D.S. n°4 : Calcul matriciel et polynômes - PCSI-PSI AUX ULIS

PCSI 7 janvier 2017

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Exercice 1: Questions de cours :

1. Rappeler la condition nécessaire pour effectuer les produits A × B et B × A. 2. Donner la définition d’une matrice symétrique.

3. Donner la définition d’une matrice inversible.

4. Enoncer la formule du binôme de Newton pour les matrices. 5. Donner la formule pour le degré d’une somme de deux polynômes. 6. Enoncer le théorème de la division euclidienne pour les polynômes. 7. Donner la définition de la multiplicité d’une racine.

8. Donner la forme des polynômes irréductibles dans C[X], puis dans R[X].

Exercice 2: Calculer l’inverse de la matrice C =

   1 1 3 2 1 0 1 1 1   .

Exercice 3: Déterminer la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X] et dans C[X] des

polynômes suivants : 1. P = X4_{− 1.} 2. P = X8_{+ X}4_{+ 1} Exercice 4: Soient A = −3 9 −4 9 ! , P = 3 1 2 1 ! et N = 0 1 0 0 ! . 1. Puissance de la matrice A

(a) Justifier correctement que P est inversible et déterminer P−1.

(b) On note T = P−1×A×P . Calculer T . Comment appelle-t-on une matrice de cette forme ? (c) Démontrer correctement que, ∀n ∈ N, Tn_{= P}−1_{× A}n_{× P .}

(d) Calculer les différentes puissances de T (en fonction de n).

(e) En déduire les différentes puissances de A (toujours en fonction de n). 2. Commutant de la matrice A

Pour une matrice B quelconque de taille 2 × 2, on appelle commutant de B et on note C(B) l’ensemble

C(B) = {M ∈ M2(R), BM = MB} .

(a) Proposer une définition en français de l’ensemble C(A). (b) A-t-on AT _{∈ C(A) ?}

PCSI 7 janvier 2017

(c) En utilisant la relation qui relie T et N , montrer l’égalité des ensembles C(T ) = C(N ). (d) Montrer que

∀M ∈ M2(R), M ∈ C(A) ⇔ P−1M P ∈ C(T ).

Exercice 5: Pour µ ∈ R, on note Pµ= X3+ µX2+ µX + 1.

1. Montrer que −1 est une racine de Pµ. Par quel polynôme peut-on factoriser Pµ?

2. Déterminer, selon la valeur de µ, la multiplicité de −1 en tant que racine de Pµ.

3. En déduire, selon la valeur de µ, une factorisation de Pµ.

4. Après avoir déterminé les racines d’un polynômes de degré 2, donner la factorisation de Pµ

dans C[X] et dans R[X].