PCSI 10 Septembre 2016
Devoir surveillé n
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Exercice 1: Questions de cours :
1. Donner la définition d’une fonction T -périodique sur R. 2. Donner la définition d’une fonction bornée sur R.
3. Démontrer que la composée d’une fonction décroissante sur I et d’une fonction décroissante sur f (I) est une fonction croissante sur I.
4. Rappeler la proposition pour la dérivée d’une fonction composée g ◦ f .
Exercice 2: Applications
1. Etudier la périodicité de la fonction x 7→ cos(4x). 2. Etudier la parité de la fonction x 7→ sin(x) − x. 3. Montrer que la fonction x 7→ 1+xx2 est bornée sur R.
4. Etudier le sens de variation de la fonction x 7→ x ln(x). 5. Soit f une fonction définie et dérivable sur R.
Montrer que si la fonction f est impaire alors la fonction f0 est paire.
Exercice 3: Composition
On s’intéresse aux fonctions f : x 7→ x2− 2 et g : x 7→ ln(x).
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g ◦ f ainsi que son expression en fonction de x.
Exercice 4: Dérivations
Pour chacune des fonctions, calculer l’expression de sa dérivée (en justifiant l’existence). a) k(x) = sin(x2)e−3x b) h(x) =q1 +√2 + x et c) g(x) = sin(x)
(cos(x)+2)2
Exercice 5: On définit sur R la fonction φ par φ(x) = ee2x2x−1+1.
1. Montrer que φ est une fonction impaire.
2. Dresser le tableau de variation complet de la fonction φ.
3. Montrer que φ est une bijection de R sur un intervalle à préciser.
4. Déterminer l’expression de la bijection réciproque de φ, que l’on notera φ−1. 5. Montrer que φ0 = 1 − φ2. En déduire l’expression de la fonction (φ−1)0.
6. Démontrer que φ vérifie l’équation fonctionnelle suivante : ∀x ∈ R, 2
φ(2x) −
1
φ(x) = φ(x) Indication : Penser à factoriser e4x− 1
