PCSI 28 janvier 2017
Correction du devoir surveillé n
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Exercice 1: Questions de cours :
1. Le fait de diviser par une quantité pouvant être nulle n’a pas dérangé les élèves. 2. Les élèves confondent la définition et les propriétés de suites adjacentes.
3. La condition de non nullité de la suite v n’est pas souvent écrite. 4. Les formules sont sues mais de façon approximatives.
5. La définition est bien sue dans l’ensemble. 6. Le théorème est su.
Les domaines de dérivabilité des fonctions circulaires réciproques beaucoup moins. 7. Le domaine d’existence du réel c n’est pas bien énoncé.
8. Les élèves confondent TAF et IAF.
Exercice 2: La méthode est acquise par un très grand nombre mais il y a des erreurs de signe.... Exercice 3:
1. Peu d’erreurs de calculs.
2. La commutativité avant de définir l’inverse est rarement vérifiée. Lorsque A est mis en facteur, il reste I3 et non 1.
Exercice 4:
1. Bien
2. L’étude de f00 a été bien menée.
Deux fonctions équivalentes n’ont pas forcément les mêmes bornes.
3. Les élèves n’ont pas toujours pensés à utiliser l’IAF alors que le caractère bornée de f0 les y incitait.
f0 bornée par −1 et 1 ne permet pas d’affirmer que le taux d’accroissement est aussi borné par −1 et 1.
Problème 1: Algorithme de Babylone
Partie I - Etude d’une première suite
1. (a) Certains élèves n’ont pas souhaité rédigé une récurrence. Pourtant, c’est la première question donc on le fait bien.
(b) Les élèves ayant utilisés une récurrence n’ont pas eu besoin de P (n) pour montrer P (n + 1). A-t-on réellement besoin d’une récurrence ?
Pour les autres, il faut penser au cas n = 0. 2. (a) Bien
(b) Il fallait partir de la question précédente et utiliser une minoration de un.
Peu d’élèves utilisent le lien entre un+1 et un.
(c) La majorité des élèves est allé trop vite pour conclure : ça n’est pas la définition de la conver-gence. Il fallait d’abord itérer cette majoration.
Les élèves ne peuvent pas parler de la limite avant d’avoir justifié qu’elle existe.
Certains élèves ont utilisé le théorème de la limite monotone, sans avoir justifié la monotonie de u. De plus, la limite n’est pas toujours la borne (majoration ou minoration)
PCSI 28 janvier 2017
3. (a) Bien traité
(b) C’est une question de cours cachée. Les élèves doivent savoir déterminer pn pour toutes les
valeurs de ∆.
(c) Les équivalents n’ont pas été bien justifiés (seulement 3 copies). Nous avons traité le cas d’équivalent de suites géométriques. 4.
5. Penser à trouver √2 à la fin. Sinon, on peut penser que vous n’avez pas de recul sur le sujet.
Partie II - Etude d’une seconde suite
1. Bien dans l’ensemble. 2. Bien
3. De nouveau, ça n’est pas la définition de la convergence. Il fallait itérer cette majoration.
Partie III - Comparaison des vitesses de convergence
On considère la suite (tn)n∈N définie par ∀n ∈ N, tn= vn−
√ 2 un− √ 2. 1. Très peu réussie. 2. Non traitée
3. Les élèves n’ont pas osé repartir de la question précédente. Pourtant, le résultat était là pour pouvoir l’utiliser même sans avoir traité la question précédente.
Problème 2: Dérivées successives et polynômes
1. Etude de la fonction f
(a) Peu d’élèves ont séparé les limites à gauche et à droite. Beaucoup d’erreurs dans la croissance comparée.
(b) Si une fonction n’est pas continue en un point, l’étude de la dérivabilité n’y est pas utile. (c) Beaucoup d’élèves ont justifié le caractère C2 en parlant de la forme de f00 sans l’avoir calculée.
Soit, vous calculez les dérivées et vous les donnez sous la forme demandée (P1 et P2), soit vous
citez le théorème pour la classe C2.
2. Dérivées successives (a) Bien traitée
(b) La récurrence porte sur l’existence d’un polynôme Pndonc l’existence doit être dans l’hypothèse
de récurrence.
D’autre part, le lien entre Pn+1et Pnne peut pas être dans la récurrence, car on ne connait pas
encore Pn+1 au rang n.
Enfin, certains élèves ont eu laissé entendre que P0 = 1 mais ça n’est nulle part dans l’énoncé.
3. Etude de la fonction g (a) Très bien traitée (b) Bien traitée
4. L’énoncé n’est pas assez précis.
5. Il faut appliquer la formule avec g(n+1), le sujet vous y encourage.
Attention à ne pas confondre fk et f(k) qui ne se factorise pas par f(k−1). 6. Une récurrence était attendue comme dans le DM des vacances de Noël.
