Seconde 12 DS 2 : Correction 20 octobre 2017
Exercice 1 : Une premi`ere fonction (5 minutes) (3 points)
Soit f une fonction d´efinie surR parf(x) = 3x−7.
1. Calculer les images de 3 et 15. 2. D´eterminer le(s) ant´ec´edents de 6.
Solution:
1. f(3) = 9−7 = 2 L’image de 3 est 2.
f(15) = 35 −7 = 35− 355 =−325. L’image de 15 est−325 .
2. f(x) = 6 ssi 3x= 13 ssix= 133. L’ant´ec´edent de 6 est 133
Exercice 2 : Une seconde fonction (12 minutes) (5 points)
Soit f une fonction d´efinie surR parf(x) =x2+ 6x−5.
1. Calculer les images de 2 et√ 3 + 2.
2. D´eterminer le(s) ant´ec´edent(s) de−5.
3. (a) Montrer quef(x) = (x+ 3)2−14.
(b) En d´eduire le(s) ant´ec´edent(s) de 2.
Solution:
1. f(2) = 22+ 6×2−5 = 11.
L’image de 2 est 11.
f(√
3 + 2) = (√
3 + 2)2+ 6(√
3 + 2)−5 = 3 + 4√
3 + 4 + 6√
3 + 12−5 = 10√ 3 + 14.
L’image de √
3 + 2 est 10√ 3 + 14.
2. f(x) =−5 ssi x2+ 6x= 0 ssi x(x+ 6) = 0 ssix= 0 oux=−6.
Les ant´ec´edents de−5 sont 0 et−6.
3. (a) (x+ 3)2−14 =x2+ 6x+ 9−14 =x2+ 6x−5 =f(x).
(b) f(x) = 2 ssi (x+ 3)2−14 = 2 ssi (x+ 3)2−16 = 0 ssi (x+ 3−4)(x+ 3 + 4) = 0 ssi x= 1 ou x=−7.
Les ant´ec´edents de 2 sont 1 et −7.
Exercice 3 : Ensemble de d´efinition (3 minutes) (1 points)
Donner le plus grand ensemble de d´efinition de la fonction f :x7→ 2x+ 5 x−3 Solution: f est d´efinie ssi x−36= 0.
f est d´efinie sur ]− ∞; 3[∪]3; +∞[
Exercice 4 : Sommes et quadrilat`ere (15 minutes) (5 points) Soient trois pointsA,B,C distincts.
1. Placer les points D et E tels que−−→
AD=−−→ AB+−→
AC et−−→ AB=−−→
BE.
2. Que peut-on dire du quadrilat`ere ABDC? Justifier.
3. D´eterminer en justifiant si−→
AC=−−→
−→ BD, AC=−−→
DB et−−→ BE =−−→
CD Solution:
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1.
A
B
C
D E
2. Voir dessin.
3. On a −−→
AD = −−→ AB+−→
AC, donc −−→
AB = −−→ AD−
−→AC = −→
CA + −−→
AD = −−→
CD. Le quadrilat`ere ABDC est bien un parall´elogramme.
4. ABDC est un parall´elogramme. Donc−→
AC =
−−→BD.
Comme A, B, C ne sont pas confondus, l’´egalit´e pr´ec´edente implique que −→
AC6=−−→
DB.
Comme −−→
AB = −−→
BE et −−→
CD = −−→ AB, l’´egalit´e −−→
BE =−−→
CD est vraie.
5. Voir dessin.
Exercice 5 : Un petit algorithme (10 minutes) (3 points)
On se donne l’algorithme ci-contre :
1. Quelles valeurs vont ˆetre affich´ees si x prend les valeurs−2 puis 5.
2. Montrer que cet algorithme calcule l’image de x par la fonction f d´efinie par f(x) = 3x2−12x+ 17
x = x−2 x = x∗∗2 x = 3∗x x = x+5 p r i n t ( x )
Solution:
1. Six=−2, on calcule (−2−2) =−4 puis (−4)2 = 16 puis 3×16 = 48 puis 48 + 5 = 53.
Six= 5, on calculer (5−2) = 3 puis 32 = 9 puis 3×9 = 27 puis 27 + 5 = 32.
2. Cet algorithme nous permet de calculer 3(x−2)2+ 5.
Or 3(x−2)2+ 5 = 3(x2−4x+ 4) + 5 = 3x2−12x+ 12 + 5 = 3x2−12x+ 17.
Exercice 6 : Un peu plus ouvert (10 minutes) (3 points)
Soient ABC un triangle. Les points D et E sont tels que :−−→
CD=−−→ BA+−−→
BA(on note 2−−→
BA) et −−→ BE=−−→
AB+−→
AC.
Que peut-on dire de C,DetE? Justifier.
Solution:
A B
C
E
D
Pour montrer que C est le milieu de [DE], il suffit de montrer que −−→
CD =−−→ EC.
On a
−−→
EC = −−→ EB+−−→
BA+−→
AC
= −−−→ BE+−−→
BA+−→
AC
= −(−−→ AB+−→
AC) + +−−→ BA+−→
AC
= −−→ BA+−−→
BA
= −−→
CD
