´eduction d’endomorphisme Espaces euclidiens, Programmation Python Matrices quasi-nilpotentes

Déterminant, Dérivation de fonctions vectorielles Algèbre linéaire

Wronskien et probl`eme de Waring CENTRALE

Sujet 1

Calcul matriciel, Espaces euclidiens

Espaces vectoriels norm´es, Automorphismes orthogonaux Variables al´eatoires, Programmation Python

Intégrales impropres, Intégrales à paramètre Probabilités, Variables aléatoires

Fonction Gamma, Transform´ee de Fourier, Loi de Poisson

CENTRALE Sujet 2

Int´egrales impropres, S´eries de fonctions ´

Equations différentielles, Intégrales à paramètre

Transform´ees de Fourier, transform´ees de Laplace, ´ Echantillon-nage de Shannon

Algèbre linéaire, Polynômes

R´eduction d’endomorphisme, Combinatoire, coefficients bino-miaux

X-ENS

Matrices par bloc, Matrices orthogonales

Espaces préhilbertiens, Réduction d’endomorphismes Théorème de Broyden

Espaces vectoriels normés, Séries numériques

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2015

PSI

PC

E3A Sujet 1

Ex 1 Programmation Python

Ex 2 Diagonalisation de matrices et variables al´eatoires

Ex 3 Étude de fonction, intégrales impropres et intégrales à pa-ramètre

Ex 4 Polynômes, nombres complexes, espaces vectoriels normés, réduction de matrices

Ex 1 Diagonalisation de matrice et réduction d’endomorphisme Ex 2 Trigonométrie, série de fonctions,

Intégrales généralisées et intégrales à paramètre

Ex 3 Espaces euclidiens et endomorphismes symétriques Ex 4 Programmation Python, séries entières

Suite de Fibonacci E3A

Sujet 2

Espaces euclidiens, endomorphismes sym´etriques.

R´eduction d’endomorphismes, Norme d’endomorphismes Distance entre un point et un ensemble, matrices stochastiques

Formule de Taylor-Young, Séries entières Diagonalisation d’endomorphismes, Polynômes

CCP

´

Equations et syst`emes diff´erentiels

Espaces vectoriels normés, diagonalisation de matrices Séries entières, intégrales à paramètre

Norme subordonn´ee, Int´egrale de Gauss

Pb 1 Suite et séries de fonctions, intégrales impropres Probabilités et variables aléatoires

Polynˆomes de Bernstein

Pb 2 Espaces euclidiens : endomorphismes symétriques, Déterminant, réduction de matrices, opérations élémentaires. MINES

Sujet 1

Suite et séries de fonctions, séries entière, Probabilités Méthode de Stein

Idem sujet PSI

MINES Sujet 2

Calcul matriciel par bloc, d´eterminant Espaces pr´ehilbertiens et produit scalaire Matrices symplectiques, centre d’un ensemble

Calcul matriciel, Polynˆomes Suites de matrices, Probabilit´es Suite de Fibonacci, Suite de Lucas CENTRALE

Sujet 1

Suites récurrences, variables aléatoire Séries génératrices, Espérance

Processus de Galton-Watson,Formule de Wald

Alg`ebre lin´eaire, s.e.v. stables

Syst`eme diff´erentiel, espaces euclidiens

CENTRALE Sujet 2

Calcul diff´erentiel

Espaces vectoriels normés, polynômes à deux variables Fonctions harmoniques

´

Etude de fonctions, suites et séries de fonctions Intégrales généralisées

Fonctions `a support compact X-ENS Equations diff´´ erentielles, s´eries de fonctions,

Produit scalaire, produit vectoriel, isom´etries

Espaces euclidiens, endomorphismes sym´etriques, D´enombrement

(8)

Voici une liste non exhaustive de notions/thèmes/questions qui reviennent souvent dans les sujets de concours (écrits comme oraux) et sont considérées comme « classiques ». Cela se signifie pas surtout pas qu’il faut tout savoir sur ceux-ci ni les apprendre par cœur mais il faut en avoir entendu parler et de ne pas être « à sec » sur les idées à développer sur ces sujets.

A - ANALYSE

1. SuitepWnq des int´egrales de Wallis Wn

»π{2 0

sinnptq dt (Sens de variation, convergence, limite, trouver une relation de r´ecurrence entre Wn 2 et Wn)

2. Formule de Stirling n!?2πnnnen. (certains sujets ont pour but de démontrer cette formule via l’étude de séries et des intégrales de Wallis) 3. Intégrale de Gauss I

» ₈

0

et2 dt ?

π

2 (Savoir prouver sa convergence, connaitre sa valeur par cœur. Il est possible de calculer sa valeur via des intégrales à paramètre ou encore les intégrales de Wallis ou suites de fonctions mais le sujet vous orientera bien entendu)

4.

» ₈

0

sin t

t dt Savoir prouver sa convergence (par IPP) Savoir prouver la non-int´egrabilit´e sur R de tÞÑ sin t

t (par comparaison séries-intégrale mais le sujet aidera là encore) 5. Fonction Gamma d’Euler : Γpxq

» ₈

0

tx1et dt sur s0, 8r (Ensemble de définition, continuité, dérivabilité, limites, équivalent en x 0 et la relation Γpx 1q xΓpxq)

6. Fonction ζ de Riemann (ou Riemann altern´ee) : ζpsq

8 ¸ n1 1 ns et θpsq 8 ¸ n1 p1qn1

ns (convergence, continuit´e, limites)

7. Transform´ees de Fourier :@x P R, pfpxq » ₈

8 fptqe

ixt _{dt , transform´}_{ees de Laplace :}_{@p ¡ 0, Lpfqppq}» 8 0

fptqeptdt (intégrales à paramètre) 8. ln 2

8

¸

n1

p1qn1

n Savoir le prouver : démonstration via les séries entières avec convergence uniforme sur r0, 1s et le CSSA ou par l’inégalité de Taylor-Lagrange.

9. Savoir prouver qu’il existe γP R (constante d’Euler) tel que

n

¸

k1

1

k ln n γ op1q (prouver que la suite punq d´efinie par un

n

¸

k1

1

k ln n converge. 10. Polynˆomes de Bernstein (on les retrouve dans certains sujets de concours)

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B - ALG `EBRE LIN´EAIRE

1. Savoir montrer que pour A et B dans MnpKq on a trpABq trpBAq et que deux matrices semblables ont mˆeme trace

2. Savoir montrer que deux matrices semblables ont les mˆemes polynˆomes annulateurs.

3. Savoir montrer que si la somme des coefficients d’une ligne d’une matrice A est constante, alors cette constante est valeur propre de A et un vecteur propre associ´e.

4. Se souvenir que pour une matrice de MnpKq de rang r, 0 est valeur propre de multiplicit´e au moins n r.

5. Se rappeler que dans C, la somme des valeurs propres est toujours égale à la trace et le produit toujours égal au déterminant. 6. Savoir prouver que pour une matrice réelle, ses valeurs propres complexes sont conjuguées deux à deux et de même multiplicité.

7. Savoir montrer que si M est de rang 1 alors M2 trpMqM, savoir trouver ses valeurs propres, savoir prouver qu’elle est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est non nulle.

8. Savoir montrer que le rang d’un projeteur est ´egal `a sa trace.

9. Savoir prouver qu’un projecteur ou une sym´etrie sont diagonalisables.

10. Savoir prouver que si une matrice commute avec toutes les matrices alors elle est multiple de In.

11. Savoir prouver qu’une matrice qui commute avec une matrice diagonale dont les éléments sont deux à deux distincts est aussi diagonale. 12. Résolution de l’équation matricielle M2 A d’inconnue M P MnpKq avec A P MnpKq fixée. (avec A diagonalisable de taille 2 2 ou 3 3)

13. Convergence et calcul d’exponentielles de matrices : exppAq

8

¸

n0

An

n! (avec A diagonalisable de taille 2 2 ou 3 3)

14. Matrices nilpotentes A P MnpKq : savoir prouver que l’indice de nilpotence p v´erifie p ¤ n, que SppAq t0u, que la seule matrice nilpotente et

diagonalisable est la matrice nulle et l’ensemble de ces matrices n’est pas un s.e.v. de MnpKq ou encore que la seule matrice sym´etrique nilpotente est la

matrice nulle.

15. Noyaux it´er´es : savoir prouver que pour uP LpEq, kerpupq kerpup 1q et Impup 1q Impupq.

16. Matrices stochastiques : savoir prouver que 1 est toujours valeur propre et donner les vecteurs propres associ´es et que cet ensemble est stable par produit (il y a des interpr´etations probabilistes).

17. Soientpa0, . . . , anq n r´eels distincts et py0, . . . , ynq fix´es.

Polynˆomes de Lagrange : (hors-programme mais) savoir prouver qu’il existe un unique polynˆome P P RnrXs tel que pour i P rr0, nss, P paiq yi.

18. Commutant d’une matrice diagonale : Savoir trouver la dimension de l’espace vectoriel des matrices M qui commutent avec les matrices D diagonales (`a coefficients distincts dans un premier temps puis quelconques ensuite).

19. Se rappeler de l’expression et de la valeur du d´eterminant de Vandermonde.

20. Savoir trouver une relation de r´ecurrence d’ordre 2 sur le d´eterminant ∆n de la matrice An de taille n telle que :

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C - ALG `EBRE BILIN ´EAIRE

1. Savoir reconnaitre le théorème spectral : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. 2. Savoir classifier les isométries de l’espace.

3. Savoir prouver que pour AP MnpRq, tAA est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives.

4. Montrer que pour AP SnpRq et X P Rn, λmintXX ¤tXAX ¤ λmaxtXX.

5. Savoir prouver que pour AP SnpRq : @X P Rn,tXAX ¥ 0 ô SppAq R .

6. Savoir prouver qu’un projecteur est symétrique si, et seulement si, il est orthogonal. 7. Savoir orthogonaliser une famille libre de vecteurs à l’aide du procédé de Gramm-Schmidt. 8. Savoir prouver que xf, gy

»b a

fptqgptqwptq dt (avec w ¡ 0) est un produit scalaire sur Cpra, bs, Rq ou sur RrXs) 9. Savoir qu’il existe des familles de polynˆomes orthogonaux pour certains valeurs de wptq, ra, bs sp´ecifiques.

( polynˆomes de Tchebychev, Legendre, Hermite, Laguerre)

D - ESPACES VECTORIELS NORM ´ES

1. Savoir prouver qu’un ensemble est un fermé (par image réciproque d’un fermé par une application continue ou par intersection finie de fermés). 2. Savoir prouver que tout s.e.v. de dimension finie est un fermé.

3. Savoir prouver que GLnpRq est un ferm´e.

4. Savoir prouver que toute matrice est limite d’une suite de matrices inversibles. 5. Rayon spectral d’une matrice : ρpAq max

λPSppAq|λ|. Savoir montrer que ρ est une norme sur MnpRq.

6. Théorème du point fixe : si f : EÑ E est k-lipschitzienne (k 1) alors elle admet un unique point fixe. 7. Norme subordonnée : savoir montrer que}|A}| sup

X0_Rn

}AX}

}X} sup_}X}1 }AX}

}X} est une norme. 8. Savoir prouver que l’ensemble des matrices stochastiques est un ferm´e born´e.

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E - PROBABILIT ´ES

1. Connaitre les définitions, ensemble de définition, expressions des lois usuelles : Bernoulli, uniforme, binomiale, géométrique, Poisson. 2. Connaitre les espérances et variances des lois ci-dessus ainsi que les séries génératrices associées.

3. Savoir utiliser les propriétés des variables aléatoires indépendantes sur les probabilités, l’espérance, la variance, les séries génératrices. 4. Pour kP XpΩq Y pΩq, savoir calculer ppX ¥ kq, ppX kq, ou encore ppX Y q, ppX Y q...

5. La somme Sn X1 X2 . . . Xn de n variables aléatoire indépendantes et suivant la même loi de Bernoulli suit une loi binomiale.

6. La somme Sn X1 X2 . . . Xn de n variables aléatoire indépendantes et suivant des lois de Poisson de paramètres λ1, . . . , λnsuit une loi de Poisson.

7. Savoir reconnaitre une loi binomiale (nombre de succès), géométrique (temps d’attente du premier succès) lors d’un processus de répétition d’expériences de Bernoulli identiques et indépendantes.

8. Savoir prouver l’inégalité de Markov, puis l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

9. Savoir prouver la loi faible des grands nombres à partir de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

F - ÉQUATIONS DIFF ÉRENTIELLES LIN ÉAIRES

1. Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène ou avec second membre (variation de la constante).

2. Savoir résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants, homogène ou avec second membre de la forme xÞÑ eλxou xÞÑ cospωxq, xÞÑ sinpωxq.

3. Connaitre la structure (s.e.v. de dimension 2) d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 homogène à coefficients quelconques. 4. Connaitre la structure (y yH yP) d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second même.

5. Savoir résoudre un système différentiel de la forme X1 AX avec X P Mn,1pKq et A P MnpKq diagonalisable ou trigonalisable à coefficients constants.

G - CALCUL DIFF ´ERENTIEL

1. Savoir prouver qu’une fonction est de classe C1.

2. Savoir prouver qu’une fonction à 2 (ou 3) variables admet des extremums sur un ouvert (ou un fermé en étudiant la frontière). 3. Savoir utiliser la règle de la chaˆıne et calculer des dérivées partielles.