DS n°2 Complexes et équations différentielles - PCSI-PSI AUX ULIS

PCSI 8 octobre 2016

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2

Exercice 1: Questions de cours :

1. Donner la forme exponentielle des racines 6-ème de l’unité. 2. Démontrer l’inégalité triangulaire et le cas d’égalité.

3. Enoncer (sans les démontrer) les formules d’Euler et de Moivre. 4. Donner plusieurs caractérisations des événements suivants où z ∈ C :

(a) z ∈ R (b) z ∈ iR

5. Donner la fonction définie sur C à valeurs dans C qui correspond à l’homothétie de rapport 1 3

et de centre A d’affixe 2 + i.

6. Enoncer la définition d’une primitive 7. Enoncer le lien entre intégrale et primitive. 8. Enoncer la formule d’intégration par parties 9. Enoncer la formule de changement de variables

Exercice 2: Résoudre les deux équations suivantes :

1. z2_{− 2iz + 2 − 4i = 0}

2. (z + 1)n_{− (z − 1)}n _{= 0}

Exercice 3: Calculer les intégrales suivantes :

a) Z 1 0 t √ 1 + 2t2dt b) Z π₄ 0 sin(t) cos(t)dt c) Z 1 0 t2 (t3_{+ 8)}3dt d) Z 3 2 1 x2_{− 6x + 8}dx e) Z π 2 0 x2sin(3x)dx f ) Z 1 0

sin3(x)dx avec φ(x) = cos(x)

Exercice 4: Résoudre les équations différentielles suivantes sur I = R

1. (1 + x2_)y0_{+ xy =} √_{1 + x}2

2. y00− 3y0 _{+ 4y = 6x + 1 + 7e}−x

Exercice 5: Soit f la fonction qui associe à un complexe z, lorsque c’est possible, le complexe

f (z) = z

2

z − 2i

1. Quel est le domaine de définition Df de f ?

2. Déterminez les antécédents du complexe 1 + i par f .

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3. Déterminez, selon la valeur de a ∈ C, le nombre d’antécédent de a par f . 4. On définit maintenant la fonction g par

∀z ∈ Df, g(z) = |z − 2i|2

z2

z − 2i + z

3

Pour z ∈ C, exprimer g(z) sous forme algébrique.

5. On note A = {z ∈ Df /g(z) ∈ iR}. Montrer que A est inclus dans la réunion d’une droite et

d’un ensemble dont on donnera une définition par compréhension.

Exercice 6: On cherche à résoudre l’équation suivante d’inconnue z :

(E) : (1 − iz)3(1 + i√3) = (1 + iz)3(1 − i√3) 1. Montrer que −i n’est pas solution de l’équation (E).

2. Soit z une solution de (E). Calculer   1+iz 1−iz    3 et en déduire que   1+iz 1−iz   = 1. 3. Montrer que si   1+iz 1−iz  

= 1 alors z est un réel.

4. Pour z un nombre réel, donner le conjugué du complexe (1 − iz)3_{(1 + i}√_3).

5. En déduire que si z est solution de (E) alors arg((1 − iz)3_{(1 + i}√_{3)) = 0 [2π].}

6. Pour z un réel, donner un argument de 1 − iz. En déduire un argument de (1 − iz)3 _{puis un}

argument de (1 − iz)3_{(1 + i}√_3).

7. En déduire les solutions de (E).