Oraux de maths - PCSI-PSI AUX ULIS
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Texte intégral
(2) eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e. 4. Donner tous les polynˆ omes annulateurs de A.. 1 0 2 Soit A 1 1n n2 1. Calculer le polynˆ ome. 1 1 P Mn pRq avec n P N. n caract´eristique de A.. Exercice eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e $ 7 (CCP 2016 - R´. p q Ñ M 2 pR q. a b ÞÑ 2cd 2ba . % c d 1. Montrer que f est un endomorphisme de M2 pRq.. Soit f :. 2. Soit n 3, d´eterminer les sous-espaces vectoriels propres de A. 3. Soit n 2, A est-elle diagonalisable ?. 2. Quels sont les ´el´ements propres de f ?. 4. Soit n 1, A est-elle diagonalisable ?. 3. f est-elle diagonalisable ? inversible ?. Exercice 3 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e " Mn pRq M. Soit A P Mn pRq non nulle et l’endomorphisme Φ :. Ñ ÞÑ. Exercice8 (CCP 2016
(3) - Calcul matriciel). Voir corrig´e. M n pR q . trpAM qIn Soit M. 1. D´eterminer Φ2 en fonction de Φ.. 4 si i j . 1 si i j. Exercice 9 (CCP semblables). Voir e 2016 - Matrices
(4)
(5) corrig´ 3 Montrer que A 2 1. 3. Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de A.. A.. 1 0 1 et B 1 2. 1 0 0 2 1 sont semblables. 0 0 2. 0. Les matrices `a diagonale propre sont des matrices de Mn pRq dont la diagonale est constitu´ee de ses valeurs propres en respectant les ordres de multiplicit´e. On note εn l’ensemble des matrices ` a diagonale propre de Mn pRq.. 2A 0 et trA 8.. 1. Montrer que A est diagonalisable. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 1. Exercice 10 (CCP 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e. Exercice 6 (CCP 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e Soit A de M6 pRq, inversible, telle que A3 3A2.
(6). 1 0 0 1 . Montrer que K est diagonalisable. 1 0 s’´ecrit en fonction de puissances de K.. 4. En d´eduire M n .. 2. La matrice A 3In est-elle inversible ?. Soit une matrice A P Mn pCq telle que trA rgA 1. Montrer que A2. b a b c . b c a. 3. Diagonaliser M .. 1. Montrer que A est diagonalisable.. Exercice 5 (CCP 2016 - Matrices). Voir corrig´e. c. 0 1 1. Soit K 0 2. Montrer que M. Exercice 4 (CCP 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e ". P MnpRq telle que ai,j . . a. c. . 2. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante pour que Φ soit diagonalisable. Donner les sous-espaces propres. Soit n ¥ 0 et A pai,j q1¤i,j ¤n. & M2 R. 1. PSI - 2019-2020.
(7) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). 1. Donner des exemples de matrices ` a diagonale propre. . Exercice 13 (CCP 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n ¥ 1. Soit f un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes..
(8). 0 0 1 0 0 0 . 2. Soit A appartenant ` a M3 pRq antisym´etrique A 1 0 0 Est-ce que A est une matrice ` a diagonale propre ?. 1. Montrer que l’application qui ` aP est un isomorphisme.. 2. Soit g un endomorphisme de E tel que g f. 3. Soit A appartenant ` a εn antisym´etrique. (b) Montrez qu’il existe un entier p ¤ 2 tel que Ap. 0.. (b) En d´eduire qu’il existe une base de vecteurs propres communs ` a f et g.. (c) Calculez pt AAqp et en remarquant que t AA est sym´etrique, montrez que A 0.. (c) En d´eduire qu’il existe P. 4. D´eterminer la dimension du sous-espace vectoriel An pRq des matrices antisym´etriques de An pRq. 5. Soit F un sous-espace de εn , montrez que dimpF q ¤. np n. 1q. 2. Exercice 14 (CCP 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. .. Soit E un espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E. On note Km Kerpum q et Im Impum q.. tA et A 0.. 1. Soit u injectif, d´eterminer Km et Im .. 3. Montrer que A est semblable ` aB. . 1 0 0 0. 3.. avec une matrice de passage. Exercice 15 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e Soit E Mn pRq, A une matrice de Mn pRq telle que det A 0. Soit f une application telle que @M P Mn pRq associe f pM q 2trpM qA.. Exercice 12 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e Soit A P M telle que dimpKerpAqq 2. 3 pRq diagonalisable. αA βA Soit B avec α β γ, γ β et α, β, γ 0. γA 0 . 1. f est-il un endomorphisme ? 2. f est-elle diagonalisable ?. Exercice 16 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e. P KerA alors X0 P KerB. En d´eduire que dim ker B ¤ 2 dim KerA. Diagonaliser B pour α 1, β 3 et γ 2.. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. diagpλ1, . . . , λnq avec λ1, . . . , λn valeurs propres distinctes dans K. Soit M P Mn pKq. Montrer que M commute avec D si, et seulement si, M. Soit D. 1.. 2. Montrer que si X. 3.. 1.. 4. Montrer que Kp et Ip sont suppl´ementaires dans E.. orthogonale.. 1. Calculer χB en fonction de χA .. Km 1 et que Im 1 Im. Montrer qu’il existe p P N tel que Kp Kp 1 et Ip Ip. 2. Montrer que Km. 1. Trouver un polynˆ ome annulateur de A. 2. On suppose que 0 P SpA. D´eterminer SpA.. P Rn1rX s tel que g P pf q.. 3. Montrer que l’ensemble des endomorphismes g commutant avec f forme un sous-espace vectoriel de LpE q et d´eterminer sa dimension.. Exercice 11 (CCP 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e. . f g.. (a) Montrer qu’un vecteur propre de f est un vecteur propre de g.. (a) Donnez les valeurs propres de A.. Soit A appartenant ` a M2 pRq telle que A2. P Rn1rX s associe pP pλ1q, . . . , P pλnqq. est diagonale.. 2. Soit M P Mn pKq matrice diagonale. Montrer qu’il existe un unique polynˆome P de degr´e au plus n 1 tel que M P pDq. 2. PSI - 2019-2020.
(9) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 17 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e. Exercice 21 (CCP 2018 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. Pour n ¥ 2, soit A P Mn pCq tel que rgpAq 1. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si trpAq 0.. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f 1. Montrer qu’il existe λ P K tel que f 2. 2. A-t-on E. Exercice 18 (CCP eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e. 2017 - R´ Soit A . 1 2 2 1. 3. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :. .. (a) Il existe c P K tel que cf est un projecteur.. 1. A est-elle diagonalisable ? A est-elle inversible ? Donner les ´el´ements propres de A. 2. On d´efinit B. . . A A A A. (c). . B est-elle diagonalisable ? Donner les ´el´ements. Exercice 22 (CCP - R´eduction e. 2018 . par bloc). Voir corrig´ Soit A . Exercice19 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e
(10). . A A A A. .. Exercice 23 (CCP 2018 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e Soit ϕ un endomorphisme de RrX s d´efini par : ϕ : P pX q ÞÑ P pX. 2. Montrer que ϕ est surjective.. 3. Soit H un suppl´ementaire de Kerpϕq. Montrer que P P H ÞÑ ϕpP q est un isomorphisme.. Exercice 20 (CCP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e tM. 1q P p X q. 1. D´eterminer le noyau de ϕ.. 3. Soit P pX q X 7 X 3 1. Trouver toutes les matrices M de M3 pRq telles que P pM q A.. In .. 4. Soit Q P RrX s donn´e. Justifier l’existence et l’unicit´e de P P p0q 0 et P pX 1q P pX q QpX q.. 1. Montrer que si P annule M , alors les valeurs propres de M sont racines de P.. P RrX s tel que. Exercice24 (CCP 2018 eduction). Voir corrig´e
(11) - R´. 2. On suppose M sym´etrique. (a) Montrer que M est diagonalisable.. Soit N. (b) Montrer que trpM q detpM q 0.. . 1. .. .. p0q ... 1 .. P M pRq. n . . . 1 p0q 1. 1. D´eterminer rgpN q.. 3. Montrer que si M n’est pas sym´etrique, alors M est diagonalisable.. 4. Montrer que M est inversible si, et seulement si, 1 R SppM q. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. et B. 2. B est-elle diagonalisable ? inversible ? Donner ses ´el´ements propres.. 2. Soit D la matrice diagonale portant les valeurs propres de A sur la diagonale, montrer que si une matrice de M3 pRq commute avec D alors elle est diagonale.. P MnpCq telle que M 2. 2 1 1 2. 1. A est-elle diagonalisable ? inversible ? Donner ses ´el´ements propres.. 0 0 . 1. 1. Montrer que A est diagonalisable et donner ses valeurs propres.. Soit n P N , M. f 0LpEq. E Kerf ` Imf .. (b) f. propres de B.. 1 2 0 3 Soit A 4 0. Kerf ` Imf ?. λf .. P LpE q de rang 1.. 2. D´eterminer rgpN. 3. Inq. PSI - 2019-2020.
(12) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) 2. Montrer que detpIn. 3. N est-elle diagonalisable ? D´eterminer ses ´el´ements propres.. Exercice 25 (CCP 2018 - R´eduction). Voir corrig´e Soit A P Mn pRq telle que. @pi, j q P rr1, nss,. ai,j. . On cherche M. 5M 2. 4M. 0n.. 2. Montrer que toute valeur propre de M est racine de P pX q X 3 5X 2 4X. 3. En d´eduire les matrices M cherch´ees.. 3. Montrer que A est diagonalisable.. Exercice30 (ENSEA 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e
(13). 4. D´eterminer les espaces propres de A.. 5. Soit M P Mn pRq tel que A et M commutent. Montrer que le noyau et l’image de A sont stables par M .. 0 1 Soit A 1 0 2 2. Exercice 26 (CCP 2018 - R´eduction). Voir corrig´e. 2. 2 . 0. 1. La matrice A est-elle diagonalisable ?. P M n pC q . Soit P P CrX s et λ une valeur propre de M . Montrer que P pM q 0 ñ P pλq 0. On suppose maintenant que M 2 t M In . (a) Si M P Sn pRq.. 2. Soit X appartenant ` a M3 pRq telle que X 5 X 3 et A commutent.. Soit M. X. A. Montrez que X. 3. D´eterminer les matrices X de M3 pRq telles que X 5 X 3. X. A.. Exercice 31 (ENSEA 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e
(14). Montrer que M est diagonalisable et que detpM q.trpM q 0.. 1 0 A 0 0. (b) M n’est plus n´ecessairement dans Sn pRq. Montrer que M reste diagonalisable.. a a 2 a3 1 a a2 . 0 1 a 0 0 1. 1. A est-elle inversible ? Si oui calculer A1 .. Exercice 27 (CCP 2018 - R´eduction, matrice de rang 1). Voir corrig´e. P MnpCq telle que rgpM q 1. Prouver que M CL avec C matrice colonne et L matrice ligne.. Soit M 1.. P SnpRq tel que M 3. 1. M est-elle diagonalisable ?. 2. A est-elle inversible ?. 2.. t XX.. Exercice 29 (CCP 2018 - R´eduction). Voir corrig´e. i . j. 1. Calculer A2 .. 1.. X tX q 1. 2. Soit n P N, exprimer An .. Exercice 32 (ENSEA 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e Soit E un R-espace vectoriel et f, u et v trois endomorphismes de E. Soient pα, β q P R2 tels que pour 1 ¤ i ¤ 3, f i αi u β i v. In soit inverMontrer que f est diagonalisable.. 2. Donner le polynˆ ome caract´eristique. M est-elle diagonalisable ?. 3. Montrer que VectpIn , M q est stable par multiplication.. 4. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que M sible et donner son inverse lorsque c’est possible.. Exercice 33 (ENSEA 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e Soit A P Mn,p pKq et B. Exercice 28 (CCP 2018 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. Soit n P N, n ¥ 2, soit X P Mn,1 pRq diff´erente de la matrice nulle. On pose A X t X ou t X est la transpos´ee de X.. Exercice 34 (ENSEA 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. 1. D´eterminer le rang de A ainsi que son spectre. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. P Mp,npKq tels que p n. Montrer que detpAB q 0.. Soit E un espace vectoriel de dimension n. 4. PSI - 2019-2020.
(15) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) Soit p P rr1, nss et H1 , . . . , Hp des hyperplans vectoriels de E deux `a deux dis- Exercice39 (Mines-Telecom 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e
(16) 1 2 3 tincts. . p £ Soit A 0 1 2 . Montrer que dim Hk ¥ n p. 0 0 1 k 1 On cherche a ` r´esoudre l’´equation X 2 A d’inconnue X P M3 pRq. Indication : Consid´erer φ : H1 . . . Hp px, . . . , xpq. 1. Si X 2 A, montrer que X et A commutent. En d´eduire que X est triangulaire sup´erieure ainsi que des propri´et´es sur ses coefficients.. Ñ E p1 Þ p x2 x1 , . . . , x p x1 q . Ñ. Exercice 35 (ENSEA 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. Soit E un espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E tel que f g 1. Montrer que Kerpg f q Kerf .. 2. Donner les matrices X telles que X 2. Exercice 40 (Mines-Telecom 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir. IdE .. corrig´e. 1. Soit u P LpR2n q, soit k. 2. Montrer que Impg f q Img.. (b) Pour tout vecteur non nul a est libre.. 4. D´eterminer un espace vectoriel E et deux endomorphismes f et g de E tel que f g IdE et g f IdE .. (a). Soit u un automorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidien E tel que rgpu idq 1. Montrer que u est une sym´etrie orthogonale.. (b). Exercice el´ecom 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e " 37 (Mines-T´. Ñ ÞÑ. P R2n, montrer que la famille pupaq, aq. 0 et rgpuq n. Montrer que Impuq Kerpuq. 2n Soit B pe1 , e2 , . . . , e2n q une base. de R et M MatB puq. 0n In On suppose que M . 0n 0n Que peut-on en d´eduire ` a propos de pe1 , e2 , . . . , e2n q ?. 2. On suppose maintenant que u2. Exercice 36 (ENSEA 2018 - Automorphisme Orthogonal). Voir corrig´e. Rn rX s P. P R tel que u2 k2IdE .. (a) Donner la d´efinition d’une valeur propre et montrer que u n’admet pas de valeur propre r´eelle.. 3. Montrer que Kerf et Img sont suppl´ementaires dans E.. Soit f :. A.. Rn rX s . D´eterminer det f . XP 1 P. (c) Trouver une base B dans laquelle la matrice de u est celle-ci.. Exercice 41 (Mines-Telecom 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir. Exercice 38 (Mines-Telecom 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ¡ 0 et u un endomorphisme de E corrig´e Soit ϕ l’application qui ` a P P R2 rX s associ´e le reste de la division euclidienne nilpotent : on suppose qu’il existe un entier p P N tel que up 0. 3 par pX αqpX β qpX γ q avec pα, β, γ q P R3 . de P X On suppose de plus que dimpKerpuqq 1. 1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R2 rX s.. 1. Soit F un sous-espace vectoriel de E diff´erent de t0E u. Montrer que dimpupF qq dimpF q 1. 2. Soit k. 2. D´eterminer les valeurs propres de ϕ.. P rr0, nss, montrer que rgpuk q n k. En d´eduire dimpKeruk q.. Exercice 42 (Mines-Telecom 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e Soit A P Mn pRq nilpotente telle que At A t AA. Montrer que A 0.. 3. D´eterminer les sous-espaces vectoriels stables par u. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 5. PSI - 2019-2020.
(17) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 43 (Mines-Telecom 2017 - R´eduction d’endomorphismes). Voir Exercice 47 (TPE-EIVP 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e corrig´e. . Soit E un espace vectoriel tel que dim E 2p (avec p ¡ 0) et f un endomorphisme de E. Montrer l’´equivalence entre les propositions suivantes : (1) f 2 0 et rgf p, (2) Kerf Imf (3)il existe une base B de E dans laquelle MatB pf q s’´ecrit par blocs sous 0 A la forme o` u A est une matrice carr´ee inversible de taille p. 0 0.
(18). a b ... b a b a b ... b . . . . . .. . 2 . . . Soit A . b P Mn pRq avec pa, bq P R . .. . . . . b . . b . a b ... b a 1. Donner le rang de A. A est-elle diagonalisable ? 2. Donner les ´el´ements propres de A.. Exercice 48 (TPE-EIVP 2016 - Matrices). Voir corrig´e. Exercice 44 (Mines-Telecom (14) 2018 - R´eduction). Voir corrig´e. Soit A une matrice carr´ee sym´etrique d’ordre n. Montrer que la somme des carr´es de ses valeurs propres est ´egale ` a la somme des carr´es de ses coefficients.. Soient pA, B q P Mn pCq et poss´edant une valeur propre commune. 1. Montrer qu’il existe α P R, X et Y deux matrices colonnes telles que : 2. t. XA αt X. et. BY. Exercice 49 (TPE-EIVP 2017 - R´eduction d’endomorphisme). Voir cor-. αY. rig´e. .
(19). α β β Soit pα, β q P R2 et A β α β . β β α D´eterminer l’ensemble des pα, β q P R2 tels que A4. 2. Montrer alors qu’il existe M P Mn pCq non nulle telle que M A BM . 3. On souhaite prouver la r´eciproque du 2. I3 . Soient pA, B q P Mn pCq2 et M P Mn pCq non nulle telle que M A BM . (a) Dans le cas o` u M est inversible, montrer que A et B ont un moins Exercice 50 (TPE-EIVP 2017 - Alg` ebre lin´eaire). Voir corrig´e une valeur propre commune. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n ¥ 2, H un hyperplan de E et u un endomorphisme de E. (b) Montrer que @P P CrX s, M P pAq P pB qM . (M n’est plus inversible.) 1. Montrer que, si H est stable par u, alors il existe un r´eel h tel que (c) Montrer alors que A et B ont une valeur propre commune. Impu h IdE q H. Exercice 45 (Mines-Telecom (14) 2018 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e 2. Montrer alors que h est une valeur propre de u. Soit A une matrice sym´etrique r´eelle. Exercice 51 (TPE-EIVP 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e 1. Montrer qu’il existe P P RrX s telle que pP pAqq3 A.
(20)
(21) 1 0 0 5 4 4 1. D´eterminer X P M3 pRq telle que X 2 A o` u A 1 1 0 . 2. D´eterminer P pour A 4 5 4 . 1 0 4 4 4 5 Exercice 46 (Mines-Telecom (14) 2018 - Calcul de d´eterminant). Voir 2. Montrer que AX XA. corrig´e D´eterminer ∆n detpIn pxi yj q1¤i,j ¤n q. ´ Indication : Etudier M pxi yj q1¤i,j ¤n . Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. Exercice 52 (TPE-EIVP 2017 - R´eduction). Voir corrig´e. Soient A, B, C P Mn pRq telles que C A et B sont-elles diagonalisables ? 6. A. B, C 2. 2A. 3B, C 3. 5A. 6B.. PSI - 2019-2020.
(22) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 53 (TPE-EIVP 2018 - R´ e
(23) eduction). Voir corrig´ On pose M. n1 1. . p1q. 0. p1q. ... .. 2. Soit (a) (b) (c). . 0. 1. D´eterminer une base de KerpIn M q.. f : M ÞÑ t M endomorphisme de Mn pRq. Donner les ´el´ements propres de f . f est-elle diagonalisable ? Donner le polynˆ ome caract´eristique de f .. 2. On pose J In pn 1qM . D´eterminer les valeurs propres de J. J est-elle diagonalisable ?. Exercice57 (Navale ebre ? lin´eaire). ? 2017 - Alg` ? Voir corrig´e. 3. D´eterminer les valeurs propres de M . M est-elle diagonalisable ?. Que dire des matrices A et B ?. ?21 23. Soit A . 3 2 1 2. et B. 2 2. . ?. 22. ?22 22. .. Exercice 54 (TPE-EIVP 2018 - Suite num´erique et r´eduction). Voir Exercice 58 (Mines-Ponts 2016 - Matrices). Voir corrig´e Soit M P Mn pRq, nilpotente d’indice p, et telle que t M M 1. D´eterminer M t M . 2. D´eterminer M .. corrig´e Soit pun qnPN une suite v´erifiant . @n P N,. un.
(24). 3. 4un 2 5un. 1. 2un .. Exercice 59 (Mines-Ponts 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir. un On pose Xn un 1 . un 2. 1. Trouver A P M3 pRq telle que Xn. . 1. corrig´e Soit A P Mn pCq. 1. On suppose que A poss`ede n valeurs propres distinctes. (a) D´eterminer la dimension du commutant de A. (b) Base associ´ee ` a A? 2. On suppose A diagonalisable. Mˆemes questions.. AXn.
(25). 1 1 0 2. Montrer que A est semblable ` a 0 1 0 . 0 0 2 3. En d´eduire l’expression de un en fonction de n.. Exercice60 (Mines-Ponts 2016 -
(26) Matrices). Voir corrig´e. 0 ... 0 b 0 ... . . . . . . .. . . .. 0 b Soit A .. .. .. . . . 0 a b 0 ... 0 b La matrice A est-elle inversible ?. Exercice55 (TPE-EIVP eduction). Voir corrig´e
(27) 2018 - R´. . 1 1 1 1 1 1 . Soit A 1 1 1 Montrer que A est diagonalisable de 3 fa¸cons : . 1. sans calcul, 2. en calculant les valeurs propres et les sous-espaces propres associ´es.. a b b a. b 0 . avec a, b r´ eels. b . a. Exercice 61 (Mines-Ponts 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. 3. avec le rang et la trace.. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f Soit g P LpE q de rang 1. Montrer l’´equivalence :. Exercice 56 (Navale 2017 - R´eduction). Voir corrig´e 1. Montrer que Mn pRq An pRq ` Sn pRq.. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. M tM .. f 7. g. P GLpE q.. P GLpE q ô trpg f 1q 1. PSI - 2019-2020.
(28) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 62 (Mines-Ponts). Voir corrig´e. Soit M une matrice 2 2 ` a coefficients entiers et telle que M n Montrez que M 12 I2 .. (a) Montrer que la dimension de EA est ´egale ` a celle de ED o` u D est ` a pr´eciser.. I2 .. (b) D´eterminer dim EA en fonction du rang de A. 2. Montrer que la relation pr´ec´edente est aussi vraie sans l’hypoth`ese de diagonalisabilit´e.. Exercice 63 (Mines-Ponts 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e 1. Soit N P Mn pCq nilpotente (Dp P N , N p Montrer que In N est inversible.. 2. Soit M P Mn pCq, telle que Dk P N , kM k Montrer que In M est inversible.. 0n). 1. pk. Exercice 67 (Centrale" 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e 1q. Soit A P Mn pCq et fA :. M k.. M n pC q X. Ñ ÞÑ. Mn pCq . AX. 1. D´eterminer rgfA . 2. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que fA soit diagonalisable.. Exercice 64 (Mines-Ponts 2017 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e Soit n P N , M une matrice r´eelle de taille 2 telle que M n . . 0 1 1 0. 3. Calculer trfA .. .. 4. Calculer χfA . 1. Montrer que M est diagonalisable dans M2 pCq et donner ses valeurs Exercice 68 (Centrale 2016 - D´eterminant, Formes lin´eaire). Voir corrig´e propres. 1. Soit E et F deux C-espaces-vectoriels de dimension finie. Quelle est la 2. Montrer qu’il existe k P rr0, 2n 1ss et P inversible dans M2 pCq telle que : dimension de LpE, F q ? . π π q sin pp 2k 1 q q cos pp 2k 1 q 2. Soit p formes lin´eaires pf1 , . . . , fp q sur un C-espace-vectoriel E de dimension 2n 2n P 1 M P π sinpp2k 1q 2n q cospp2k 1q 2nπ q finie n P N . Montrer que les propositions suivantes sont ´equivalentes : piq Le syst`eme pf1, f2,". . . , fpq forme une famille libre, Cp piiq L’application ϕ : Ex Ñ ÞÑ pf1pxq, . . . , fppxqq est surjective. piiiq Il existe une famille px1, . . . , xpq d’´el´ements de E telle que :. 3. Montrer qu’il existe P pour la mˆeme relation, mais r´eelle.. Exercice 65 (Mines-Ponts 2016 - R´eduction d’endomorphismes). Voir corrig´e " Rn rX s Soit f : P. Ñ RnrX s ÞÑ pX 2 X qP p1q pX 2 X qP p1q. .. det rppfj pxi qqi,j s 0. 1. D´eterminer des bases de Kerf et Imf . 2. Trouver les ´el´ements propres de f .. 3. Montrer que :. 3. f est-il diagonalisable ?. . Kerfi. Kerf ðñ f P Vectpf1, . . . , fpq.. i 1. Exercice 66 (Centrale 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e Soit A P Mn pRq et soit EA. p £. Exercice 69 (ENSAM 2017 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. tM P MnpRq | AM A 0u.. Soit E. 1. On suppose que A est diagonalisable. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. RnrX s et Hn tP P RnrX s | P 1p1q P p1q 0u. 1. Justifier que Hn est un sous-espace vectoriel de E. 8. PSI - 2019-2020.
(29) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) 2. Soit Pn pX q X n nX 1. D´eterminer le reste de la division euclidienne de Pn par P2 .. ´ 7. Ecrire la matrice de f dans cette base.. Exercice 72 (X-ENS 2016 - Alg`ebre lin´eaire). Voir corrig´e. 3. Montrer que E Hn ` R1 rX s. En d´eduire la dimension de Hn .. Soit A une matrice de Mn pCq, on note C pAq son commutant.. 1. (a) Montrer que C pAq est une sous alg`ebre (c’est ` a dire C pAq est un s.e.v. contenant la matrice identit´e, stable par produit matriciel).. 4. Question non retranscrite, je propose celle-ci : Soit p la projection sur R1 rX s parall`element `a Hn . Calculer ppPn q.. (b) Soit M appartenant ` a C pAq avec M inversible. Montrer que l’inverse de M appartient aussi ` a C pAq.. Exercice 70 (ENSAM 2018 - R´eduction). Voir corrig´e
(30). On pose M. . 2. Soit D une matrice diagonale de Mn pCq, ` a coefficients diagonaux deux ` a deux distincts.. 1 ... ... ... 1 0 .. .. . p0q . .. .. p0q . . 1 0. 1 . (a) Trouver le commutant de D.. (b) Montrer que pIn , D, D2 , . . . , Dn1 q forme une base de C pDq.. 3. On se place dans Mn pRq.. (a) Quelles sont les matrices A appartenant ` a M2 pRq telles que dim C pAq 4 ?. 1. Montrer que a est valeur propre de M si, et seulement si, a est racine de P n px q . . n¸1. . xi. xn .. (b) Montrer que dim C pAq ¥ 2.. i 0. (c) On suppose que dim C pAq 3. Montrer que A est n´ecessairement de la forme λI2 , avec λ P R. On pourra s’aider de F VectpE1,1 , E1,2 q et G VectpE2,1 , E2,2 q.. 2. En d´eduire la dimension de l’espace propre associ´e. 3. Montrer que Pn admet une seule racine dans s1,. 8r.. (d) Donner une base de C pAq, pour toute matrice A de M2 pRq.. Exercice 71 (X-ENS 2016 - R´eduction d’endomorphisme). Voir corrig´e Si M. P Mn,ppRq, on note tM la transpos´ee de M .. 1. Montrer que M t M et t M M ont les mˆemes valeurs propres non nulles. 2. Trouver un exemple de matrice M tel que M t M et t M M n’aient pas les mˆemes valeurs propres. 3. On se donne un R-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme f de E tel que f 2 IdE . Donner un exemple d’un tel endomorphisme f . 4. Montrer que f ne poss`ede pas de valeur propre r´eelle. 5. Montrer que dim E est paire. On suppose dans la suite dim E. 2n.. 6. Montrer qu’il existe des vecteurs pe 1 , . . . , e n q pe1, f pe1q, e2, f pe2q, . . . , en, f penqq forme une base de E.. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. tels. que. 9. PSI - 2019-2020.
(31) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). ´ ´ SERIES ET INTEGRALES Exercice 73 (CCP 2016 - S´eries, Int´egrales). Voir corrig´e 1. Calculer. 8 ¸ . Exercice 77 (CCP 2016 - Int´egrales a` param`etre). Voir corrig´e Soit F pxq . 2. Montrer l’existence de J 3. Montrer que J. . 8 2 ¸ k3 k1. . ». 0. 2. Calculer F 1 .. 8 x2 0. 8 1 ext2. dt. t2 1. Montrer que F est d´efinie sur R et de classe C 1 sur R. x2 enx pour x P R .. n 1. ». ex 1. ». 3. Expliciter F sachant que 0. dx.. Soit pun qnPN la suite d´efinie par u0. .. 1. Prouver que @x P R, | sin x| ¤ |x|. 2. Trouver un ´equivalent quand n Ñ. 8 de. Fournir un second terme.. ». 8 sinp t q n 0. tp1. t2 q. 1. Montrer que @n P N, 0 ¤ dt.. lnptq lnp1 tq dt. t 0 1. Montrer que I converge. 1. . 2. Soit f pxq . n. Soit I. . 0. n uk unk k. . 8u ¸ n . n!. un n!. ¤ 4n. 1.. xn . Montrer que f est solution de l’´equation : y 1. a1 1 % @n P N , an 1 an. . 3. 1. Montrer que @n P N , 1 ¤ an. ¤ n2 .. 2. D´eterminer le rayon de convergence de. 2. Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere de x ÞÑ. 8 1 ¸. 8 1 ¸. . k k 1. k 1. k2. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. y2.. $ & a0. . 3. 2 n °. 2. an1. an xn .. 3. (a) Montrer que la somme de la s´erie enti`ere v´erifie une ´equation diff´erentielle pE q.. 1. Montrer que l’int´egrale I est convergente.. . . Soit pan qnPN la suite de r´eels d´efinie par :. t ln2 ptq dt. 2p1 tq2. 3. En d´eduire que I. .. ´ Exercice 79 (CCP 2016 - S´eries enti`eres, Equ. diff.). Voir corrig´e. Exercice 76 (CCP 2016 - Int´egrales). Voir corrig´e »1. 2. 3. En d´eduire la valeur de un .. 8 1 ¸ 1. n ¸ k 0. n 0. 2. Montrer que I. ?π. 3 et la relation de r´ecurrence. @n P N, un 1 . Exercice 75 (CCP 2016 - Int´egrales et s´eries de fonctions). Voir corrig´e ». . 2 et dt . ´ Exercice 78 (CCP 2016 - Suites, S´eries enti`eres, Equ. diff.). Voir corrig´e. Exercice 74 (CCP 2016 - Int´egrales). Voir corrig´e. Soit I. 8. .. (b) R´esoudre pE q.. 1. p 1 xq 2 .. Exercice 80 (CCP 2016 - S´eries). Voir corrig´e On d´efinit la suite u par : @k. 10. P N, uk 1. 1 k2. . PSI - 2019-2020.
(32) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) 1. (a) Montrer que f est d´efinie sur r0, 8r. (b) Montrer que f est continue sur r0, 8r.. 1. V´erifier la convergence de la s´erie de terme g´en´eral uk . 2. On note pour tout n P N, an Montrer que. °. 8 ¸. . . uk .. 2. On pose, pour tout n P N , vn. k n 1. an xn converge pour tout x Ps 1, 1r.. ´ Etudier la nature de. 3. Calculer le rayon de convergence de cette s´erie.. ¥. n 1. 4. Question suppl´ementaire : Trouver un ´equivalent de an .. »n. lnpf puqq du.. . p1qn .. n 1. vn. ( Indication fournie : Utiliser ϕ : x ÞÑ. Exercice 81 (CCP 2016 - Int´»egrales et s´eries). Voir corrig´e. Pour tout x P R on note f pxq . ¸. . 8 tetx. »x. . x 1. lnpf puqq du ). Exercice 85 (CCP 2017 et 2018 - S´eries num´eriques). Voir corrig´e. dt quand elle existe. et 1 0 1. Pr´eciser l’ensemble de d´efinition de f et d´eterminer lim f pxq.. Soit pour n ¥°1, un lnp2n p1qn q lnp2nq. Montrer que un converge, mais pas absolument.. 2.. Exercice 86 (CCP 2017 - S´eries enti`eres). e nπ Voir corrig´ ¸ n. 3.. x. @x ¡ 0, calculer f px 1q f pxq. Exprimer f pxq comme somme d’une s´erie.. Ñ 8. Rayon de convergence et somme de. 4. Comment retrouver le r´esultat ? Pour tout pn, pq P. et t ¡ 0, on pose fn,p ptq . p»lnptqq 1 Pour tout t Ps0, 1s, on pose ϕptq tt ainsi que I ϕptq dt tn. p.. On note an. 12. 1 22. .... n2. et Hn. . 2. Montrer l’existence de I.. . 8 ¸. p1qk1. . kk. k 1. Ñ 8. n. »1. 3. Montrer l’existence des int´egrales 4. En d´eduire I. 0. 4. Trouver. sous forme d’int´egrale.. Soit α P R . Quelle est la nature de la s´erie. ¥. n 1. n ¸ 1. k k 1. .. cos. n. t et dt. x. q.. 8 ¸ . na. b n 1. c 2n 1. an .. sin. n. Exercice 88 (CCP 2017 - S´eries de fonctions). Voir corrig´e. e. . ?. Montrer que f : x ÞÑ. 8 ¸ . n 1. ?n p1 x. est d´efinie sur R et d´erivable sur R .. nx2 q. Exercice 89 (CCP 2017 - S´eries de fonctions). Voir corrig´e On pose @x P R, f pxq . 8 arctan nx ¸ . n 1. 0. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 1. n 1. Exercice 84 (CCP 2017 - S´eries et int´egrales). Voir corrig´e » Soit f : x ÞÑ. . 3. Montrer qu’il existe a, b et c dans R tels que @n P N , an et trouver a, b et c.. fn,p ptq dt et calculer leurs valeurs.. Exercice 83 (CCP 2016 - S´eries num´eriques). Voir e α corrig´. ¸ α n. 8. x .. 3. 2n On rappelle que : 12 22 . . . n2 npn 1qp 6 ° 1. Montrer que an converge. 1 . La s´erie de terme g´en´eral un converge-t-elle ? n 2. Montrer que lim pH2n 1 Hn q lnp2q n 0. 1. Pour n ¥ 1, on pose un. sin. Exercice 87 (CCP 2017 - S´eries num´eriques). Voir corrig´e. Exercice 82 (CCP 2016 - S´eries et int´egrales). Voir corrig´e N2. ¥. n 0. 11. n2. .. PSI - 2019-2020.
(33) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). 1. D´eterminer lim f pxq sachant que. Ñ 8. 8 1 ¸. 1 2. Montrer que f est de classe C sur R . 3. D´eterminer lim f 1 pxq. xÑ 8 x. n 1. n2. . π2 . 6. 1. Donner le domaine D pour lequel 2. Montrer que. 8 ¸ 1, uk x . . k n 1. p q ¤ lnp11 nq .. 4. En d´eduire que l’application S d´efinie sur D par S pxq. Exercice 90 (CCP 2017 - Suites de fonctions). Voir corrig´e. Ñ. un converge simplement.. un ne converge pas normalement sur D.. 3. Montrer que, pour x ¡. 4. Que peut-on en d´eduire sur le graphe de f ?. $ R ' ' ' &. °. °. 8 ¸. . . un pxq est. k 0. continue sur D.. R. $ ' &. nx2 Exercice 94 (CCP 2018 - S´eries enti`eres). Voir corrig´e si x ¥ 0 Soit fn : 1 1 nx x ÞÑ ' Soient a, b ¡ 0 avec a b et f : x Ñ Þ 3 ' nx ' ' p1 axqp1 bxq . % % si x 0 1 nx2 1. Quel est le n-i`eme coefficient du d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de f , 1. Montrer que pfn q converge uniform´ement sur R vers une fonction que l’on not´e cn ? pr´ecisera. 8 ¸ 2. Exprimer c2n xn . 1 2. Montrer que pfn q converge simplement mais pas uniform´ement sur | 1, 1s.. . n 0. Exercice 91 (CCP 2017 - Int´egrales et S´eries). Voir corrig´e . t Pour n P N , on pose fn ptq 1 1. Montrer que la suite pfn q ciser. 2. Montrer que :. ». 8 0. 3. Sachant que. n ¸ 1. k k1. n1. 1 t lnptq si t Ps0, ns et sinon fn ptq 0. On pose @n P N, an dt. n 2 0 converge simplement vers une fonction f `a pr´e´ 1. Etudier la convergence de la suite pan q. ´ 2. Etudier la limite de la suite pan q.. ln tet dt lim. ln n. Exercice 95 (CCP 2018 - Suite d’int´egrales). Voir corrig´e »1 2 n. »n. Ñ 8. n. γ. 0. ° ´ 3. Etudier la convergence de p1qnan.. fn ptq dt. op1q, montrer que. ». 8 0. 4. Notons f pxq . ln tet dt γ.. 8 de. 2n ¸. . ?1. k n 1. k. lnpxq Pour n ¥ 2 et x P R , on d´efinit un pxq n .. ¥ 2n 1. . 1 ° (b) En d´eduire le rayon de convergence R de an xn .. ¥. n 0. (c) Proposer une ´equation diff´erentielle dont f est solution.. Exercice 96 (CCP 2018 - S´eries enti`eres). Voir corrig´e On s’int´eresse `a la s´erie enti`ere. x ln n. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. an xn. (a) Montrer que an. .. Exercice 93 (CCP 2017 - S´eries de fonctions). Voir corrig´e. . ¥. n 0. n 0. Exercice 92 (CCP 2017 - S´eries num´eriques). Voir corrig´e Donner un ´equivalent lorsque n Ñ. 8 ¸. ¸. ¥ n. n 2. 12. xn. p1qn . PSI - 2019-2020.
(34) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) ». 1. Trouver le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere. 2. D´eterminer la somme de cette s´erie.. 0. ». Exercice 97 (CCP 2018 - R´ e. corrig´ eduction). Voir ¸ On s’int´eresse `a la s´erie. ¥. np n. ln 1. n 1. 2. 3q. . sh x. 0. 2. Prouver l’´egalit´e J. . 8 ¸. 1 q2. 3.. .. Exercice 99 (CCP 2018 - S´erie de fonctions). Voir corrig´e 1. Montrer que @t P r 12 , 21 s, | lnp1 2. On s’int´eresse ` a. ¸. ¥. . ln 1. n 1. 1 px q 1. »x 0. un pt t2 qdt n 1. tq t| ¤ 2t2 .. p1qnx np1 x2 q. x 1 pxq un pxq ¤ pn 1 q! . En d´eduire la convergence pour tout x P r0, 1s de la suite pun pxqq. ´ Etablir que la suite pun q converge uniform´ement vers une fonction u non nulle v´erifiant u1 pxq upx x2 q. ´ 1. Etudier la suite et la s´erie de terme g´en´eral un. .. 2. Trouver le rayon de convergence de 3. Montrer que @x Ps 1, 1r,. 8 ¸ . n 0. Exercice 100 (CCP 2018 - S´erie enti`ere). Voir corrig´e ° an une s´erie absolument convergente.. 1. D´eterminer le rayon de convergence de. ¸ an. ¥ n!. xn .. n 0. On d´efinit alors f pxq, lorsqu’elle existe, la somme associ´ee `a cette s´erie : f px q . 8a ¸ n ¥ n!. xn. 2. Montrer l’existence et calculer In. . ». 8. un x. n. °. . »1. pt 2 t 0. 1qn dt.. un xn .. »1 0. 1 xp. dt t2. t. 1q. .. Exercice 103 (ENSEA 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e »1. . ln t dt. 0 t1 On pourra utiliser le d´eveloppement en s´erie enti`ere de t ÞÑ Existence et calcul de I. 1 1 t.. . Exercice 104 (ENSEA 2017 - S´eries et Int´egrales). Voir corrig´e » Soit I. n 0. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. an. Exercice 102 (ENSEA 2017 - S´eries et int´egrales). Voir corrig´e. ´ Etudier la convergence simple et uniforme de cette s´erie. Soit. . 1. Montrer que pour tout x P r0, 1s, 0 ¤ un 2.. p2n n0. 8 ¸ n 0. u0 pxq 1 et @n P N, un. dx. 2. f ptqet dt . On d´efinit pun q suite de fonctions de r0, 1s vers R par. Exercice 98 (CCP 2018 - Int´egrale et s´erie). Voir corrig´e 1. Existence de J. f ptqet dt, montrer que. Exercice 101 (ENSEA 2017 - S´eries et Int´egrales). Voir corrig´e. 2. Calculer la somme de la s´erie.. 8 x. 8 0. .. 1. Prouver la convergence de cette s´erie.. ». 8. 3. Apr`es avoir montr´e l’existence de. . 1. 0. lnp1 uq dt u. »1. 1. D´eterminer lim. t et dt.. Ñ 8. n. n. de variable.. 0. 13. 0. lnp1 tn q dt en fonction de I ` a l’aide d’un changement. PSI - 2019-2020.
(35) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). 2. Montrer que I. 8 ¸. . . p1qn1 .. 1. Montrer que Fn est int´egrable sur I. n2. n 1. r0, 8r.. » I. Exercice 105 (ENSEA 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e Soit f pxq . ». 8 etx2. Exercice 109 (Mines-Telecom 2017 - S´eries num´eriques). Voir corrig´e dt.. t2. 1 1. Donner l’ensemble de d´efinition de f . 0. 1. Peut-on d´efinir la nature de la s´erie bert ?. 2. f est-elle continue, d´erivable sur son ensemble de d´efinition ? c 3. Montrer que DC P R, tel que @x ¡ 0, f 1 pxq f pxq . x 4. D´eterminer la limite de f en 8. n. ¥. an x une s´erie enti`ere de rayon de convergence R. n 0. 8 ¸. qu’elle existe f pxq . . P r0, Rr, montrer que. » 2π 0. t1 x t dt. 0 lnptq t1 x 1. Montrer que g : t ÞÑ t est prolongeable par continuit´e en 1. lnptq 2. Montrer que f est d´efinie sur s 1, 8r.. 0, on pose lors- Soit f pxq . P C avec |z| r, f pzq Que se passe-t-il si |z | ¡ r ?. 2. Montrer que pour z. » 2π 0. 5. Donner une expression de f .. Exercice 111 (Mines-Telecom 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e ´ 1. Enoncer le th´eor`eme de convergence domin´ee.. ´ 1. Enoncer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral. 2. On pose f pxq . 8. 2. On pose @n P N, un. et cos xt dt. 2. 0. Montrer que f est de classe C 1 .. . »1 0. sinpx. 81 ¸. 2.. Exercice 108 (Mines-T´el´ecom 2016 - Int´egrales). Voir corrig´e 1 1. t2. tn et. .. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. n. q dx. Montrer que un . 1 n. »1 0. sin x dx. x. Exercice 112 (Mines-Telecom 2017 - S´eries de fonctions). Voir corrig´e. 3. (a) Montrer que f est solution d’une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 que Soit @x Ps 1, 8r, S pxq n n1 l’on notera pE q. 1. Montrer que S est d´efinie sur (b) R´esoudre pE q. Soit Fn : t ÞÑ. 8r et calculer f 1pxq.. 4. Montrer que f est d´erivable sur son ensemble de d´efinition.. f preit qreit dt. reit z. Exercice 107 (Mines-Telecom 2016 - Int´egrales `a param`etre). Voir corrig´e ». 1. 3. Soit a ¡ 1, montrer que f est d´erivable sur ra,. f preit qeipt dt 2πap rp . 1 2π. 1 grˆ ace ` a la r`egle de d’Alemn ln n n¥2. Exercice 110 (Mines-Telecom 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e ». an xn .. n 0. 1. Soit r. ¡. ¸. 2. Rappeler le th´eor`eme de comparaison s´erie-int´egrale et en d´eduire la convergence de la s´erie.. Exercice 106 (ENSEA 2018 - S´eries enti`eres). Voir corrig´e ¸ Soit. Fn .. 2. Calculer la limite lorsque n tend vers l’infini de. 3. 14. n 1 x.. s 1, 8r. Montrer que S est continue sur ra, bs s 1, 8r. Est-ce que S est continue sur s 1, 8r ? Calculer S px 1q S pxq. Donner un ´equivalent de S en 1. .. PSI - 2019-2020.
(36) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). 4. Est-ce que S converge normalement sur. s 1, 8r ?. Montrer que. Exercice 113 (Mines-Telecom 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e » Soit Γ : x P R. ÞÑ. 8. tx1 et dt.. 0. 1. Montrer que Γpxq lim. Ñ 8. n. »n 0. 2. Montrer que Γpxq lim. tx1 1 . Ñ 8 xp x. n. . n!nx. t n. 1q . . . px. . ». π 4. 0. dt.. lnptq dt. t2 1 1 1. Montrer que F est de classe C 1 sur R . ´ 2. Etudier le signe de F pxq.. On pose, lorsqu’elle existe, F pxq . .. 3. F admet-elle une limite en 0 ?. 1. Convergence et limite de un . un. 2. 4. Soit k. pour tout n P N. Donner un ´equivalent de un .. Soit f pxq . . n. Exercice 118 (Mines-Telcom (14) 2018 - Suite d’int´egrales). Voir corrig´e ». n 0. Ñ 8. n. 2. Exprimer f pxq ` a l’aide de fonctions usuelles.. 2. 3.. (b) Calculer. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. x p1. q dx.. Soit pun qn¥1 la suite d´efinie par :. P R et. ° 1 un 1 , en d´eduire que converge. un un. 0. x n x2. Exercice 119 (Mines-Telecom 2018 - Suite num´erique). Voir corrig´e. Exercice 116 (Mines-Telecom (14) 2018 - Suite et s´erie num´erique). Voir. @n P N, un 1 u2n un 1 Montrer que la suite pun q est croissante. On suppose que la suite pun q converge. Que dire de sa limite ? On a `a partir de maintenant u0 ¡ 1 (a) Que dire de pun q ?. 8 n sin. D´eterminer lim. 1. Quel est le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere ?. 1.. 0. tk lnptq dt.. 5. Calculer F p0q en utilisant une s´erie.. np1q xn .. corrig´e Soit pun q la suite d´efinie par u0. P N et Ik . »1. Existence et calcul de Ik .. Exercice 115 (Mines-Telecom (14) - S´erie enti`ere). Voir corrig´e. 8 ¸. pwn. Exercice 117 (Mines-Telecom (14) egrales). Voir corrig´e » x 2018 - Int´. ptan xqn dx pour n P N.. 2. Calculer un. ¥. (d) Non restitu´ee. Je propose ceci : En d´eduire un ´equivalent de lnpun q.. Exercice 114 (Mines-Telecom 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e On pose un. ¸. n 0. n. nq. 21n lnpunq. 1 wn q converge.. (c) On pose, pour n P N, wn. un. 2 ?n . n ¸ 1. . k 1. ?. k. 1. Montrer que la suite pun qn¥1 converge. ´ 2. Etudier les variations de pun qn¥1. Exercice 120 (TPE-EIVP 2016 - Int´egrales `a param`etre). Voir corrig´e ». π 4. . x2 On pose pour tout x r´eel : f pxq exp 2 cos t 0 1. Tracer le tableau de variation de f .. dt et g pxq . »x. et dt. 2. 0. 2. Calculer f en fonction de g. 15. PSI - 2019-2020.
(37) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) ». 8. 3. En d´eduire la valeur de. et dt.. 1. Montrer que f est C 1 sur R.. 2. 0. 2. Exprimer f `a l’aide de fonctions usuelles.. Exercice 121 (TPE-EIVP 2016 - Int´egrales et s´eries). Voir corrig´e »1. Existence et calcul de 0. 8 1 ¸ ln x dx. On rappelle que 1x k2 k 1. . Exercice 126 (TPE-EIVP 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e Soit a ¡ 1, soit f. π2 . 6. 1.. Exercice 122 (TPE-EIVP 2017 - S´eries et int´egrales). Voir corrig´e »1. Montrer que 0. pln tq2 t2. 1. dt 2. 8 ¸. p1qn . p2n 1q3 n0. 2.. Exercice 123 (TPE-EIVP 2017 - S´eries et Int´egrales). Voir corrig´e 1. Calculer la valeur de 0. 0. 1 22. 1 33. Exercice 128 (TPE-EIVP 2018 - Fonction d´efinie par une int´egrale).. .... Voir corrig´ $e. s r Ñ Soit F : % x ÞÑ & 0, 1. Exercice 124 (TPE-EIVP 2017 - Suites de fonctions). Voir corrig´e. P C 0pr0, 1s, Rq telle " que f p0q f p1q 0. r0, 1s Ñ R . On note : @n P N, gn : x ÞÑ f pxn q. 2. Montrer que si pgn qnPN converge uniform´ement sur r0, 1s, alors f est la fonction nulle. α n . Indication : On pourra commencer par d´eterminer lim 1 nÑ 8 n 3. Soit a P r0, 1r. Montrer que pgn qnPN converge uniform´ement sur r0, as.. ». 8. On rappelle que 0. 2 et dt . Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. ?π 2. 8. 0. et cospxtq dt.. 2. » x2 x. dt . ln t. 2. Montrer que F prolongeable par une fonction de classe C 1 sur r0, 1s en remarquant que :. ´ 1. Etudier la convergence de la suite pgn qnPN sur r0, 1s.. Exercice 125 (TPE-EIVP 2017 - Int´ egrales). Voir corrig´e ». R. 1. Montrer que F est C 1 sur s0, 1r et calculer sa d´eriv´ee.. Soit f. Soit f d´efinie sur R par @x P R, f pxq . 1. Pour tout n P N, on pose fn pxq nα xn p1 xq. Pour quelles valeurs de α a-t-on pfn q qui converge uniform´ement sur r0, 1s ?. 2. En d´eduire la formule magique propos´e par Bernoulli : xx dx 1 . t. f ptq dt et de `. t. Exercice 127 (TPE-EIVP 2018 - Suite de fonctions). Voir corrig´e. xp pln xqq dx.. »1. »a 1. Soit p un entier naturel non nul et q un entier naturel quelconque. »1. P C pr1, 8r, Rq admettant une limite finie ` en 8. »x » ax »a f patq f ptq f ptq f ptq Montrer que @x P r1, 8r : dt dt dt t t t 1 x 1 » 8 f patq f ptq dt converge et la calculer en fonction de En d´eduire que. @x Ps0, 1r, @t Psx2, xr, »1. 3. En d´eduire la valeur de 0. x2 t ln t. ¤ ln1 t ¤ t lnx t. t1 dt. ln t. Exercice 129 (TPE-EIVP 2018 - Suite de fonctions). Voir corrig´e Soit pun qnPN une suite d´efinie par u0. 0 et @n P N, un 1 eu. 8. Soit pfn q d´efinie par f0 ln et fn 1 ln fn pour n P N.. n. .. 1. Montrer que lim un. Ñ 8. n. .. 2. 16. PSI - 2019-2020.
(38) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 134 (Mines-Pont 2016 - D´enomb., S´eries enti`eres). Voir corrig´e. (a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition de fn .. 8 puis fn 1pxq xÑ 8 opfnpxqq. Soit Φ fn avec n maxtk P N, u2k xu. (a) Montrer que lim Φpxq 8. xÑ 8. On note pn le nombre de partitions de l’ensemble t1, . . . , nu.. (b) Montrer que lim fn pxq x. 3.. Ñ 8. (b) Montrer que Φ est n´egligeable devant n’importe quelle fn en. 1. D´ecrire les modes de convergence d’une s´erie enti`ere sur l’intervalle s R, Rr. 2. On pose p0. 8. 3. On note f : x ÞÑ. Exercice 130 (Navale 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e » Soit f pxq . 8 arctanpxtq tp1. 0. t2 q. 1. Montrer que @n P N, pn 1 8p ¸ n . n 0. dt.. n!. . . k 0. xn et R le rayon de convergence.. Exercice 135 (Mines-Ponts 2016 - S´eries, int´egrales). Voir corrig´e. 3. En d´eduire l’expression de f .. Existence et calcul ´eventuel de la somme de la s´erie de terme g´en´eral :. Exercice 131 (Mines-Ponts 2016 - S´eries de fonctions). Voir corrig´e. 8 ¸. x . n p1 n 2 x 2 q n1 Ensemble de d´efinition ? De continuit´e ? De d´erivabilit´e ?. un. p1q. » n. π 2. 0. cosn pxq dx. Exercice 136 (Mines-Ponts 2016 - Int´egrales, s´eries). Voir corrig´e ». Exercice 132 (Mines-Ponts 2016 - Int´egrales `a param`etre). Voir corrig´e On pose, @x ¡ 0, f pxq » 1. 1. 0. ln t lnp1 tx q dt.. ln t dt. x 0 1t 1. D´eterminer le domaine de d´efinition de f .. 1. D´efinition de f ? ´ 2. Ecrire f comme la somme d’une s´erie de fonctions.. 2. f est-elle continue sur ce domaine ?. 3. D´eterminer la limite de f en 0.. 3. Calculer lim f pxq. x. Exercice 137 (Mines-Ponts 2016 - S´eries enti`eres). Voir corrig´e. Ñ0. Exercice 133 (Mines-Ponts 2016 - Int´egrales). Voir corrig´e. . ». 8 cospatq cospbtq t. 0. Existence et calcul de I. 2. Existence et calcul de J. . Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. ». t. 2. In. 1. pn. 2. En d´eduire une cons´equence sur le rayon de convergence de la On notera S pxq la valeur de sa somme.. dt.. 8 sinpatq sinpbtq 0. Une involution de E est une application f de E dans E telle que f f IdE . Si n P N , on note In le nombre d’involutions de l’ensemble rr1, nss et I0 1. 1. Montrer, @n P N, la relation de r´ecurrence In. Soit a, b des r´eels strictement positifs. 1. On consid`ere I. n pk . k. (b) Calculer f pxq pour x Ps R, Rr.. 2. Exprimer f 1 sans utiliser de signe int´egrale.. Soit f pxq . bn xn de rayon R. (a) Montrer que R ¥ 1.. ´ 1. Etudier le caract`ere C 1 de f .. On d´efinit f pxq . n ¸. °. 1qIn . °. In n n! x .. 3. Trouver une expression simple de S pxq et en d´eduire une expression de In sous forme d’une somme.. dt. 17. PSI - 2019-2020.
(39) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 138 (Mines-Ponts 2016 - S´eries). Voir corrig´e Soit f pxq . 8 2n x2n 1 ¸ 1. n 0. x2n. 2. Simplifier. . 1. . 1. pn. k 1. .. 1. Donner le domaine de d´efinition de f . Soit N un entier naturel, et x un r´eel tel que |x| 1. N ¹. 8 ¸. pour tout n P N. k qα D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral vn selon la valeur de α.. 3. On suppose α ¡ 1 et on pose vn. n. Exercice 143 (Centrale 2016 - S´eries enti`eres et int´egrales). Voir corrig´e ». a cos xq dx. cos x 0 1. Montrer que I est de classe C 1 et calculer sa d´eriv´ee I 1 paq. (on pourra utiliser le changement de variable u tan x2 avec cos x . Si a Ps 1, 1r, on d´efinit I paq . . x2 .. n 0. 3. Expliciter f .. π 2. lnp1. . 1 u2 .) 1 u2. 2. Montrer que I est d´eveloppable en s´erie enti`ere.. Exercice 139 eries enti`eres). Voir corrig´e » (Mines-Ponts 2017 - S´ ln |1 y | Soit f : x ÞÑ dy. y 0 1. Donner le domaine de d´efinition de f .. 3. L’exercice comportait une autre question non restitu´ee.. x. Exercice 144 (Centrale 2016 - S´eries de fonctions). Voir corrig´e 1.. 2. f est-elle d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0 ? Quel est son rayon de convergence ? Calculer f p1q. 3. f est-elle d´erivable ? 4. Pr´eciser les limites de f en. 2. Montrer que S est int´egrable entre 0 et 1 et calculer cette int´egrale. sin nθ 3. On pose Vn . n Montrer la convergence de la s´erie de terme g´en´eral Vn et calculer sa somme.. 8, en 8.. Exercice 140 (Mines-Ponts 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e Justifier la convergence et calculer I. . ». π 2. ?. tan t dt.. 0. Exercice 145 ( Centrale 1 2017 - Int´egrales). Voir corrig´e » 1 α1 On pose J pα, β q . Rayon de convergence et fonction somme de la s´erie enti`ere :. ¥ n. n 0. 1 xn. . n ¸. pn. k 1. 1. k qα. pour tout n P N o` u α P R.. 1. On se place dans le cas α ¡ 1. Montrer que la suite pun q converge vers 0.. lim J pα, β q ,. α. dt o` u pα, β q P pR q2 .. Ñ0. lim J pα, β q ,. Ñ 8. α. β. lim J pα, β q ,. Ñ. 0. β. lim J pα, β q. Ñ 8. Exercice 146 (Centrale 1 2017 -» Int´egrales). Voir corrig´e 8 sin t On consid`ere f d´efinie par f : x ÞÑ. dt. t2 1. Montrer que f est d´efinie et d´erivable sur R .. 2. D´eterminer la limite de pun q selon la valeur de α.. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. tβ. 4. Calculer :. 2. Exercice 142 (Centrale 2016 - Suites et s´eries). Voir corrig´e On pose : un. 0. t 1. ´ 1. Etablir la convergence de J pα, β q. ´ 2. Calculer J p 12 , 12 q. Ecrire J pn, 1q (n P N ) sous forme de somme. ´ 3. Ecrire J pα, β q sous forme de s´erie num´erique.. Exercice 141 (Mines-Ponts 2017 - S´eries enti`eres). Voir corrig´e ¸ n2. Ps0, πr. On pose : @n P N, @t Ps0, 1r, unptq tn1 sinpnθq. ° Montrer que un converge simplement sur s0, 1r. Calculer sa somme S.. Soit θ. 18. x. PSI - 2019-2020.
(40) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) 2. Montrer que f pxq ln x quand x tend vers 0 . 1 3. Montrer que f est domin´ee par 2 quand x Ñ 8. x 4. Montrer que f est int´egrable sur s0, 8r.. ´ ET VARIABLES PROBABILITES ´ ALEATOIRES Exercice 147 (CCP 2016 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e Soit X,Y des variables al´eatoires v´erifiant les hypoth`eses suivantes : piq X et Y admettent chacune une esp´erance, piiq X et X Y sont ind´ependantes, piiiq Y et X Y sont ind´ependantes. Montrer que X Y est presque constante.. Exercice 148 (CCP 2016 - Probabilit´es). Voir corrig´e Soit X et Y deux variables al´eatoires. X suit un loi de Poisson de param`etre λ ¡ 0 et Y sachant X n suit une loi binomiale de param`etre n et p P r0, 1s. 1. Donner la loi de pX, Y q.. 2. Reconnaˆıtre la loi de Y . 3. Soit Z. X Y . Donner la loi de Z.. 4. X et Y sont-elles ind´ependantes ?. Exercice 149 (CCP 2016 - Probabilit´es). Voir corrig´e Un joueur dans un casino joue sur une machine qui renvoie un entier N dans 1 N selon la probabilit´e P pN nq n . 2 Si n est pair le joueur gagne n jetons et si n est impair, le joueur perd n jetons. 1. Calculez la probabilit´e de gagner ` a ce jeu.. 2. Soit G le gain alg´ebrique du joueur (G 0 si le joueur perd), donnez G et calculez son esp´erance.. Exercice 150 (CCP 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e Soit pk d´efinie pour tout k. P N par pk kp1 pqk1p2.. 1. Montrer que ppk q d´efini une loi de probabilit´es.. 2. Soit X la variable al´eatoire telle que @k P N , ppX k q pk . Montrer que l’esp´erance de X 1 et pX 1qpX 2q existe et calculer leur valeur. 3. Calculer l’esp´erance de X et sa variance.. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 19. PSI - 2019-2020.
(41) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 151 (CCP 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e Soit n ¥ 3, n personnes lancent simultan´ement une pi`ece ´equilibr´ee. Si toutes les pi`eces sauf une donnent le mˆeme r´esultat, le possesseur de la pi`ece perd. Soit X la variable al´eatoire donnant le nombre de tours n´ecessaires pour avoir un perdant.. Exercice 155 (CCP 2018 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e On effectue n lancers de d´es cubiques ´equilibr´es de fa¸con ind´ependante. On note Xk la variable al´eatoire ´egale au nombre obtenu au k-i`eme lancer (k P rr1, nss). On note ´egalement : Mn. 1. Donner la probabilit´e pn qu’il y ait un perdant au premier tour. 2. Donner la loi, l’esp´erance et la variance de X.. 1. Donner ppXk `a Xk .. 3. Lorsqu’un joueur perd, il est exclu de la partie. La partie s’arrˆete lorsqu’il reste deux personnes, qui sont gagnantes. Donner le temps moyen d’une partie (unit´e de temps : 1 tour).. Exercice 152 (CCP 2017 - Probabilit´es). Voir corrig´e Soit pΩ, A, P q un espace probabilis´e. Montrer que pour toute suite pAk q1¤k¤n d’´ev`enements on a : . P. n ¤. . k 1. Ak. ¤. n ¸. . P pAk q ¤ P. . k 1. n £. . Ak. pn 1q. kPrr max pXk q 1,nss. et. mn. kPrrmin pXk q 1,nss. xiq avec xi P rr1, 6ss et Fk la fonction de r´epartition associ´ee. 2. Donner la loi de Mn et sa fonction de r´epartition Fn . ´ 3. Etudier la convergence uniforme de Fn . 4. Reprendre les deux questions pr´ec´edentes avec mn .. Exercice 156 (CCP 2018 - Variable al´eatoire). Voir corrig´e Soit X une variable al´eatoire ` a valeurs dans N d´efinie par :. @n P N, P pX nq pP pX ¥ nq avec p Ps0, 1r.. k 1. Exercice 153 (CCP 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e. D´eterminer la loi de X, son esp´erance et sa variance. Soit X, Y des variables al´eatoires ind´ependantes suivant des lois de Poisson de param`etres respectifs λ et µ. Exercice 157 (CCP 2018 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e On place N boules noires num´erot´es de 1 ` a N dans une urne. On effectue n 1. D´eterminer la loi de Z X Y . tirages successifs avec remise. On note Xn le plus petit des num´eros tir´es lors 2. D´eterminer la probabilit´e conditionnelle PZ n pX hq. des n tirages. 3. D´eterminer la loi de X sachant Z n. 1. @k P N, calculer P pXn ¥ k q. Exercice 154 (CCP 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e En d´eduire E pXn q, et proposer un ´equivalent lorsque N Ñ 8. Soit x P R tel que |x| 1 et r P N . 2. Calculer V pXn q, puis un ´equivalent lorsque N Ñ 8. 1 1. Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere de x ÞÑ . Exercice 158 (CCP 2018 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e p 1 xq r Soit N une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etre λ. N 2. Soit @k P N, pn k kr1 q r pk avec q 1 p. repr´esente un nombre d’´electrons ´emis. Montrer que pk est une loi de probabilit´e. On pose X le nombre d’´electrons actifs avec une probabilit´e p d’ˆetre actif. 3. Calculer la s´erie g´en´eratrice de la variable al´eatoire X d´efinie par : On pose Y ne nombre d’´electrons inactifs avec une probabilit´e 1 p d’ˆetre inactif. @k P N, P pX kq pk . 4. Calculer la variance et l’esp´erance de X. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 1. D´eterminer la loi conditionnelle de X sachant N . 20. PSI - 2019-2020.
(42) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) 2. Trouver la loi de pX, N q.. Exercice 160 (Mines-telecom (14) 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e Soient n variables al´eatoires Y1 , . . . , Yn ind´ependantes et de mˆeme loi. On note Sn Y1 . . . Yn. 3. Trouver la loi de X. 4. Montrer que X et Y sont ind´ependantes.. 5. Trouver covpX, N q.. 1. Montrer, `a l’aide de l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev que :. 6. Questions bonus :. @a ¡. (a) Quel est le coefficient de corr´elation entre X et Y ? (b) Montrer que pour toute loi X et Y le coefficient de corr´elation est born´e.. Sn 0, P n. E Y1 . pY1q p q ¥ a ¤ Vna 2. 2. Soit une urne compos´ee de 2 boules rouges et 3 boules noires. On effectue n tirages avec remise. Trouver n tel que l’on soit sˆ ur ` a 95% que la proportion de boules rouges soit comprise entre 0,35 et 0,45.. Exercice 159 (Mines-Telecom (4) 2017 - Probabilit´es). Voir corrig´e. Une puce se d´eplace dans 3 cases pC1 , C2 , C3 q. Elle est dans C1 `a l’instant t 0.. — Lorsqu’il est dans C1 a ` l’instant t n, il peut se trouver dans C1 , C2 ou C3 `a l’instant t n 1 avec la mˆeme probabilit´e. Exercice 161 (Mines-Telecom (4) 2017 - Variables al´eatoires). Voir cor— Lorsqu’il est dans C2 ` a l’instant t n, il peut se trouver dans C1 , C2 ou rig´e C3 `a l’instant t n. 1 avec la mˆeme probabilit´e.. — Lorsqu’il est dans C3 ` a l’instant t n, il y reste `a l’instant t n . Notons un. ppEnq, vn ppFnq et wn ppGnq.
(43). 1. Donner la d´efinition d’une loi de Poisson de param`etre λ. 1.. 2. Donner son esp´erance et sa variance. un vn avec : et X wn. 3. Donner la loi associ´ee ` a X Y , X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes suivant une loi de Poisson. Le d´emontrer.. Exercice 162 (TPE-EIVP 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e. — En : « La puce est dans la case C1 ` a l’instant n ». Soit X une variable al´eatoire dont la fonction g´en´eratrice est GX ptq ae1. — Fn : « La puce est dans la case C2 ` a l’instant n ». 1. D´eterminer a.. — Gn : « La puce est dans la case C3 ` a l’instant n » 1. D´eterminer le lien entre un 2. D´eterminer Xn miner.. 1. 1,. vn. 1. sous la forme Xn. et wn 1. 1. AXn avec A une matrice `a d´eter-. 4. D´eterminer l’expression matricielle de Xn . ´ 5. Enoncer le th´eor`eme de continuit´e monotone. . 6. Calculer p. . P. Gn . Commenter.. n N. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 2. Quelle est la loi de X ? Son esp´erance, sa variance ?. et un , vn , wn .. 3. Montrer que A est diagonalisable et la diagonaliser.. t2 .. Exercice 163 (TPE-EIVP - Variable al´eatoire). Voir corrig´e On s’int´eresse `a un lancer de pi`ece parfaitement ´equilibr´ee. Est-ce que la variable al´eatoire comptant le tour auquel apparait la seconde fois « face » admet une esp´erance finie ?. Exercice 164 (Ecole Navale 2017 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e. Soit X ãÑ G p 41 q, et n ¥ 5. A partir des in´egalit´es de Markov et de Bienaym´eTchebychev, d´eterminer un encadrement v´erifi´e par P pX ¥ nq. 21. PSI - 2019-2020.
(44) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). Exercice 165 (Mines-Ponts 2016 - Probabilit´es). Voir corrig´e. Dans une urne, on a des boules distinctes B1 , . . . , Bn (n ¥ 2) que l’on tire successivement et avec remise. Soit Yr la variable al´eatoire qui donne le rang du tirage au bout duquel B1 , . . . , Br ont ´et´e tir´ees au moins une fois.. 2.. 1. D´eterminer la loi, l’esp´erance, la variance de Y1 . 2. Pr´eciser Yr pΩq. Que valent P pYr 3.. rq et P pYr r 1q ? On fixe r. Pour tout i P t1, . . . , ru, on note Wi la variable al´eatoire repr´e-. P R . Montrer l’existence d’une variable al´eatoire X telle que 1 X pΩq N et GX ptq . 2 tα Donner un ´equivalent de P pX nq lorsque n Ñ 8 dans le cas o` u α P N . 2α Soit λ P R . Montrer que P pX ¥ pλ 1qαq ¤ 2 . λ. 1. Soit α. 3.. Exercice 168 (Mines-Ponts 2017 - Probabilit´es). Voir corrig´e. On lance ind´efiniment une pi`ece de monnaie ´equilibr´ee (P pP ileq P pF aceq sentant le nombre de tirages n´ecessaires pour que pour la premi`ere fois, i 1 ) et on note pn la probabilit´e qu’on n’obtienne pas trois Piles cons´ecutifs au boules distinctes parmi les boules B1 , . . . , Br soient sorties (ainsi, Wr Yr ). 2 cours des n premiers lancers. On pose p0 1. On pose X1 W1 et Xi Wi Wi1 si i ¥ 2. 1. Calculer p1 , p2 et p3 . (a) D´eterminer la loi de Xi ainsi que son esp´erance. 2. Trouver une relation de r´ecurrence entre pn , pn1 , pn2 et pn3 . En d´eduire l’esp´erance de Yr . (b) Trouver un ´equivalent de Yn quand n Ñ. 8.. 3. Calculer lim pn .. Ñ 8. n. Exercice 166 (Mines-Ponts 2016 - Probabilit´es). Voir corrig´e. Exercice 169 (Centrale 2016 - Variables al´eatoires). Voir corrig´e. On consid`ere une suite d’´epreuves ind´ependantes de Bernoulli d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e pΩ, A, P ), de param`etre p Ps0, 1r (p probabilit´e d’obtenir un succ`es). On appelle doubl´e le fait d’obtenir deux succ`es de suite. On note q 1 p. On introduit les ´ev`enements suivants : An : « obtenir au moins un doubl´e au cours des n premi`eres ´epreuves. » Bn : « obtenir le premier doubl´e aux rangs n 1 et n. » On note ppBn q pn . 1. Montrer que ppAn q Montrer que pn. 3. n ¸. . On munit R2 de son rep`ere orthonorm´e que l’on note pO,~i, ~j q. On prend alors un module, initialement en O, se d´epla¸cant d’un pas sur l’une des quatre directions (nord,sud,est,ouest) de mani`ere ´equiprobable. On note An pXn , Yn q sa position ` a l’instant n. L’ensemble est muni d’un espace probabilisable. On note aussi Zn la distance du module au point O ` a l’instant n. On ne cherchera pas ` a d´eterminer la loi de Xn . 1. Donner l’esp´erance et la variance de Xn . 2. Montrer que E pZn q ¤. pk .. k 1 . p2 q. 1. n ¸. . 3. On admet que :. pk . 3 , pn 2 , pn 1. 3. R´esoudre cette relation de r´ecurrence. On pourra s’aider de la matrice A . 1 0. 1 0. 0 1. . pq 2 0 0. 2. k i. . . 2k . Calculer alors P pZn k. 0 q.. Exercice 170 (Centrale 1 2017 - Probabilit´es). Voir corrig´e. et pn .
(45) .. Exercice 167 (Mines-Ponts 2016 - Probabilit´es). Voir corrig´e Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. . i 0. k 1. 2. En d´eduire une relation entre pn. k ¸. ?n.. On place deux boules vertes et une boule noire dans une urne. On effectue des tirages successifs et infinis, on remet la boule tir´ee dans l’urne ainsi qu’une boule de mˆeme couleur. Soit X la variable al´eatoire r´eelle qui correspond au premier tirage de la boule verte et Y celle qui correspond au premier tirage de la boule noire. Soit Uk la variable al´eatoire qui vaut 1 si on tire une boule verte au k-i`eme 22. PSI - 2019-2020.
(46) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020). ´ ESPACES PREHILBERTIENS ET ´ ISOMETRIES. tirage et 0 sinon. Soit Zn la variable al´eatoire r´eelle qui compte le nombre de boules vertes tir´ees au cours de n tirages. 1. Donner les lois de X et de Y .. Exercice 171 (CCP 2016 - Espaces euclidiens). Voir corrig´e Soit a0 , . . . , an des r´eels deux ` a deux distincts. On pose :. (a) Exprimer Zn en fonction des Uk .. (b) Calculer P pUn. 1. 1|Zn kq.. (c) Montrer par r´ecurrence que Uk. @pP, Qq P RnrX s2, pP |Qq . Ñ B p q.. ã. 1 3. n ¸. . P pak qQpak q.. k 0. 2. Question non retranscrite.. 1. Montrer qu’il s’agit d’une produit scalaire. 2. On pose : F. . #. P. P RnrX s |. n ¸. . +. P pa k q 0 .. k 0. (a) Justifier rapidement que F est un sous-espace vectoriel de Rn rX s, calculer sa dimension ainsi que son orthogonal. (b) Calculer la distance de X n ` a F.. Exercice 172 (CCP 2016 - Espaces euclidiens). Voir corrig´e Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n dot´e du produit scalaire x | y et u un endomorphisme de E tel que pour tout x P E, xupxq|xy 0. 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de u ?. @px, yq P E, xx|upyqy xy|upxqy. Soit pe1 , e2 , . . . , en q une base orthonorm´ee de E.. 2. Montrer que : 3.. De quelle forme est la matrice de u ?. Exercice 173 (CCP 2016 - Isom´ etries). Voir corrig´e
(47). 2 1 1 2 . 1 2 2 Que repr´esente g´eom´etriquement la matrice A ? On pose A . 1 3. 2. 2. Exercice 174 (CCP 2017 et 2018 - Espaces euclidiens). Voir corrig´e. MnpRq . On pose pA|B q trptAB q ou tr est la trace. Montrer que Sn pRq et An pRq sont suppl´ementaires orthogonaux de E. Donner en fonction de M la distance de M ` a S n pR q .. Soit E 1. 2. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 23. PSI - 2019-2020.
(48) PLANCHES D’ORAUX - CONCOURS PSI (2019-2020) . 3. R´ealiser le calcul pour M. . . 1 2 .. ..
(49). 1 2. ... 1 ... 2 . . .. . .. n ... ... n. 1. Quelles sont les valeurs propres r´eelles possibles de A ? 2. Justifier que pA In q et pA. 3. Prouver que pA In qpA. In q sont inversibles.. In q1 est orthogonale.. Exercice 179 (Mines-Telecom (4) 2017 - Espaces pr´ehilbertiens). Voir Exercice 175 (CCP 2017 - Espaces euclidiens). Voir corrig´e On se place dans Rn rX s. On d´efinit le produit scalaire :. @pP, Qq P RnrX s2, xP, Qy . n ¸. . corrig´e 1. Donner et d´emontrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. (On remarque que }x λy }2 ¥ 0 pour tout px, y q P E 2 et λ P R.). P pkq p1qQpkq p1q.. 2. Donner l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire usuel sur C pra, bs, Rq.. k 0. 1. Justifier que c’est un produit scalaire.. 2. Soit E tP P Rn rX s | P p1q 0u. Montrer que E est un sous-espace vectoriel et donner sa dimension. 3. Que vaut dp1, E q ?. Exercice 180 (Mines-Telecom (14) 2018 - Projecteur orthogonal). Voir corrig´e Soit E un espace vectoriel de dimension n et p un projecteur de E. 1. On suppose Kerppq et Imppq orthogonaux. Montrer que. @u P E, }ppuq} ¤ }u}. Exercice 176 (CCP 2018 - Distance a` un sev). Voir corrig´e ». 8 1 2 On pose In ? tn et dt. On admet que I0 1. π 8 1. Pour n pair et n impair, calculer In . » 8 1 2 2. Pour P et Q dans RrX s, on pose ϕpP, Qq ? P ptqQptqet dt. π 8 ϕ est-il un produit scalaire ? Calculer dpX 2 , R1 rX sq.. 2. Kerp et Imp ne sont plus orthogonaux. Montrer que. Du P E, }ppuq} ¡ }u} 3. Non restitu´ee. Je propose ceci : Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que p soit un projecteur orthogonal.. Exercice 177 (Mines-Telecom - 2016). Voir corrig´e Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et B
(50) 1 Soit le plan de vecteur normal ~n 1 . 1. pe1, e2, e3q une base de E.. Exercice 181 (Mines-Telecom (14) 2018 - Matrice sym´etrique). Voir corrig´e Soient pX, Y q P Mn,1 pRq2 et A P Mn pRq sym´etrique ` a valeurs propres strictement positives.. P MnpRq sym´etrique telle que B 2 A. Montrer que xX, Y y2 ¤ xAX, X y xA1 Y, Y y.. 1. D´eterminer la matrice de la projection orthogonale sur ce plan.. 1. Montrer qu’il existe B. 2. Cette matrice est-elle diagonalisable ?. 2.. 3. D´eterminer les espaces propres.. 3. Trouver la borne inf´erieure de. Exercice 178 (Mines-Telecom (14) 2017 - Isom´etries). Voir corrig´e. f px1 , x2 q . Soit A P Mn pRq tel que t A A.. Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis. 24. 2x1 x2 x21 2x22 x21 x22 PSI - 2019-2020.
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