MPSI - Programme de colles, semaine 13

MPSI - Programme de colles, semaine 13

1 Fractions rationnelles.

Tout le programme précédent sur le chapitre 11. Laquestion de cours au programme est la suivante : Partie entière d’une fraction rationnelle (Définition 11 et sa démonstration, Chap 11).

2 Nombres réels.

• Ensembles usuels de nombres :N,Z,D,Q,RetRzQ. Droite numérique achevéeR.

• Propriété de la borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide majorée (resp. minorée) de R.

Caractérisation de la borne supérieure (resp. inférieure).

• Les intervalles deRsont les convexes deR.

• Propriété d’Archimède. Partie entière d’un réel. Congruences modulo un réel. Approximations décimales d’un réel.

Question de cours : Existence et unicité de la partie entière d’un réel (Théorème 20, Chap 12).

• Parties denses de R.

Question de cours : Les ensembles QetRzQsont denses dans R(Théorème 26, Chap 12).

3 Suites numériques (début).

• Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, monotone, strictement monotone.

• Limite finie ou infinie d’une suite(définitions avec inégalités larges). Suites convergentes, divergentes.

• Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient.

Question de cours : Opérations sur les suites de limite nulle (Propositions 21 et 22, Chap 13).

• Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Théorème d’encadrement des limites. Théorèmes de divergence par minoration ou majoration.

• Théorème de limite monotone. Suites adjacentes.

Question de cours : Théorème de la limite croissante (Théorème 35, Chap 13).

Question de cours : Théorème des suites adjacentes (Théorème 38, Chap 13).

• Suites extraites. Théorème de Bolzano-Weierstrass(démonstration non exigible).

• Traduction séquentielle de la densité, de la caractérisation de la borne supérieure, d’une partie non majorée.

Question de cours : Caractérisation séquentielle de la densité (Théorème 43, Chap 13).

4 La semaine suivante

Suites numériques (tout). Comparaison des suites numériques.

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