DS n°4: Conversion de puissance - PCSI-PSI AUX ULIS

Chapitres CP3, CP4 DS n◦₄

DS n

◦

4 : Conversion électro-mécanique et électronique

de puissance

L’usage de la calculatrice est autorisé.. Durée : 4h.

L’énoncé comporte quatre problèmes indépendants :

Problème A : Train à sustentation électromagnétique, d’après Centrale PSI 2018. Problème B : Moteur de maquette d’avion, d’après e3a PSI 2008.

Problème C : Remplacement de moteurs asynchrones par des moteurs synchrones à aimants permanents, d’après Centrale PSI 2016

Problème D : Convertisseur pour table à induction, d’après X/ENS PSI 2015. Ce problème comporte un document-réponse à rendre avec la copie.

Le candidat traitera au choix l’un des sujets suivants :

Sujet 1 : Problème A + Problème B + Problème C ou

Sujet 2 (plus difficile) : Problème A+ Problème C + Problème D

Merci d’indiquer clairement sur la première page de votre copie : le sujet choisi, si vous désirez que soit indiqué votre classement.

Une application numérique donnée sans unité sera considérée comme fausse. La notation tiendra compte du soin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Les résultats non justifiés n’apporteront pas de points. Pensez à numéroter vos feuilles.

Le candidat peut traiter les différents problèmes du sujet qu’il aura choisi dans l’ordre souhaité. S’il repère ce qu’il lui semble être une erreur d’énoncé, le candidat est invité à le signaler sur sa copie en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. L’énoncé comporte 17 pages.

2018-02-15 17:07:02 Page 1/6

2018

PSI

4 heures

Calculatrices autorisées

Trains à sustentation électromagnétique

Un train à sustentation magnétique utilise les forces magnétiques pour léviter au dessus de la voie ; il n’est donc pas en contact avec des rails, contrairement aux trains classiques. Ce procédé permet de supprimer la résistance au roulement et d’atteindre des vitesses élevées.

Il existe actuellement deux types de trains à grande vitesse à sustentation magnétique :

— un train à sustentation électromagnétique dans lequel le train lévite par attraction grâce à des aimants (Transrapid développé en Allemagne) ;

— un train à sustentation électrodynamique dans lequel le train lévite par répulsion grâce aux courants de Foucault induits par le déplacement du train (SCMaglev développé au Japon).

La seule réalisation commerciale du Transrapid est à l’heure actuelle la ligne de 30 kilomètres qui fonctionne depuis 2004 entre Shanghai et son aéroport international de Pudong. Le trajet s’effectue en moins de 8 minutes, à la vitesse moyenne de 245 km/h. Sur ce parcours le train atteint la vitesse de 430 km/h, il a la capacité d’accélérer de 0 à 350 km/h en 2 minutes.

La première version commerciale du SCMaglev doit relier en une heure Tokyo et Osaka, distantes de 400 km à vol d’oiseau. L’ouverture du premier tronçon de la ligne (Tokyo-Nagoya) est prévu en 2027 avec une vitesse de pointe sur le parcours de 505 km/h. En 2015 une rame de test de sept voitures a atteint la vitesse de 603 km/h, établissant ainsi l’actuel record de vitesse pour un train.

Transrapid SCMaglev

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II La sustentation électromagnétique du Transrapid

II.A – Modélisation du champ magnétique dans l’entrefer

La figure 2 présente la rame du Transrapid sur son rail et, dans un plan de coupe, le détail du système de sustentation. Ce système est constitué d’un électroaimant dont le circuit magnétique est composé :

— d’une portion de rail (1) en matériau ferromagnétique doux de perméabilité relative 𝜇_𝑟;

— d’une portion (2) solidaire de la rame, constituée du même matériau ferromagnétique, sur lequel sont bobinées 𝑁 spires alimentées par un courant d’intensité 𝑖(𝑡).

Les deux portions sont séparées par un entrefer de largeur 𝑧 variable. La section 𝑆 du matériau ferromagnétique dans les portions (1) et (2) du circuit magnétique est supposée commune aux portions (1) et (2), constante le long du circuit magnétique et carrée de côté 𝑎 : 𝑆 = 𝑎2_{. (C) est une ligne de champ magnétique du circuit}

(figure 2). Rail Vue de face Alimentation électroaimant Ligne de champ (C) Portion (1) Portion (2) 0 𝑧

Système de sustentation (demi-coupe) Figure 2 Transrapid et son système de sustentation

Les hypothèses d’étude sont les suivantes :

— les milieux ferromagnétiques sont supposés doux ; — on néglige les pertes par courants de Foucault ;

— toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique.

2018-02-15 17:07:02 Page 3/6 On note :

— ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵₁ le champ magnétique dans la portion (1) ; — ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵₂ le champ magnétique dans la portion (2) ; — ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵_𝑎 le champ magnétique dans les entrefers ;

— 𝑧 la largeur, variable, des entrefers entre les deux portions ferromagnétiques du circuit magnétique (l’origine 𝑂 sur l’axe descendant (𝑂, ⃗𝑢_𝑥) est choisie sur le rail fixe) ;

— ℓ la longueur moyenne de la partie de la ligne de champ (C) située à l’intérieur des portions ferromagnétiques (1) et (2) du circuit.

II.A.1)

Q 6. Définir l’excitation magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻 et donner l’expression reliant le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻 au champ magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 dans la matière et à l’aimantation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀 de la matière.

Q 7. Rappeler les équations de Maxwell valables dans un milieu ferromagnétique dans le cadre de l’approxi-mation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).

II.A.2)

Q 8. Quelle propriété vérifie le flux du champ magnétique dans le circuit magnétique ? Q 9. En déduire les relations liant ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵₁, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵₂ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵_𝑎.

Q 10. À quelle condition, supposée vérifiée ici, les lignes de champ restent-elles parallèles dans l’entrefer ? II.A.3)

Q 11. Rappeler les caractéristiques d’un milieu ferromagnétique doux.

Q 12. Quelle relation lie alors le champ magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 et l’excitation magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻 dans un tel milieu ? Q 13. Donner un ordre de grandeur de la perméabilité relative pour un milieu ferromagnétique doux. II.A.4)

Q 14. Écrire le théorème d’Ampère sur le contour (C). Q 15. En déduire 𝐵2 en fonction de ℓ, 𝑧, 𝑁, 𝑖, 𝜇0 et 𝜇𝑟.

Q 16. Simplifier cette écriture en utilisant la question 12.

II.B – Lévitation par attraction

On rappelle que la force électromagnétique s’exerçant sur une partie mobile d’un circuit magnétique, parcouru par un courant d’intensité 𝑖, en translation suivant la direction ⃗𝑢_𝑧s’écrit ⃗𝐹_𝑒𝑚= (∂𝐸𝑚

∂𝑧 )_𝑖 ⃗𝑢𝑧où 𝐸𝑚est l’énergie

magnétique.

Q 17. Montrer que l’inductance propre 𝐿(𝑧) du bobinage peut s’écrire sous la forme 𝐿(𝑧) = 𝜇0𝑁2𝑆

2𝑧 . Q 18. Rappeler l’expression de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine d’inductance 𝐿(𝑧) parcou-rue par le courant d’intensité 𝑖(𝑡).

Q 19. En déduire la force électromagnétique 𝐹_𝑒𝑚 s’exerçant sur la rame.

Q 20. Calculer la masse 𝑚 qui peut ainsi être mise en sustentation à une distance 𝛿 = 10 mm du rail pour un électroaimant alimenté avec un courant d’intensité 𝑖𝑒= 10 A.

Q 21. Une rame a une masse d’environ 180 tonnes. En déduire le nombre d’électroaimants nécessaires pour la sustentation de la rame. On donne : 𝑁 = 1000, 𝑆 = 0,50 m2 _{et µo=4π .10}-7 _Tm.A-1_.

Q 22. Montrer que le système de sustentation électromagnétique est instable.

Tournez la page S.V.P.

MOTEUR DE MAQUETTE D’AVION

Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les

développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne

seront pas comptabilisés. Tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet

d’aider à la compréhension du problème. Les schémas relatifs au moteur sont rassemblés en

annexe.

La majorité des moteurs utilisés en modélisme et en robotique amateur sont des moteurs à

courant continu à aimant permanent qui transforment l’énergie électrique fournie par les

accumulateurs en énergie mécanique. Nous nous intéresserons, dans le problème qui suit, à la

mise en mouvement de l’hélice d’un modèle réduit d’avion et au contrôle de sa vitesse de rotation.

Tous les composants électroniques sont supposés parfaits. Les amplificateurs

opérationnels (AO) utilisés sont idéaux. Si un amplificateur opérationnel fonctionne en régime de

saturation, sa tension de sortie sera égale à

_ou

_avec

_{. Lorsqu’un}

composant est utilisé en commutation (diode, transistor ou AO), le passage d’un état à l’autre

s’effectue de façon instantanée. La résistance des fils de conduction électrique est nulle.

A / LE MOTEUR ÉLECTRIQUE A COURANT CONTINU

L’hélice est entraînée par un moteur à courant continu à aimant permanent (noté M.C.C.)

possédant, au point nominal de fonctionnement, les caractéristiques suivantes :

•

tension nominale d’induit :

U

=

12 V

,

•

intensité du courant dans l’induit :

I

=

2,50 A

,

•

_{fréquence de rotation :}

N

=

3000 tr.min

-

.

Le

rotor ou induit du M.C.C. (figure p1) est constitué de n spires rectangulaires enroulées

sur un cylindre de rayon a et de longueur b. L’ensemble tourne à la vitesse angulaire

Ω

autour de

son axe zz’ (figure p2) en restant dans l’entrefer d’un aimant permanent (

stator ou inducteur) –

réalisé à partir d’un alliage cobalt-samarium – qui crée un champ magnétique radial

B B



=

e



. Les

spires sont connectées à l’extérieur par le système balai-collecteur en restant dans la

configuration de la figure p2.

Le rotor est équilibré pour minimiser les vibrations. Le moment d’inertie de l’ensemble

ramené sur l’axe du moteur est

J 10

=

kg.m

; les pertes fer (dans le circuit magnétique) et

mécaniques (frottements solides) sont négligées. Lors de sa rotation, le cylindre est soumis à une

force de frottement fluide, de couple :

C



_f

= β

−



=

−

C e

_f



_z

(avec

C

_f

>

0

et

β =

10

kg.m .s

).

L’induit possède une résistance R 0,24

=

Ω

et une inductance L supposées constantes.

Un générateur de tension constante

V

−

V

=

U

(avec U > 0 ) alimente le moteur. A l’instant t, la

branche MN est située dans l’intervalle −

π

_/

2

< <

θ π

_{/ et la branche PQ dans l’intervalle}

2

< <

2

3 2

π

/

θ

π

/ .

A1. a. Un système balais-collecteur permet la commutation de A et C à chaque demi-tour du

rotor, si bien que le courant i dans l’induit circule toujours dans le même sens. Expliquer

brièvement le principe de ce système en raisonnant sur une spire.

b. Citer l’expression du couple C

des forces électromagnétiques en fonction de i et de Φ

,

constante de couplage, puis établir à partir d’un bilan de puissance l’expression de la force

contre-électromotrice du moteur :

Ω

(E est reliée à la force électromotrice induite e

par la relation E

= −

e

).

2

Le schéma électrique équivalent de l’induit en régime dynamique est proposé ci-dessous :

A2. En déduire l’équation électrique reliant les grandeurs E, U, R, L et

i

.

A3. Ecrire l’équation mécanique reliant J,

, le couple utile

C



= −

C



(avec

C > 0 et

supposé constant), imposé au moteur lorsqu’il entraîne la charge mécanique, le couple de

frottement

C



et le couple électromagnétique

C



.

En déduire la projection de cette équation mécanique suivant l’axe

e



.

A4. Expliquer qualitativement comment freiner le moteur (on pourra négliger l’influence de L

dans le raisonnement). Quel est le comportement du moteur lorsqu’il tourne en roue libre,

c'est-à-dire non alimenté ?

Fonctionnement en régime nominal

A5. Calculer la valeur de la force électromotrice du moteur E ; en déduire la valeur de la

constante Φ

dans le système international et préciser son unité.

A6. En négligeant la chute de tension aux bornes de la bobine, déduire des équations

mécanique et électrique couplées, l’équation différentielle vérifiée par la vitesse angulaire

Ω

_{en utilisant Φ}

, β, C

, J, R et U. Déterminer le temps

τ

caractéristique de la "mise en

vitesse" du moteur. Exprimer la vitesse angulaire limite

Ω

. Calculer le temps nécessaire

pour atteindre cette vitesse à 1 % près.

A7. Calculer le moment du couple utile C

en régime nominal et

Ω

(en tr.min

). Quel est le

courant

i

dans l’induit au démarrage, si la tension d’induit est égale à la tension nominale ?

Commenter.

Quelle est, au démarrage, la tension minimale U

nécessaire pour entraîner le moteur ?

B / COMMANDE DU M.C.C. PAR UN HACHEUR

Le moteur est alimenté par un hacheur, la tension u(t) n’est plus continue ;

−

A C

u(t) v (t) v (t)

=

et i(t) sont des fonctions périodiques du temps. Leurs valeurs moyennes

respectives sont notées u(t) et i(t) .

L’hélice tourne à vitesse constante. L’induit du M.C.C. représenté figure p4 est alimenté par

l’intermédiaire d’un hacheur série connecté à une source de tension idéale de valeur

U

=

12 V

.

L’interrupteur électronique H

est commandé de manière périodique à la période T

par un

signal rectangulaire ou créneau de rapport cyclique

α

et de fréquence de hachage

N

=

2 kHz

généré par un circuit non représenté :

•

_{l’interrupteur H}

est fermé entre les instants 0 et

α

T

,

•

_{l’interrupteur H}

est ouvert entre les instants

α

T

et T

,

•

_{à l’état passant, la diode D}

est assimilée à un interrupteur fermé,

•

à l’état bloqué, elle est assimilée à un interrupteur ouvert.

Le rapport cyclique est réglé à

α =

0,6

.

B1. Montrer qu’un interrupteur idéal ne consomme pas de puissance et que les interrupteurs H

Tournez la page S.V.P. 3

B2. Justifier le rôle de la diode D

dite "de roue libre" pour protéger l’installation.

B3. Représenter sur deux périodes le chronogramme de la tension u(t), c'est-à-dire son

évolution au cours du temps. Préciser sur le graphe l’amplitude de u(t) et les instants αT

et T

.

B4. La différence de potentiel aux bornes de la résistance de l’induit est négligée.

C

alculer la

valeur moyenne u(t) de la tension u(t). En déduire la valeur de la force

contre-électromotrice E et montrer que la vitesse de rotation Ω est proportionnelle au rapport

cyclique α. Calculer la valeur de Ω en tr.min

_pour

_{α =}

_0,6

_.

B5. En négligeant la résistance de l’induit, justifier l’évolution au cours du temps de l’intensité

du courant

i

(t) représentée sur le graphe figure p5. Etablir l’expression de l’ondulation du

courant ∆I = I

- I

en fonction de U

, L, α et T

. Pourquoi est-il intéressant de

diminuer l’ondulation du courant ?

Préciser le rôle d’une bobine supplémentaire de lissage qui peut être placée en série avec

le moteur. A partir du graphe, calculer l’inductance L de l’induit.

B6. A l’aide du graphique, déterminer la valeur moyenne i(t) de l’intensité du courant.

Vérifier que la chute de tension aux bornes de R est négligeable. Expliquer l’intérêt du

courant moyen (et de la tension moyenne) pour un moteur à courant continu.

C / RÉALISATION DES SIGNAUX DE COMMANDE DU HACHEUR

Un générateur de tension est représenté sur la

figure p6.

Il comporte un condensateur de

capacité C

et un interrupteur électronique H

commandé par de brèves impulsions périodiques de

période T

:

•

à t

=

0, l’interrupteur idéal H

se ferme pendant un bref instant sur une première

impulsion,

•

_{il est ensuite ouvert pendant la durée T}

jusqu’à l’impulsion suivante.

U

=

12 V ;

R

=

1 k

Ω

;

C

=

1 µF

;

T

=

0,5 ms.

C1. Exprimer l’intensité du courant I en fonction des données. Quelle est la fonction de l’AO

dans le circuit électronique ? Préciser le rôle de l’AO

et de l’AO

.

C2. Déterminer la tension u

(t) dans l’intervalle de temps [0, T

] en fonction de U

, R

, C

et

t. Représenter le chronogramme u

(t) sur deux périodes. Préciser la valeur maximale

U

et la période de u

(t).

C3. Quelle est la fonction de l’AO

? Montrer que

la tension u

(t) appliquée à l’entrée

inverseuse de l’amplificateur opérationnel AO

est égale à u

(t).

C4. Expliquer le rôle de l’AO

et tracer le chronogramme u

(t) sur deux périodes pour une

tension de consigne V

réglable entre 0 et U

.

Conclusion :

C5. Exprimer le rapport cyclique α du signal obtenu en fonction de V

, U

, T

, R

et C

.

Montrer que V

permet le contrôle de la vitesse de rotation Ω du moteur. Pour quelle

valeur de V

obtient-on un rapport cyclique de 0,6 pour le signal u

(t) ?

4

ANNEXE

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2016

PSI

Calculatrices autorisées

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l’initiative de la part du candidat. Elles sont très significativement valorisées dans le barème. Même si elles n’ont pas abouti, les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat et seront valorisées si elles sont pertinentes. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement.

Fin 2012, une société gérant la production et la distribution d’eau de l’agglomération du Grand Angoulême (110 000 habitants sur 16 communes) a décidé de substituer les deux moteurs asynchrones entrainant la pompe alimentant le château d’eau de Ruelle sur Touvre par un seul moteur synchrone à aimants permanents de puis-sance 350 W à 1500 tr⋅min−1 _{commandé par un variateur spécifique. Même s’il s’agit le plus souvent de régime} continu, ce dernier participe à réduire la facture énergétique lors de variations de débit imposées. Les pertes rotoriques d’un moteur asynchrone (liées à la différence de vitesse entre le rotor et le champ statorique tournant (glissement)) représentent près du tiers des pertes totales. Les pertes dans un rotor à aimants permanents sont négligeables en comparaison et le variateur n’augmente la consommation énergétique que de 3%. La consomma-tion énergétique de l’installaconsomma-tion est réduite de 10% par mètre cube transféré et l’installaconsomma-tion peut assurer un débit de 115% de son régime nominal pendant les 8 h de tarif de nuit de consommation électrique. Une étude a montré que le surcoût lié à la vitesse variable serait amorti en 14 mois.

Dans ce sujet, nous nous intéresserons à une autre installation de même type. Après avoir évalué les pertes de charge dans les 8400 m de conduit reliant la pompe au château d’eau, nous proposerons une pompe centrifuge au point de fonctionnement convenable compte tenu du débit et de la hauteur manométrique totale (note: ces deux premières parties sont retirées du sujet). Une troisième partie sera consacrée à l’étude de principe d’un moteur synchrone à aimants permanents censé entrainer chacune des pompes.

III Remplacement des moteurs asynchrones par des moteurs

syn-chrones à aimants permanents. Évaluation du couple

Les moteurs synchrones à aimants permanents d’assez forte puissance (comme le modèle choisi précédemment) sont en général alimentés par des variateurs produisant un signal de tension et donc des courants sinusoïdaux triphasés. Par souci de simplification, nous étudierons ici un système de courants statoriques diphasés.

III.A – Champ magnétique rotorique

Le rotor sera assimilé à un bloc cylindrique homogène d’axe 𝑧′_{𝑧, d’aimantation permanente uniforme d’axe 𝑦}′_𝑦.

L’axe 𝑥′_{𝑥 est un axe fixe dans le référentiel du stator permettant de repérer les angles dans le plan perpendiculaire}

à 𝑧′_{𝑧 (figure 4) :}

• 𝛼 repère la direction de l’axe 𝑦′_{𝑦 ;}

• 𝜃 repère la position angulaire d’un point 𝑀 quelconque.

Dans la suite, on s’intéressera surtout aux points 𝑀 situés dans l’entrefer entre la culasse statorique (de rayon intérieur 𝑎) et le rotor (de rayon extérieur 𝑎 − 𝑒), soit tels que 𝑎 − 𝑒 < 𝑟 < 𝑎.

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III.A.1) Rappeler la relation entre ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵_u�, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻_u�et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑀_u�représentant respectivement le vecteur champ magnétique, le vecteur excitation magnétique et le vecteur aimantation du milieu magnétique constitutif du rotor.

III.A.2) Au sein des aimants permanents, la relation peut s’écrire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵 = 𝜇₀𝜇_u�𝐻 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽, où 𝜇_u� est la perméabilité relative de « recul » de l’aimant (légèrement supérieure à l’unité pour les aimants performants) et ⃗⃗⃗⃗⃗𝐽 le champ magnétique rémanent de l’aimant. Au passage du milieu aimanté constituant le rotor à l’entrefer, les continuités aboutissent à l’expression suivante des composantes du champ magnétique rotorique

⎧ { ⎨ { ⎩

𝐵_{u�(𝑟, 𝜃) = 12(1 − 𝑥u�})2_{(1 + (𝑎𝑟)}2_{) 𝐽 cos(𝜃 − 𝛼)}

𝐵_{u�(𝑟, 𝜃) = −12(1 − 𝑥u�})2_{(1 − (𝑎𝑟)}2_{) 𝐽 sin(𝜃 − 𝛼)}

pour 𝑎 − 𝑒 < 𝑟 < 𝑎 et 𝑥_u�=_𝑎𝑒.

Sachant que l’entrefer avoisine 𝑒 = 3 mm et l’alésage 𝑎 = 15 cm, on considère un champ magnétique d’entrefer indépendant de 𝑟. En déduire l’expression approchée du champ magnétique rotorique.

III.A.3) On note Ω la vitesse angulaire constante du rotor dans le référentiel fixe du stator et on prend 𝛼 = 𝛼u�u�

nul à l’instant initial. Réécrire l’expression simplifiée du champ magnétique rotorique à un instant 𝑡 en un point 𝑀 de position angulaire 𝜃 dans l’entrefer.

Donner l’allure de la composante radiale du champ rotorique ressenti à l’instant 𝑡 dans l’entrefer dans la direction 𝜃 = 𝜋/2.

Culasse magnétique de grande perméabilité (𝜇 → ∞ ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻 = ⃗0 dans le volume de la culasse)

Aimant de champ magnétique rémanent ⃗⃗⃗⃗⃗𝐽 uniforme

𝑥′ _𝑥 𝑦′ 𝑦 𝑂 𝛼 𝑧 𝑀 ⃗𝑢 u� ⃗𝑢 u� _𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐽 𝑒 𝑎 𝑎 𝑒 𝑂𝑧 𝑂𝑥 𝑂𝑦 𝑀, ⃗𝑢_u�, ⃗𝑢_u�

rayon d’alésage du stator épaisseur de l’entrefer axe de révolution

axe polaire de référence (fixe) axe de polarisation magnétique repère local

Figure 4

III.B – Champ magnétique statorique

On cherche alors à réaliser un champ magnétique statorique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵_u�tournant à vitesse angulaire constante 𝜔_u�> 0 (donc dans le sens direct) grâce à une implantation particulière de spires dans les encoches du stator. Pour cela, nous utiliserons deux enroulements porteurs de courants déphasés de 𝜋/2 :

{ 𝑖1(𝑡) = 𝐼 cos(𝜔u�𝑡 + 𝛽u�)

𝑖₂(𝑡) = 𝐼 cos(𝜔_u�𝑡 + 𝛽_u�+ 𝜋/2)

Dans un premier temps, une seule paire d’encoches, située sur l’axe perpendiculaire à 𝑥′_{𝑥 (figure 5) est bobinée}

et parcourue par le courant d’intensité 𝑖₁(𝑡). On cherche à déterminer le champ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵_u�1en tout point 𝑀 de l’entrefer.

𝑥′ _𝑥

𝑀 𝑟

𝜃

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III.B.1) En utilisant le schéma de la figure 5, les symétries et la circulation du vecteur excitation magnétique, montrer que ⎧ { ⎨ { ⎩ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵_u�1(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝜇0𝑖1(𝑡) 2𝑒 ⃗𝑢u� pour 𝜃 ∈ ]−𝜋/2, 𝜋/2[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵_u�1(𝑟, 𝜃, 𝑡) = −𝜇0𝑖1(𝑡) 2𝑒 ⃗𝑢u� pour 𝜃 ∈ ]𝜋/2, 3𝜋/2[

III.B.2) Justifier qu’une répartition judicieuse des brins dans des encoches régulièrement réparties autour du stator puisse fournir un champ dont l’allure théorique est de la forme donnée figure 6.

Combien d’encoches réparties correspondent à la courbe de la figure 6 ? Précisez les repères angulaires sur l’axe des abscisses.

0 𝜃

𝐵_u�1

Figure 6

III.B.3) Le champ statorique radial 𝐵_u�1s’approche d’une fonction sinusoïdale de la forme 𝐵_u�1(𝜃, 𝑡) ≈ 𝐾_u�𝑖₁(𝑡) cos 𝜃 que l’on prendra désormais comme la contribution réelle du courant 𝑖₁(𝑡) dans l’enroulement.

De quoi dépend la constante 𝐾_u�?

III.B.4) On rajoute le second enroulement décalé spatialement de l’angle +𝜋/2 (donc sur l’axe 𝑥′_{𝑥). Le courant}

𝑖₂(𝑡) de cet enroulement est en quadrature retard sur le courant 𝑖₁(𝑡).

Montrer que sa participation au champ radial statorique s’écrira 𝐵u�2(𝜃, 𝑡) = 𝐾u�𝐼 sin(𝜔u�𝑡 + 𝛽u�) sin 𝜃.

III.B.5) Montrer que le champ magnétique statorique résultant est un champ tournant dans le sens trigono-métrique à la vitesse angulaire 𝜔u�dont on donnera l’amplitude.

III.C – Énergie magnétique dans l’entrefer

III.C.1) Rappeler l’expression de la densité volumique d’énergie magnétique dans un milieu de perméabilité relative 𝜇u�.

III.C.2) Calculer l’énergie magnétique dans l’entrefer (siège des champs rotorique et statorique) en négligeant les effets de bord et en notant 𝑙 la longueur du rotor.

On pourra alléger l’expression finale en faisant apparaitre le volume d’entrefer 𝑉 = 2𝜋𝑎𝑒𝑙.

III.D – Moment électromagnétique s’exerçant sur le rotor

III.D.1) Rappeler l’expression du couple des forces électromagnétiques exercées sur le rotor, à partir de l’énergie magnétique.

En déduire l’expression de ce couple en utilisant le résultat de la question III.C.2.

III.D.2) Quelles conditions sont nécessaires à l’obtention d’un couple moteur moyen positif ?

III.D.3) Discuter le rôle de 𝛽u�(angle de « calage » des courants) et la stabilité de deux points de fonctionnement

associés à deux valeurs de 𝛽u�.

CONVERTISSEUR POUR TABLE À INDUCTION

Le chauffage domestique par induction consiste à placer un récipient constitué d’un métal

spécialement adapté et massif au-dessus d’un bobinage inducteur alimenté en courant

alternatif. Pour favoriser l’apparition de courants de Foucault importants dans le métal qui

chaufferont le récipient par effet Joule, il convient que cette alimentation se fasse à haute

fréquence (par rapport à celle du réseau électrique à 50 Hz). On doit donc employer une

chaîne de conversion comprenant tout d’abord un convertisseur alternatif-continu (non étudié

dans ce problème) qui fournit la source de tension considérée idéale désignée par E dans le

problème, suivi d’un convertisseur continu-alternatif qui fait l’objet de cette étude.

On abordera successivement la structure de base du convertisseur

et la

commande décalée. Un document-réponse doit être rendu avec la copie.

I)

STRUCTURE ET COMMANDE PLEINE ONDE

I).1. On étudie un convertisseur à quatre interrupteurs K1, K’1, K2 et K’2, représenté

ci-dessous. Les interrupteurs sont considérés idéaux et commandables à l’ouverture et à la

fermeture, la source est une source idéale de tension continue de valeur E. La charge est un

circuit comportant en série une résistance R, une inductance L et une capacité C.

E

2

I).1.1. La nature de la charge est-elle une source de courant ou de tension ? Justifier votre

réponse. Déduire, de la nature de la source ainsi que de la charge, les conditions à respecter

pour la commande des interrupteurs.

I).1.2. On commande les interrupteurs de manière périodique à la fréquence f = 1/T selon la

séquence suivante (1 : interrupteur fermé, 0 : interrupteur ouvert) et on suppose que le courant

dans la charge est purement sinusoïdal d’expression :

𝑖 𝑡 = 𝐼

sin  (𝜔𝑡 + 𝜑)

avec ω = 2πf et -π/2 < ϕ < 0 pour l'instant.

Tracer sur le document-réponse l’allure temporelle des tensions u(t) aux bornes de la charge,

u

(t) aux bornes de l’interrupteur K1 , du courant i(t) dans la charge et du courant i’(t) dans la

source d’alimentation.

I).1.3. Calculer la valeur efficace U de u(t). La définition de la valeur efficace d’un signal

périodique de période T étant :

𝑋

=

𝑥(𝑡)

_𝑑𝑡

!

.

I).1.4. On donne la décomposition en série de Fourier d’un signal rectangulaire de valeur

moyenne nulle, d’amplitude E et de période T telle que ωT = 2π et de rapport cyclique 1/2 :

𝑒 𝑡 =

En déduire la valeur efficace U

du fondamental de u(t).

3

I).1.5. On définit le taux de distorsion harmonique d’un signal périodique x(t) (en

pourcentage) comme :

τ

(x) = 100

!!_!! !!

!!

X étant la valeur efficace de x(t) et X

la valeur efficace du fondamental de x(t).

I).1.5.a. Calculer τ

(u) . Donner sa valeur numérique approchée en prenant π

= 10

I).1.5.b. Que vaut le taux de distorsion du courant τ

(i) ? À quoi est due la différence entre

τ

(i) et τ

(u) ?

I).1.6. Calculer la valeur moyenne I’ de i’(t) le courant délivré par la source d’alimentation.

I).1.7. Calculer la puissance moyenne P absorbée par la charge (R, L, C).

I).1.8. Calculer la puissance moyenne P’ fournie par la source d’alimentation. Commenter.

I).1.9. Les interrupteurs Ki (ou K’i) sont tous constitués de l’association en anti-parallèle

d’un interrupteur commandé Ti unidirectionnel en courant et d’une diode Di (courant dans le

sens de la flèche des interrupteurs). En considérant toujours -π/2 < ϕ < 0, représenter dans le

tableau du document-réponse les intervalles temporels et angulaires où les différents

interrupteurs Ti et Di conduisent, sur une période de fonctionnement du convertisseur (la

relation entre le temps t et l’angle θ étant θ = ωt).

II)

COMMANDE DÉCALÉE

Afin de modifier les formes d’onde de la tension u(t) et d’en diminuer le taux de distorsion

harmonique, on adopte une commande des interrupteurs légèrement différente appelée

commande décalée décrite ci-dessous :

La commande des interrupteurs du premier bras (K1, K’1) est inchangée tandis que celle des

interrupteurs du second bras (K2, K’2) est retardée d’un angle β compris entre 0 et π.

i₁(t)

u₁(t) = u_T1(t)

T1

D1

u_D1(t)

II).1. Donner la représentation graphique de u(θ) et de u

(θ) en correspondance. Quel est le

trajet du courant dans les intervalles [0, β] et [π, π+β] ?

II).2. Sans en calculer la valeur, représenter le fondamental de u(t), en particulier sa position

angulaire par rapport à u(t).

Si la charge (R, L, C) est inchangée, ainsi que la fréquence de commande, en déduire

l’expression instantanée du courant i(t) qu’on considérera toujours sinusoïdal (d’amplitude I

même si bien sûr son amplitude ne garde pas la même valeur que dans la partie I). On

justifiera soigneusement le résultat.

Représenter graphiquement i(θ).

II).3. Déduire de la question précédente la représentation graphique de i’(θ) le courant fourni

par la source.

II).4. Quel est l’avantage de la commande décalée par rapport à la commande pleine onde ?

Présente-t-elle des inconvénients ?

II).5. Calculer la valeur efficace U’ de la tension u(t) pour la commande décalée en fonction

de β et E.

II).6. On donne la valeur du fondamental de u(t) pour la commande décalée :

𝑈

₌

2 2

𝜋

cos

𝛽

2

𝐸

En déduire la valeur du taux de distorsion harmonique pour la commande décalée en fonction

de β :

τ

(u) = f(β)

II).7. On voudrait trouver la valeur de β qui minimise le taux de distorsion de u(t). En

s’intéressant à 𝑔 𝛽 = (

)

_{déterminer la condition que doit satisfaire β pour minimiser le}

taux de distorsion.

Application numérique : à l’aide du tableau suivant qui donne les valeurs des fonctions :

K1 K'1 K2 K'2 1 0 θ 2π π β π+β θ 2π+β

5

ℎ 𝛽 = 𝜋 − 𝛽 tan  (

)

𝑘 𝛽 =

cos

𝑐 𝛽 = (𝑘 𝛽 )

déterminer approximativement la valeur de β qui minimise le taux de distorsion ainsi que sa

valeur τ

.

β(°)

0

7,5

15

22,5

30

37,5

45

52,5

60

67,5

75

82,5

90

h(β)

0

0,20 0,38 0,55 0,70 0,84 0,97 1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

k(β) 0,90 0,90 0,89 0,88 0,87 0,85 0,83 0,81 0,78 0,75 0,71 0,68 0,64

c(β) 0,81 0,81 0,79 0,77 0,76 0,72 0,69 0,66 0,61 0,56 0,50 0,46 0,41

II).8. Tracer l’allure de τ

(u) = f(β) pour β compris entre 0 et 90°.

DOCUMENT RÉPONSE

I).1.2.

I).1.9.

Intervalle de

θ = ωt

0 à -ϕ

-ϕ à π

π à π - ϕ

π - ϕ à 2π

Interrupteurs

qui

conduisent

Fin Problème D